Przeczytaj

Zanim przejdziemy do wyznaczenia obrazu prostej w przesunięciu o wektor $\vec{u}$ przypomnimy podstawowe wiadomości dotyczące tego przekształcenia.

Przesunięcie (translacja) o wektor

Definicja: Przesunięcie (translacja) o wektor

Przesunięciem (translacją) o wektor $\vec{u}$ nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi $P$ płaszczyzny (przestrzeni) takiego punktu $P'$ , że:

\vec{P P'} = \vec{u}

RR5H7vtcFZN42

Grafika przedstawia wektor oraz punkt przesunięty o ten wektor. Po prawej stronie grafiki znajduje się u→. Po lewej stronie znajduje się ten sam wektor, lecz na początku tego wektora znajduje się punkt P a na końcu punkt P prim.

Wyznaczymy teraz współrzędne obrazu danego punktu.

Załóżmy, że obrazem punktu $P = (x, y)$ w przesunięciu o wektorprzesunięcie (translacja) o wektorprzesunięciu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ jest punkt $P' = (x', y')$ . Współrzędne wektora $\vec{P P'}$ zapisujemy następująco:

\vec{P P'} = [x' - x, y' - y]

Dwa wektory są równe, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, stąd

x' - x = p, y' - y = q

a zatem

\{\begin{cases} x' = x + p \\ y' = y + q \end{cases}

Izometria

Definicja: Izometria

Przekształcenie płaszczyzny na siebie zachowujące odległości punktów nazywamy izometrią.

Wykażemy teraz, że przesunięcie o wektor jest izometrią.

Niech $A$ i $B$ będą dowolnymi punktami płaszczyzny a $\vec{u}$ dowolnym wektorem. Umieszczamy w układzie współrzędnych punkty $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ oraz wektor $\vec{u} = [p, q]$ .

Obrazy $A'$ i $B'$ punktów $A$ i $B$ w przesunięciu o wektor $\vec{u}$ mają współrzędne $A' = (x_{1}', y_{1}')$ i $B' = (x_{2}', y_{2}')$ .

Ponieważ $\vec{A A^{'}} = \vec{u}$ oraz $\vec{B B^{'}} = \vec{u}$ wnioskujemy, że: $A' = (x_{1} + p, y_{1} + q)$ i $B' = (x_{2} + p, y_{2} + q)$ .

Wyznaczymy długość odcinka $A' B'$ :

|A' B'| = \sqrt{{((x_{2} + p) - (x_{1} + p))}^{2} + {((y_{2} + q) - (y_{1} + q))}^{2}} =

= \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = |A B|

Zatem każde przesunięcie o wektorprzesunięcie (translacja) o wektorprzesunięcie o wektor jest izometrią, co oznacza, że obrazem prostej w przesunięciu o wektor jest też prosta.

Udowodnimy teraz, że obrazem prostej w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ jest prosta do niej równoległa.

Rozważymy dwie sytuacje: gdy prosta jest postaci $y = a x + b$ lub postaci $x = c$ .

Korzystamy ze związków między współrzędnymi punktu $P = (x, y)$ i jego obrazu $P' = (x', y')$ :

\{\begin{cases} x' = x + p \\ y' = y + q \end{cases}

z których otrzymujemy:

\{\begin{cases} x = x' - p \\ y = y' - q \end{cases}

Wyznaczone wartości $x$ , $y$ podstawiamy do równania prostej $y = a x + b$ i otrzymujemy równanie jej obrazu w postaci:

y' - q = a (x' - p) + b

, stąd

y' = a x' - a p + b + q

Zatem obrazem prostej o równaniu $y = a x + b$ , w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ jest prosta o równaniu

y = a x + b - a p + q

Zauważmy, że w równaniach obu prostych współczynniki kierunkowe są równe, czyli proste są równoległe.

Wykażemy teraz, że obrazem prostej $x = c$ jest prosta do niej równoległa.

Wykorzystując związki

\{\begin{cases} x = x' - p \\ y = y' - q \end{cases}

dostajemy prostą o równaniu $x' - p = c$ czyli $x' = c + p$ .

Zatem obrazem prostej o równaniu $x = c$ w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ jest prosta o równaniu $x = p + c$ . Jest to równanie prostej równoległej do prostej $x = c$ .

Obrazem prostej w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ jest prosta do niej równoległa.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie obrazu prostej o równaniu $y = 2 x + 5$ w przesunięciu o wektor $\vec{v} = [2, 3]$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze związków pomiędzy współrzędnymi punktu i jego obrazu w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [p, q]$ mamy:

$x' = x + 2$ , stąd $x = x' - 2$ ,

$y' = y + 3$ , stąd $y = y' - 3$ .

Podstawiając wyznaczone wielkości $x$ i $y$ do wzoru $y = 2 x + 5$ otrzymujemy

$y' - 3 = 2 (x' - 2) + 5$ więc $y' = 2 x' - 4 + 5 + 3$ .

Prosta o równaniu $y = 2 x + 4$ jest obrazem prostej $y = 2 x + 5$ po przesunięciu o wektor $\vec{u} = [2, 3]$ .

Przykład 2

Wyznaczymy współrzędne wektora, o który należy przesunąć prostą o równaniu $y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$ , aby otrzymać prostą o równaniu $y = \frac{2}{3} x$ .

