Przeczytaj

Naszym celem jest wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punktywspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty w układzie współrzędnych. Zauważmy, że jeśli punkty mają równe odcięte (pierwsze współrzędne), to prosta przez nie przechodząca jest równoległa do osi $Y$ , zatem nie można jej opisać równaniem kierunkowym. W dalszej części będziemy rozważać punkty, które mają różne pierwsze współrzędne.

Rozważmy prostą przechodzącą przez punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Wiemy już, że jej współczynnik kierunkowy jest równy tangensowi kąta jaki tworzy ta prosta z dodatnią półosią $X$ .

R1JWx2H1gQbU2

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Rysunek składa się głównie z pierwszej ćwiartki układu, na osiach brak współrzędnych liczbowych. Na płaszczyźnie wykreślono ukośną prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, nachyloną pod ostrym kątem α do osi X. Na prostej zaznaczono punkt A o współrzędnych xA;yA oraz poprowadzono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obie osie. Wyżej na prostej zaznaczono punkt B o współrzędnych xB;yB. Również zaznaczono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obu osiach. Z punktu A linią przerywaną poprowadzono poziomy odcinek o długości xB-xA. W ten sposób powstał trójkąt prostokątny o podstawie xB-xA, pionowej przyprostokątnej yB-yA oraz przeciwprostokątnej będącej odcinkiem AB, należącym do prostej.

Z powyższego rysunku wynika, że $tg α = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}$ .

Zatem współczynnik kierunkowy prostejwspółczynnik kierunkowy prostejwspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty jest równy ilorazowi różnicy drugich współrzędnych tych punktów przez różnicę pierwszych współrzędnych tych punktów.

Przykład 1

Wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A = (2; 3)$ i $B = (- 1; - 2)$ .

Zgodnie z wyprowadzonym powyżej wzorem współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{- 2 - 3}{- 1 - 2} = \frac{- 5}{- 3} = \frac{5}{3}$ .

Przykład 2

Dany jest punkt $A = (2; - 3)$ i $B$ . Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{3}{2}$ .

Wyznaczymy współrzędne przykładowych punktów $B$ spełniających warunki zadania.

Niech $B = (x_{B}; y_{B})$ . Na podstawie powyższej zależności możemy zapisać równanie $\frac{y_{B} + 3}{x_{B} - 2} = \frac{3}{2}$ , które po przekształceniu przyjmuje postać $3 x_{B} - 6 = 2 y_{B} + 6$ , co oznacza, że $x_{B} = \frac{2}{3} y_{B} + 4$ .

W poniższej tabelce otrzymaliśmy współrzędne kilku punktów spełniających warunki zadania:

$y_{B}$	$1$	$-1$	$3$	$- 3$
$x_{B} = \frac{2}{3} y_{B} + 4$	$4 \frac{2}{3}$	$3 \frac{1}{3}$	$6$	$2$

Słownik

współczynnik kierunkowy prostej

współczynnik $a$ w równaniu kierunkowym prostej $y = a x + b$

współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty

jeśli dane są dwa punkty o różnych pierwszych współrzędnych, to współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty jest równy ilorazowi różnicy drugich współrzędnych tych punktów przez różnicę ich pierwszych współrzędnych. Jeśli $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B})$ i $x_{A} \neq x_{B}$ , to współczynnik kierunkowy prostej $A B$ wyraża się wzorem $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik