Przeczytaj
Już w starożytności poszukiwano trójkątów, których długości boków wyrażone są kolejnymi liczbami naturalnymi (czyli liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy ). Najbardziej znanym z nich jest trójkąt prostokątny o bokach długości , , .
W tym materiale będziemy rozważać nie tylko trójkąty prostokątne, ale również inne wielokąty, których elementy (np. miary kątów) tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.
Na początek przypomnienie najważniejszych wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, z których będziemy korzystać.
Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg , jest określony dla i .
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Ciąg arytmetyczny | ||
---|---|---|
Wyraz ogólny ciągu | Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu | Suma początkowych wyrazów ciągu |
W początkowych przykładach będziemy łączyć wiadomości o trójkątach z wiadomościami o ciągu arytmetycznym.
Obliczymy sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.
Niech trójkąt będzie rozważanym trójkątem, kąty i niech będą ostre, a kąt – kątem o najmniejszej mierze.
Oznaczmy:
– miara kąta ,
– miara kąta .
Najmniejszy bok trójkąta, który leży naprzeciw najmniejszego kąta, niech ma długość , gdzie .
Natomiast różnica ciągu arytmetycznego, który tworzą długości boków trójkąta, niech będzie równa , gdzie .
Wtedy druga przyprostokątna ma długość , natomiast przeciwprostokątna ma długość .
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
Z otrzymanej równości wyznaczamy .
– sprzeczność, bo
Wyznaczamy sinusy katów ostrych trójkąta .
Odpowiedź:
Sinusy kątów ostrych trójkąta są równe odpowiednio i .
Dany jest trójkąt taki, że .
Wykażemy, że gdy długości boków tego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, to promień koła wpisanego w ten trójkąt jest równy trzeciej części wysokości opuszczonej na bok .
Oznaczmy:
– różnica ciągu arytmetycznego,
– promień koła wpisanego w trójkąt,
,
,
,
– wysokość trójkąta poprowadzona do boku .
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o bokach danej długości i promieniu koła wpisanego w ten trójkąt oraz ze wzoru na pole trójkąta o danej podstawie i wysokości opuszczonej na tę podstawę.
Przekształcamy zapisaną równość, z której wyznaczamy .
Z zapisanej równości wynika, że promień koła wpisanego w trójkąt jest równy trzeciej części wysokości poprowadzonej do boku , co należało wykazać.
W kolejnych przykładach powtórzymy niektóre wiadomości o wielokątach i wykorzystamy zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego.
Miary kątów wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy . Najmniejszy kąt tego wielokąta ma miarę . Ustalimy, ile boków ma ten wielokąt.
Suma kątów wielokąta o –bokach jest równa , a każdy z kątów wielokąta ma miarę mniejszą od .
Z drugiej strony wiemy, że miary kątów wielokąta stanowią wyrazy ciągu arytmetycznego, stąd ich suma jest równa
Porównujemy otrzymane wyrażenia.
Sprowadzamy otrzymane równanie do najprostszej postaci.
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
lub
Dla największy kąt wielokąta ma miarę .
Dla największy kąt wielokąta ma miarę – otrzymujemy sprzeczność (bo miara kąta wielokąta wypukłego jest mniejsza od ).
Odpowiedź:
Wielokąt ma boków.
Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny o różnicy . Wysokość prostopadłościanu jest najdłuższą krawędzią. Pole podstawy prostopadłościanu wynosi . Obliczymy pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.
Oznaczmy:
, – długości krawędzi podstawy prostopadłościanu.
Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o polu . Zatem
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
– nie spełnia warunków zadania, bo
Obliczamy długości krawędzi prostopadłościanu.
Teraz możemy obliczyć pole powierzchni bocznej prostopadłościanu.
Odpowiedź:
Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu jest równe .
Czworokąt opisany jest na okręgu. Długości trzech kolejnych boków czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny. Udowodnimy, że przynajmniej dwa boki tego czworokąta mają tę samą długość.
Oznaczmy:
– długość najkrótszego boku czworokąta,
– różnica ciągu, który tworzą długości boków czworokąta,
– długość boku czworokąta, który nie tworzy z pozostałymi ciągu arytmetycznego.
Czworokąt jest opisany na okręgu, zatem sumy długości przeciwległych boków są równe.
Zatem
Wynika stąd, że , czyli dwa boki czworokąta mają tę samą długość.
Zauważmy, że gdy , to wszystkie boki czworokąta są równe.
Słownik
ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu