Sinusem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $\alpha$ do przeciwprostokątnej $c$:

Cosinusem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $\alpha$ do przeciwprostokątnej $c$:

Tangensem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej $a$ przeciwległej do kąta $\alpha$ do przyprostokątnej $b$ przyległej do kąta $\alpha$:

W trójkącie prostokątnym długość przeciwprostokątnej jest równa $9$, a jeden z kątów ostrych jest równy $60°$. Obliczymy długości obu przyprostokątnych.

RZKXkn9RJrwAW

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny. Pionowa przyprostokątna jest oznaczona literą a. Pozioma przyprostokątna jest oznaczona literą b. Przeciwprostokątna ma długość dziewięć. Kąt między poziomą przyprostokątną a przeciwprostokątną ma 60 stopni.

Rozwiązanie

Trójkąt jest prostokątny, możemy zastosować funkcje trygonometryczne.

Długość boku $a$ wyznaczymy z funkcji sinus:

$\sin 60°=\frac{a}{9}$ i $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{9}$

$2·a=\sqrt{3}·9$

$\mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{5}\sqrt{\mathbf{3}} \mathrm{cm}$

Bok $b$ wyznaczymy z funkcji cosinus:

$\cos 60°=\frac{b}{9}$ i $\cos 60°=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}=\frac{b}{9}$

$\mathit{b}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{5}$

Mogliśmy $b$ wyznaczyć, wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej przy kącie $60°$ jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, czyli $b=9:2=4,5$.

Odpowiedź:

Przyprostokątne mają długość: $a=4,5\sqrt{3}$ i $b=4,5$.

Obliczymy pole romburombrombu mając daną długość jego boku $12 \mathrm{cm}$ i kąt ostry $60°$.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia: $h$ – wysokość rombu,
$a$ – długość boku rombu.

RBbln1qt4txbq

Grafika przedstawia romb. Kąt ostry rombu ma 60 stopni. Długość boku rombu to a. W rombie narysowana jest jego krótsza przekątna, która dzieli równoległobok na dwa trójkąty. W trójkącie, składającym się z: dolnej podstawy rombu, boku rombu oraz jego przekątnej zaznaczono wysokość. Wysokość podpisana jest literą h. Wysokość jest pod kątem prostym do podstawy.

Z treści zadania: $a=12\mathrm{cm}$.

Wzór na pole rombu:

Aby wyliczyć pole rombu musimy wyznaczyć jego wysokość $h$.

Wysokość jest prostopadła do boku $a$, możemy więc skorzystać z funkcji sinus.

$\frac{h}{a}=\sin 60°$ i $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{h}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$h=a·\frac{\sqrt{3}}{2}$

$h=\frac{12·\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$

$h=6\sqrt{3} \mathrm{cm}$

$P=a·h=12·6\sqrt{3}=72\sqrt{3}$

$P=72\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$

Odpowiedź:

Pole rombu wynosi $72\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$.

Obliczymy pole i obwód trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa ma długość $10 \mathrm{cm}$ a ramię długości $8 \mathrm{cm}$ tworzy z podstawą kąt $60°$.

Rozwiązanie

REEwttDcozUQo

Grafika przedstawia trapez równoramienny. Trapez został podzielony na trzy części, w taki sposób, że wysokości trapezu wyznaczają dwa trójkąty i znajdujący się pomiędzy nimi prostokąt. Pionowymi bokami prostokąta są wysokości trapezu, a poziomym bokami prostokąta są górna podstawa trapezu, oraz część dolnej podstawy trapezu, o tej samej długości co górna podstawa. Pionowe boki prostokąta są oznaczone literą h. Poziome boki prostokąta są oznaczone literą b, gdzie b jest równe 10 centymetrów. Trójkąty składają się z: ramienia trapezu, wysokości trapezu i części podstawy trapezu wyznaczonej przez styk wysokości z podstawą trapezu. Wysokość trapezu i część podstawy są przyprostokątnymi trójkątów. Oznaczone są literami odpowiednio h oraz x. Ramię trapezu, stanowiące przeciwprostokątną ma długość 8 centymetrów i jest nachylone do podstawy pod kątem 60 stopni.

Pole trapezu wyraża wzór:

gdzie $a=b+2x$ – długość dolnej podstawy; $b$ – długość górnej podstawy; $h$ – długość wysokości trapezu.

Aby je wyliczyć musimy mieć dane: $a$, $b$ i $h$.

$b=10 \mathrm{cm}$ (z treści zadania).

Ponieważ $a=2x+b$, to $a=2x+10$.