Rozwiązanie:

Korzystając z równania $y = a x + b - a p + q$ obrazu prostej o równaniu $y = a x + b$ w przesunięciu o wektor $\vec{v} = [p, q]$ mamy

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} p + \frac{1}{3} + q$ .

Obrazem prostej $y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$ ma być prosta $y = \frac{2}{3} x$ , stąd: $- \frac{2}{3} p + \frac{1}{3} + q = 0$ .

Otrzymujemy następującą zależność między współrzędnymi $p$ i $q$ wektora $\vec{u}$ :

$- 2 p + 3 q + 1 = 0$ .

Każda para liczb $p$ i $q$ spełniająca warunek $- 2 p + 3 q + 1 = 0$ wyznacza współrzędne wektora tego przesunięcia.

Stąd: $\vec{v} = [p, \frac{2}{3} p - \frac{1}{3}]$ .

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne niezerowego wektora, o który należy przesunąć prostą $y = 4 x + 1$ , aby otrzymać prostą o tym samym równaniu.

Rozwiązanie:

Korzystając z równania $y = a x + b - a p + q$ obrazu prostej o równaniu $y = a x + b$ w przesunięciu o wektor $\vec{v} = [p, q]$ mamy

$y = 4 x - 4 p + 1 + q$ .

Prosta $y = 4 x - 4 p + 1 + q$ ma być postaci $y = 4 x + 1$ , stąd: $- 4 p + 1 + q = 1$ więc: $4 p = q$ .

Stąd: $\vec{u} = [p, 4 p]$ , gdzie $p \neq 0$ .

Przykład 4

Obliczymy pole figury ograniczonej osiami układu współrzędnych, prostą $y = - \frac{1}{2} x + 1$ oraz obrazem tej prostej w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [2, 2]$ .

Rozwiązanie:

Napiszemy równanie obrazu prostej $y = - \frac{1}{2} x + 1$ w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [2, 2]$ .

Korzystając z równania $y = a x + b - a p + q$ obrazu prostej o równaniu $y = a x + b$ w przesunięciu o wektor $\vec{v} = [p, q]$ otrzymujemy: $y = - \frac{1}{2} x + 1 - (- \frac{1}{2}) \cdot 2 + 2$ ,

zatem: $y = - \frac{1}{2} x + 4$ .

Wyznaczamy punkty przecięcia prostych z osiami układu współrzędnych.

Punkt przecięcia prostej o równaniu $y = - \frac{1}{2} x + 1$ z osią $Y$ : $A = (0, 1)$ ; z osią $X$ : $B = (2, 0)$ .

Punkt przecięcia prostej $y = - \frac{1}{2} x + 4$ z osią $Y$ : $C = (0, 4)$ ; z osią $X$ : $D = (8, 0)$ .

Rysujemy wykresy obu prostych:

R1Q94MQlQJkec

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus jeden do dziewięciu i pionową osią y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwie proste pierwsza z nich przecina oś x w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu oraz oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu. Prosta ta ma równanie y=−12x+1. Druga prosta przecina oś x w punkcie początek nawiasu, 8, 0, zamknięcie nawiasu oraz oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu. Prosta ta ma równanie y=−12x+4.

Z rysunku wynika, że otrzymaną figurą jest trapez.

R1WfdHHCWuDBl

Obliczamy długości podstaw trapezu, korzystając ze wzoru: $|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ na odległość dwóch punktów: $|C D| = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(0 - 4)}^{2}} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{5 \cdot 16} = 4 \sqrt{5}$ ,

$|A B| = \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(0 - 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ .

Długość wysokości jest równa odległości punktu $A$ od prostej $y = - \frac{1}{2} x + 4$ .

Wykorzystamy wzór: $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ na odległość punktu $(x_{0}, y_{0})$ od prostej $A x + B y + C = 0$ .

Równanie prostej $y = - \frac{1}{2} x + 4$ zapisujemy w postaci ogólnej: $x + 2 y - 8 = 0$ .

Obliczamy wysokość trapezu:

$h = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{|2 - 8|}{\sqrt{5}} = \frac{|- 6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ .

Korzystamy ze wzoru na pole trapezu: $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ , gdzie $a, b$ - długości podstaw trapezu a $h$ - długość jego wysokości.

Ostatecznie otrzymujemy: $P = \frac{4 \sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = 15$ .

Pole trapezu wynosi $15$ .

Pokażemy drugą metodę rozwiązania tego zadania.

Możemy zauważyć, że szukane pole trapezu jest różnicą pól dwóch trójkątów: trójkąta prostokątnego $O D C$ i trójkąta prostokątnego $O B A$ .

Rtnew9rt4brTn

Obliczamy pole trójkąta $O C D$ : $P_{∆ O C D} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$ .

Obliczamy pole trójkąta $O B A$ : $P_{∆ O B A} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$ .

Pole trapezu: $P_{A B D C} = P_{∆ O C D} - P_{∆ O B A}$ , więc $P_{A B D C} = 16 - 1 = 15$ .

Odpowiedź:

Pole figury ograniczonej osiami układu współrzędnych, prostą $y = - \frac{1}{2} x + 1$ oraz obrazem tej prostej w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [2, 2]$ wynosi $15$ .

Słownik

przesunięcie (translacja) o wektor

przesunięcie o wektor $\vec{u}$ to przyporządkowanie każdemu punktowi $P$ płaszczyzny (przestrzeni) takiego punktu $P'$ , że:

\vec{P P'} = \vec{u}

Wprowadzenie

Animacja

Słownik