Przeczytaj

Kolejność wykonywania działań, prawa działań

Na pewno pamiętasz, że przekształcając wyrażenia arytmetyczne, uwzględniamy ustaloną kolejność wykonywania działań.

Ważne!

Kolejność wykonywania działań

Gdy w wyrażeniu arytmetycznym nie ma nawiasów, wykonujemy kolejno:

potęgowanie wraz z pierwiastkowaniem
mnożenie wraz z dzieleniem
dodawanie wraz z odejmowaniem

Jeśli w wyrażeniu występują nawiasy, to obliczenia rozpoczyna się od działań w nawiasach najbardziej wewnętrznych. Zatem działania w nawiasach wykonuje się przed pozostającymi poza nawiasami.

Przykład 1

Obliczymy wartość wyrażenia $(100 - \sqrt{81} + 23) - (- 326 + 26) : 6 + 528 : 2^{2} \cdot 3$ .

Postąpimy zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

$(100 - \sqrt{81} + 23) - (- 326 + 26) : 6 + 528 : 2^{2} \cdot 3 =$

Najpierw wykonujemy działania w obu nawiasach.

$114 - (- 300) : 6 + 528 : 2^{2} \cdot 3 =$

Potęgujemy.

$114 - (- 300) : 6 + 528 : 4 \cdot 3 =$

Dzielimy.

$114 - (- 50) + 132 \cdot 3 =$

Mnożymy i dodajemy.

$114 - (- 50) + 396 = 560$

Otrzymujemy wynik: wartość wyrażenia jest równa $560$ .

Przed wykonywaniem przekształceń wyrażeń algebraicznych, przypomnij sobie jeszcze prawa działań, z których będziesz korzystać.

Ważne!

Prawa działań
$a + b = b + a$	Przemienność dodawania
$a \cdot b = b \cdot a$	Przemienność mnożenia
$(a + b) + c = a + (b + c)$	Łączność dodawania
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$	Łączność mnożenia
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$	Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia $[\sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) - \sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{6})] : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5$ .

Obliczenia wykonamy zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

$[\sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{6}) - \sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{6})] : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5 =$

Wykonujemy mnożenie, korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania (odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej).

$(\sqrt{18} - 6 - 3 + \sqrt{18}) : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5 =$

Wykonujemy działania w nawiasie.

$(6 \sqrt{2} - 9) : 3 - \sqrt{2} \cdot 4 \cdot 0, 5 =$

Korzystamy ponownie z rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz łączności i przemienności mnożenia. Odejmujemy.

$6 \sqrt{2} : 3 - 9 : 3 - \sqrt{2} \cdot (4 \cdot 0,5) = 2 \sqrt{2} - 3 - 2 \sqrt{2} = - 3$

Otrzymujemy wynik. Wartość wyrażenia jest równa $(- 3)$ .

Działania łączne na wyrażeniach algebraicznych

Wykonując działania łączne na wyrażeniach algebraicznych, korzysta się z poznanych praw działań oraz reguł dotyczących dodawania i odejmowania sum algebraicznych:

$(a + b) + (c - d) = a + b + c - d$

$(a + b) - (c - d) = a + b - c + d$

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie $(x + 2) (x + 1) - (x - 1) (x + 2) - 2 x (x + 1)$ w najprostszej postaci.

RS4rudMgBWl8i

Przykład trzeci. Zapiszemy wyrażenie otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X minus jeden zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu minus dwa X otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu w najprostszej prostaci. Pierwsza linijka wykonujemy mnożenie: otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X minus jeden zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus dwa zamknięcie nawiasu minus dwa X otwarcie nawiasu X plus jeden zamknięcie nawiasu równa się. Druga linijka redukujemy w nawiasach wyrazy podobne: otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus X plus dwa X plus dwa zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus dwa X minus X minus dwa zamknięcie nawiasu minus dwa X do potęgi drugiej plus dwa X zamknięcie nawiasu równa się. Trzecia linijka opuszczamy nawiasy: otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus trzy X plus dwa zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus X minus dwa zamknięcie nawiasu minus otwarcie nawiasu dwa X do potęgi drugiej plus dwa X zamknięcie nawiasu równa się. Czwarta linijka redukujemy wyrazy podobne: X do potęgi drugiej plus trzy X plus dwa minus X do potęgi drugiej minus X plus dwa minus dwa X do potęgi drugiej minus dwa X równa się minus dwa X do potęgi drugiej plus cztery.

