Przeczytaj

LogarytmlogarytmLogarytm definiujemy następująco:

Logarytm o dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ z dodatniej liczby $a$ to wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

Powyższą definicję można zapisać symbolicznie:

\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b

a > 0

a \neq 1

b > 0

Przykład 1

$\log_{3} 9 = 2$ , bo $3^{2} = 9$

$\log_{2} 16 = 4$ , bo $2^{4} = 16$

$\log_{5} 5 = 1$ , bo $5^{1} = 5$

$\log_{6} 1 = 0$ , bo $6^{0} = 1$

$\log_{7} \frac{1}{49} = - 2$ , bo $7^{- 2} = \frac{1}{49}$

$\log_{64} 4 = \frac{1}{3}$ , bo $64^{\frac{1}{3}} = 4$

$\log_{\sqrt{2}} 2 \sqrt{2} = 3$ , bo ${(\sqrt{2})}^{3} = 2 \sqrt{2}$

Najczęściej we współczesnej matematyce używamy systemu dziesiętnego, zatem na szczególną uwagę zasługują logarytmy o podstawie $10$ . Przyjęło się, że w przypadku logarytmu dziesiętnego nie notujemy podstawy:

\log_{10} a = \log a

a > 0

Przykład 2

$\log 100 = 2$ , bo $10^{2} = 100$

$\log \frac{1}{1000} = - 3$ , bo $10^{- 3} = \frac{1}{1000}$

$\log 0, 01 = - 2$ , bo $10^{- 2} = 0, 01$

$\log \sqrt[3]{100} = \frac{2}{3}$ , bo $10^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{100}$

We wszystkich powyższych przykładach, w wyniku logarytmowanialogarytmowanielogarytmowania otrzymaliśmy liczby wymierne. Istnieją jednak logarytmy, które są liczbami niewymiernymi.

Przykład 3

Rozważmy $\log_{2} 3$ . Udowodnimy, że jest to liczba niewymierna. Dowód przeprowadzimy metodą nie wprost.

Sprawdźmy, do czego doprowadziłoby nas przypuszczenie, że $\log_{2} 3$ jest liczbą wymierną. Ponieważ każdą liczbę wymierną można zapisać jako ułamek zwykły nieskracalny, to istnieją liczby całkowite $p$ i $q$ , dla których $\log_{2} 3 = \frac{p}{q}$ .

Zauważmy ponadto, że $\log_{2} 3 > \log_{2} 2 = 1$ . Zatem $\log_{2} 3$ jest liczbą dodatnią, możemy więc przyjąć założenie, że $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi dodatnimi. Wprost z definicji logarytmu wynika, że $2^{\frac{p}{q}} = 3$ . Obie strony tego równania są nieujemne, możemy je podnieść do potęgi $q$ , otrzymując równanie równoważne $2^{p} = 3^{q}$ .

Ponieważ $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, więc lewa strona równania jest iloczynem samych dwójek, zaś prawa – iloczynem samych trójek. Zatem nie jest możliwe, aby obie strony były równe.

Przypuszczenie, że $\log_{2} 3$ jest liczbą wymierną, doprowadziło do sprzeczności, zatem $\log_{2} 3$ nie może być liczbą wymierną, czyli $\log_{2} 3$ jest liczbą niewymierną.

Ciekawostka

W matematyce bardzo ważną rolę odgrywa liczba $e$ (stała Eulera, liczba Nepera) w przybliżeniu równa $2, 718281828459$ … Pod pewnymi względami przypomina ona liczbę $π$ . Jedną z ich cech wspólnych jest to, że obie są niewymierne. Wykorzystuje się ją również w fizyce. Liczba ta jest m.in. podstawą logarytmów zwanych naturalnymi. Do zapisu logarytmu naturalnego używamy nieco innej konwencji:

\log_{e} a = \ln a, a > 0

Słownik

logarytmowanie

działanie odwrotne do potęgowania

logarytm

wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę potęgi, aby otrzymać liczbę logarytmowaną:

$\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ , $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$

Wprowadzenie

Audiobook

Słownik