LogarytmlogarytmLogarytm definiujemy następująco:

Logarytm o dodatniej i różnej od 1 podstawie a z dodatniej liczby a to wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść a, aby otrzymać b.

Powyższą definicję można zapisać symbolicznie:

logab=cac=b, a>0, a1, b>0.
Przykład 1

log39=2, bo 32=9

log216=4, bo 24=16

log55=1, bo 51=5

log61=0, bo 60=1

log7149=-2, bo 7-2=149

log644=13, bo 6413=4

log222=3, bo 23=22

Najczęściej we współczesnej matematyce używamy systemu dziesiętnego, zatem na szczególną uwagę zasługują logarytmy o podstawie 10. Przyjęło się, że w przypadku logarytmu dziesiętnego nie notujemy podstawy:

log10a=loga, a>0.
Przykład 2

log100=2, bo 102=100

log11000=-3, bo 10-3=11000

log0,01=-2, bo 10-2=0,01

log1003=23, bo 1023=1003

We wszystkich powyższych przykładach, w wyniku logarytmowanialogarytmowanielogarytmowania otrzymaliśmy liczby wymierne. Istnieją jednak logarytmy, które są liczbami niewymiernymi.

Przykład 3

Rozważmy log23. Udowodnimy, że jest to liczba niewymierna. Dowód przeprowadzimy metodą nie wprost.

Sprawdźmy, do czego doprowadziłoby nas przypuszczenie, że log23 jest liczbą wymierną. Ponieważ każdą liczbę wymierną można zapisać jako ułamek zwykły nieskracalny, to istnieją liczby całkowite pq, dla których log23=pq.

Zauważmy ponadto, że log23>log22=1. Zatem log23 jest liczbą dodatnią, możemy więc przyjąć założenie, że pq są liczbami naturalnymi dodatnimi. Wprost z definicji logarytmu wynika, że 2pq=3. Obie strony tego równania są nieujemne, możemy je podnieść do potęgi q, otrzymując równanie równoważne 2p=3q.

Ponieważ pq są liczbami naturalnymi, więc lewa strona równania jest iloczynem samych dwójek, zaś prawa – iloczynem samych trójek. Zatem nie jest możliwe, aby obie strony były równe.

Przypuszczenie, że log23 jest liczbą wymierną, doprowadziło do sprzeczności, zatem log23 nie może być liczbą wymierną, czyli log23 jest liczbą niewymierną.

Ciekawostka

W matematyce bardzo ważną rolę odgrywa liczba e (stała Eulera, liczba Nepera) w przybliżeniu równa 2,718281828459… Pod pewnymi względami przypomina ona liczbę π. Jedną z ich cech wspólnych jest to, że obie są niewymierne. Wykorzystuje się ją również w fizyce. Liczba ta jest m.in. podstawą logarytmów zwanych naturalnymi. Do zapisu logarytmu naturalnego używamy nieco innej konwencji:

log e a = ln a , a > 0

Słownik

logarytmowanie
logarytmowanie

działanie odwrotne do potęgowania

logarytm
logarytm

wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę potęgi, aby otrzymać liczbę logarytmowaną:

logab=cac=b, a>0, a1,b>0