Przykład 4

Obliczymy wartość liczbową wyrażeniawartość liczbową wyrażenia $\{3 a^{2} - [2 (a - b) (a - 1) + {(a + b)}^{2} - b^{2}]\} : 2$ , gdy $a = \sqrt{5}$ , $b = \sqrt{5} - 1$ .

Sprowadzimy najpierw podane wyrażenie do najprostszej postaci. Wykonujemy najpierw działania w nawiasie kwadratowym. W iloczynie $2 (a - b) (a - 1)$ najpierw wykonamy mnożenie sum algebraicznych i dopiero pomnożymy przez $2$ . Wyrażenie ${(a + b)}^{2}$ zapiszemy najpierw w postaci iloczynu.

$\{3 a^{2} - [2 (a - b) (a - 1) + {(a + b)}^{2} - b^{2}]\} : 2 =$

W nawiasie kwadratowym wykonujemy mnożenie.

$\{3 a^{2} - [2 (a^{2} - a - a b + b) + (a + b) (a + b) - b^{2}]\} : 2 =$

Redukujemy wyrazy podobne w nawiasie kwadratowym.

${3 a^{2} - [2 a^{2} - 2 a - 2 a b + 2 b + a^{2} + 2 a b + b^{2} - b^{2}]} : 2 =$

Wykonujemy działania w nawiasie kwadratowym.

$[3 a^{2} - (3 a^{2} - 2 a + 2 b)] : 2 =$

Dzielimy przez $2$ .

$(2 a - 2 b) : 2 = a - b$

Obliczamy teraz wartość liczbową otrzymanego wyrażenia – w miejsce liter podstawiając dane liczby.

$\sqrt{5} - (\sqrt{5} - 1) = 1$

Wartość liczbowa wyrażeniaWartość liczbowa wyrażenia jest równa $1$ .

Przykład 5

Wykażemy, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie

$[(a + 1) (a - 2) (1 - a) + a (a - 1) (a - 1)] - 2 a$ przyjmuje tę samą wartość liczbową.

Wykonamy najpierw działania w nawiasie kwadratowym.

$[(a + 1) (a - 2) (1 - a) + a (a - 1) (a - 1)] - 2 a =$

Mnożymy pierwsze dwa czynniki w każdym z iloczynów – wykorzystując rozdzielność mnożenia względem dodawania.

$[(a^{2} - 2 a + a - 2) (1 - a) + (a^{2} - a) (a - 1)] - 2 a =$

Zredukowaliśmy wyrazy podobne.

$[(a^{2} - a - 2) (1 - a) + (a^{3} - a^{2} - a^{2} + a)] - 2 a =$

Zamieniliśmy iloczyny na sumy algebraiczne – korzystając ponownie z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

$[(a^{2} - a^{3} - a + a^{2} - 2 + 2 a) + (a^{3} - 2 a^{2} + a)] - 2 a =$

Opuszczamy nawiasy.

$(2 a^{2} - a^{3} + a - 2 + a^{3} - 2 a^{2} + a) - 2 a =$

Redukujemy wyrazy podobne.

$2 a - 2 - 2 a = - 2$

Po sprowadzaniu wyrażenia do najprostszej postaci otrzymujemy $(- 2)$ , zatem wyrażenie nie zawierające zmiennej $a$ . Czyli niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy do wyrażenia w miejsce zmiennej $a$ , wartość liczbowa wyrażenia jest równa $(- 2)$ .

Słownik

wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

liczba otrzymana w wyniku podstawiania do wyrażenia algebraicznego w miejsce liter danych liczb

Wprowadzenie

Infografika

Kolejność wykonywania działań, prawa działań

Działania łączne na wyrażeniach algebraicznych

Słownik