Niektóre szczepy bakterii podwajają rozmiar swojej kolonii co godzinę, o ile umożliwiają to warunki środowiskowe. Zakładając idealne warunki, liczebność populacji w ciągu kilkunastu godzin od umieszczenia pierwszej bakterii w środowisku przedstawia poniższa tabela.

Kolejne wartości w tabeli odpowiadają zatem liczbom $2^1$, $2^2$, $2^3$ itd.

Funkcję $f:\mathrm{ℝ}⟶\mathrm{ℝ}$ zadaną wzorem

gdzie $a>0, a\ne 1$ jest pewną dodatnią stałą, nazywamy funkcją wykładniczą.

Populacja muszki owocówki (zakładając nieograniczony dostęp do pożywienia) pięciokrotnie zwiększa swoją liczebność w ciągu jednego tygodnia. Zakładając, że kolonia muszek założona została przez pojedynczą parę owadów, obliczymy jaką liczebność będzie mieć populacja po upływie pięciu tygodni.

Rozwiązanie

Niech $f\left(n\right)$ oznacza liczbę par muszek w populacji podczas n‑tego tygodnia obserwacji. Wówczas

$f\left(0\right)=1$ oraz $f\left(1\right)=5=5^1$.

Idąc dalej, w drugim tygodniu populacja składa się z $f\left(2\right)=25=5^2$ par muszek, zaś po upływie kolejnego tygodnia osiąga liczebność: $f\left(3\right)=125=5^3$ par.

W czwartym tygodniu jest ich pięciokrotnie więcej, niż w tygodniu trzecim, co daje liczbę $f\left(4\right)=625=5^4$ par muszek owocówek i w ostatnim tygodniu populacja osiąga wielkość $f\left(5\right)=3125=5^5$ par muszek.

Umieszczenie tych wartości na wspólnym wykresie sprawi, że uzyskamy wykres funkcji wykładniczej $f\left(x\right)=5^x$.

R1ETzEycPiVIk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera do siedmiu i pionową osią y od zera do trzy tysiące pięćset. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=5^x$, która rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie do punktu nawias jeden średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik sto dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu nawias cztery średnik sześćset dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu, następnie biegnie przez punkt nawias pięć średnik trzy tysiące sto dwadzieścia pięć zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu. Wymienione wcześniej punkty o wartościach x od jeden do pięć zostały zaznaczone na wykresie zamalowanymi kropkami.

Pewien rodzaj pestycydów stosowany do ochrony roślin uprawnych przed szarańczą ulega rozkładowi w tempie wykładniczym zgodnie z następującą regułą:
ilość pestycydu obserwowana w zbieranych pod koniec danego miesiąca plonach maleje o $30\%$ względem ilości obserwowanej na koniec poprzedniego miesiąca.

Wiedząc, że maksymalne bezpieczne dla człowieka stężenie pestycydu w zbieranych plonach stanowi $15\%$ dawki nagromadzonej w wyniku oprysku, ustalimy po ilu miesiącach od zastosowania pestycydów można bezpiecznie zebrać plony.

Rozwiązanie

Niech $f\left(0\right)=1$ opisuje początkową ilość pestycydu obserwowanego w świeżo spryskanych plonach. Przyjmując miesiąc za jednostkę czasu, wartość $f\left(t\right)$ opisywać będzie ilość pestycydu obserwowaną w plonach po upływie $t$ miesięcy. Z treści zadania wynika, że ilość obserwowanego w zbiorach środka ochronnego zmniejsza się do $70\%$ wartości z końca poprzedniego miesiąca. Oznacza to, że

$f\left(1\right)=70\%·1=0,7={\left(0,7\right)}^1$.

Naszym zadaniem jest znalezienie takiej wartości $t$, dla której $f\left(t\right)$ nie będzie przekraczać $15\%=0,15$. W tym celu obliczamy kilka kolejnych wartości funkcji wykładniczej $f\left(t\right)={\left(0,7\right)}^t$.

Mamy zatem:

$f\left(2\right)=0,7^2=0,49$;

$f\left(3\right)=0,7^3=0,343$;

$f\left(4\right)=0,7^4=0,2401$;

$f\left(5\right)=0,7^5=0,16807$;

$f\left(6\right)=0,7^6=0,117649$.

Ilość pestycydów w plonach dopiero po upływie $6$ miesięcy od oprysku spadła poniżej granicznej wartości $0,15$. Wykładniczy spadek ilości pestycydu obserwowanej w zebranych plonach ilustruje poniższy wykres.

R12n13QMjHoQR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera do siedmiu i pionową osią y od zera do dziewięć dziesiątych. W układzie zaznaczono wykres funkcji, która rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie do punktu nawias jeden średnik 0,7 zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik 0,49 zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik 0,343 zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu nawias cztery średnik 0,2401 zamknięcie nawiasu, następnie biegnie przez punkt nawias pięć średnik 0,16807 zamknięcie nawiasu, następnie biegnie przez punkt nawias sześć średnik 0,117649 zamknięcie nawiasu i wybiega poza płaszczyznę układu. Wymienione wcześniej punkty o wartościach x od jeden do sześć zostały zaznaczone na wykresie zamalowanymi kropkami.

Bank $X$ oferuje lokatę z oprocentowaniem $5\%$ w skali roku. Jaką ilość pieniędzy będziemy mieli po upływie trzech lat (zaokrąglając do pełnych groszy), jeżeli wpłacimy na tę lokatę $1000 \mathrm{zł}$?

Rozwiązanie

Zauważmy, że o ile po jednym roku lokata o wartości $1 \mathrm{zł}$ wzrośnie do wartości $1,05 \mathrm{zł}$, o tyle po dwóch latach nie będzie ona wynosić $1,10 \mathrm{zł}$. Dzieje się tak, ponieważ zarobione na lokacie $5$ groszy również będzie generować zyski w kolejnych latach.

Niech $f\left(x\right)={\left(1,05\right)}^x$. Przypatrzmy się, jakie zyski wytworzy złotówka na takiej lokacie w ciągu dwóch i trzech lat.

Po upływie drugiego roku, na lokacie z pojedynczej złotówki będziemy mieć:

$1,05\cdot 1,05={\left(1,05\right)}^2=f\left(2\right)=1,1025$.

Analogicznie, na koniec trzeciego roku wartość złotówki zamrożonej na lokacie wyniesie $f\left(3\right)={\left(1,05\right)}^3=1,157625$.

Przemnożenie tej wartości przez kwotę ulokowanego $1000 \mathrm{zł}$, daje nam

$1000\cdot f\left(3\right)=1000\cdot 1,157625=1157,625\approx 1157,\mathrm{63 }\left[\mathrm{zł}\right]$.

przy podnoszeniu liczby $a$ do potęgi $x$ (czyli wykonywaniu operacji $a^x$), liczbę potęgowaną $a$ nazywamy podstawą

przy podnoszeniu liczby $a$ do potęgi $x$ liczbę $x$ nazywamy wykładnikiem potęgi

sposób naliczania odsetek od zdeponowanego kapitału, w którym odsetki nagromadzone w poprzednich okresach uwzględniane są przy naliczaniu odsetek za okres bieżący