Wyznaczmy $h$, korzystając z funkcji sinus:

$\sin 60°=\frac{h}{8}$ i $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{8}$

$2·h=\sqrt{3}·8$

$\mathit{h}\mathbf{=}\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{3}} \mathrm{cm}$

Aby wyznaczyć długość dłuższej podstawy, musimy obliczyć długość odcinka $x$:

$\cos 60°=\frac{x}{8}$ i $\cos 60°=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}=\frac{x}{8}$

$2·x=1·8$

$\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathrm{cm}$

Przejdźmy teraz do wyliczenia dłuższej podstawy $a$ trapezu.

$a=2x+10$

$a=2·4+10=18$

$\mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{18}\mathbf{ }\mathbf{cm}$

Wyliczone wartości $h$ i $a$ podstawiamy do wzoru na pole trapezu:

$P=\frac{a+b}{2}·h$

$P=\frac{a+b}{2}·h=\frac{18+10}{2}·4\sqrt{3}=14·4\sqrt{3}=56\sqrt{3}$

$P=56\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$

Obwód trapezutrapeztrapezu jest sumą długości jego boków:

$O=18+10+2·8=28+16=44$

$O=44 \mathrm{cm}$

Odpowiedź:

Pole trapezu wynosi $56\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$, a jego obwód $44 \mathrm{cm}$.

Uprościmy wyrażenie:

$\frac{\cos \alpha }{1+{tg}^2\alpha }$, a następnie obliczymy jego wartość dla $\alpha =60°$.

Rozwiązanie

Przekształcamy wyrażenie, wykorzystując następujące związki między funkcjami trygonometrycznymi: $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ i ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{\cos \alpha }{1+{tg}^2\alpha }=\frac{\cos \alpha }{1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2}=\frac{\cos \alpha }{1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{\cos \alpha }{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{\cos \alpha }{\frac{{\cos }^2\mathrm{\alpha }+{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{\cos \alpha }{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}={\cos }^3\alpha$

$\cos 60°=\frac{1}{2}$, więc ${\cos }^3\alpha ={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

Odpowiedż:

Wartość wyrażenia dla $\alpha =60°$ wynosi $\frac{1}{8}$.

Udowodnimy, że jeśli $\frac{x}{y}=\frac{z}{t}=\mathrm{tg}60°$, to $\frac{4x+6z}{16y\cdot \sin {60}^{\circ }+12\sqrt{3}t}=\cos {60}^{\circ }$

Rozwiązanie

Skoro $\frac{x}{y}=\mathrm{tg}60°$, to $x=y\sqrt{3}$.

Analogicznie, skoro $\frac{z}{t}=\mathrm{tg}60°$, to $z=t\sqrt{3}$.

Zatem:

$\frac{4x+6z}{16y\cdot \sin {60}^{\circ }+12\sqrt{3}t}=\frac{4y\sqrt{3}+6t\sqrt{3}}{16y\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+12\sqrt{3}t}=\frac{\sqrt{3}(4y+6t)}{8y\sqrt{3}+12\sqrt{3}t}=\frac{\sqrt{3}(4y+6t)}{2\sqrt{3}(4y+6t)}=\frac{1}{2}=\cos {60}^{\circ }$

co należało udowodnić.

Udowodnimy, że ${\log }_2\left(\mathrm{tg}60°\right)+\frac{1}{{\log }_{\sin 60°}\left(\cos 60°\right)}=1$

Rozwiązanie

${\log }_2\left(\mathrm{tg}60°\right)+\frac{1}{{\log }_{\sin 60°}\left(\cos 60°\right)}={\log }_2\sqrt{3}+\frac{1}{{\log }_{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

Skorzystamy z twierdzenia o odwrotności logarytmu:

$\frac{1}{{\log }_{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}$

i z twierdzenia o zamianie podstaw logarytmu:

${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{\displaystyle {\log }_2}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle {\log }_2}{\displaystyle \frac{1}{2}}}=-{\log }_2\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}$

Mamy zatem:

${\log }_2\sqrt{3}+\frac{1}{{\log }_{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\log }_2\sqrt{3}-{\log }_2\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}$

Skorzystamy teraz z twierdzenia o różnicy logarytmów o tej samej podstawie:

${\log }_2\sqrt{3}-{\log }_2\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}={\log }_2\frac{\sqrt{3}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}={\log }_{2}2=1$

co należało udowodnić.

czworokąt o wszystkich bokach równych, jest szczególnym przypadkiem równoległoboku; przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów

czworokąt, którego ma przynajmniej jedną parę boków równoległych;

własność figur geometrycznych; dwie figury są przystające jeżeli jedną można otrzymać z drugiej przez wykonanie pewnej ilości przesunięć, obrotów i symetrii