Definicje funkcji trygonometrycznych - przypomnienie
Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych:
R1ceuHuo7ecmz
gdzie: – przeciwprostokątna, – przyprostokątna przeciwległa do kąta , – przyprostokątna przyległa do kąta .
Sinus kąta
Definicja: Sinus kąta
Sinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do przeciwprostokątnej :
Cosinus kąta
Definicja: Cosinus kąta
Cosinusem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej :
Tangens kąta
Definicja: Tangens kąta
Tangensem kąta w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do przyprostokątnej przyległej do kąta :
Wyznaczając wartości funkcji trygonometrycznych kąta rozważmy trójkąt równoboczny o boku .
R1EKxSSSuL9GX
Wysokość dzieli trójkąt na dwie przystające figuryprzystawanie figurprzystające figury – przystające trójkąty prostokątne, stąd .
Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta wyznaczymy wysokość trójkąta .
Wobec powyższego:
możemy również wyliczyć wykorzystując następujący związek:
Zbierzmy wyliczone wartości w tabeli:
Przykład 1
W trójkącie prostokątnym długość przeciwprostokątnej jest równa , a jeden z kątów ostrych jest równy . Obliczymy długości obu przyprostokątnych.
RZKXkn9RJrwAW
Rozwiązanie
Trójkąt jest prostokątny, możemy zastosować funkcje trygonometryczne.
Długość boku wyznaczymy z funkcji sinus:
i
Bok wyznaczymy z funkcji cosinus:
i
Mogliśmy wyznaczyć, wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej przy kącie jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, czyli .
Odpowiedź:
Przyprostokątne mają długość: i .
Przykład 2
Obliczymy pole romburombrombu mając daną długość jego boku i kąt ostry .
Rozwiązanie
Wprowadźmy oznaczenia: – wysokość rombu, – długość boku rombu.
RBbln1qt4txbq
Z treści zadania: .
Wzór na pole rombu:
Aby wyliczyć pole rombu musimy wyznaczyć jego wysokość .
Wysokość jest prostopadła do boku , możemy więc skorzystać z funkcji sinus.
i
Odpowiedź:
Pole rombu wynosi .
Przykład 3
Obliczymy pole i obwód trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa ma długość a ramię długości tworzy z podstawą kąt .
Rozwiązanie
REEwttDcozUQo
Pole trapezu wyraża wzór:
gdzie – długość dolnej podstawy; – długość górnej podstawy; – długość wysokości trapezu.
Aby je wyliczyć musimy mieć dane: , i .
(z treści zadania).
Ponieważ , to .
Wyznaczmy , korzystając z funkcji sinus:
i
Aby wyznaczyć długość dłuższej podstawy, musimy obliczyć długość odcinka :
i
Przejdźmy teraz do wyliczenia dłuższej podstawy trapezu.
Wyliczone wartości i podstawiamy do wzoru na pole trapezu:
Obwód trapezutrapeztrapezu jest sumą długości jego boków:
Odpowiedź:
Pole trapezu wynosi , a jego obwód .
Przykład 4
Uprościmy wyrażenie:
, a następnie obliczymy jego wartość dla .
Rozwiązanie
Przekształcamy wyrażenie, wykorzystując następujące związki między funkcjami trygonometrycznymi: i
, więc
Odpowiedż:
Wartość wyrażenia dla wynosi .
Przykład 5
Udowodnimy, że jeśli , to
Rozwiązanie
Skoro , to .
Analogicznie, skoro , to .
Zatem:
co należało udowodnić.
Przykład 6
Udowodnimy, że
Rozwiązanie
Skorzystamy z twierdzenia o odwrotności logarytmu:
i z twierdzenia o zamianie podstaw logarytmu:
Mamy zatem:
Skorzystamy teraz z twierdzenia o różnicy logarytmów o tej samej podstawie:
co należało udowodnić.
Słownik
romb
romb
czworokąt o wszystkich bokach równych, jest szczególnym przypadkiem równoległoboku; przeciwległe boki rombu są równoległe, przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe; są one równocześnie dwusiecznymi kątów
trapez
trapez
czworokąt, którego ma przynajmniej jedną parę boków równoległych;
przystawanie figur
przystawanie figur
własność figur geometrycznych; dwie figury są przystające jeżeli jedną można otrzymać z drugiej przez wykonanie pewnej ilości przesunięć, obrotów i symetrii