Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $\sqrt{6}$, a krawędź podstawy $2$. Wyznaczymy promień kuli opisanej na tym ostrosłupie.

Wykonajmy odpowiedni rysunek.

R8IIk0xnWxawP

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny A B C D S. Z wierzchołka S upuszczono wysokość bryły S E padającą na środek podstawy ostrosłupa w punkcie E. Na rysunku zaznaczono również obie przekątne podstawy A C oraz B C przecinające się w punkcie E. Na odcinku S E zaznaczono punkt O i połączono go z wierzchołkiem D tworząc odcinek O D o długości R. Na ilustracji zaznaczono również długości poszczególnych boków, odcinki A B i A D o długości dwa oraz odcinki D S i B S o długości pierwiastek z sześciu.

Zauważmy, że promień kuli, to promień koła opisanego na trójkącie $BDS$.

Zatem możemy posłużyć się następującym rysunkiem.

RhLcIf5tcWwm4

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny D B S wpisany w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S upuszczono wysokość S E, gdzie punkt E znajduje się na środku odcinka D B. Punkt O znajduje się na odcinku S E i jest połączony z wierzchołkiem D. Odcinki S D i S B mają długość pierwiastek z sześciu, natomiast odcinek D B ma długość dwa pierwiastki z dwóch.

Zauważmy, że $\left|DE\right|=\frac{1}{2}\left|BD\right|=\frac{1}{2}·2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.

Wyznaczymy wysokość ostrosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DES$.

${\left|DS\right|}^2={\left|DE\right|}^2+{\left|ES\right|}^2$

${\left(\sqrt{6}\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left|ES\right|}^2$

$\left|ES\right|=2$

Z trójkąta prostokątnego $DEO$ mamy.

${\left|DO\right|}^2={\left|EO\right|}^2+\left|DE\right|{}^2$

$R^2={\left(2-R\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

$R^2=4-4R+R^2+2$

$R=\frac{3}{2}$

W kulę o promieniu długości $3$ wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $4$. Obliczymy długość wysokości tego ostrosłupa.

W rozwiązaniu posłużymy się przekrojem ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przeciwległe krawędzie boczne.

R11HA1SUXp4iO

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny D B S wpisany w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S upuszczono wysokość S E, gdzie punkt E znajduje się na środku odcinka D B. Punkt O znajduje się na odcinku S E i jest połączony z wierzchołkiem D. Powstał odcinek D O o długości trzy, natomiast odcinek D B ma długość cztery pierwiastki z dwóch.

Zauważmy, że $\left|SO\right|=\left|DO\right|=3$. Zatem, aby wyznaczyć długość wysokości $SE$ wystarczy obliczyć długość odcinka $EO$. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DEO$:

${\left|EO\right|}^2+{\left|DE\right|}^2=\left|DO\right|{}^2$

${\left|EO\right|}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=3^2$

${\left|EO\right|}^2=9-8$

$\left|EO\right|=1$

Stąd wysokość ostrosłupa $\left|SE\right|=\left|EO\right|+\left|SO\right|=4$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Obliczymy pole powierzchni kuli opisanej na tym ostrosłupie.

W rozwiązaniu posłużymy się przekrojem ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przeciwległe krawędzie boczne.

R1VutfXqMZVFE

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny D B S wpisany w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S upuszczono wysokość S E, gdzie punkt E znajduje się na środku odcinka D B. Punkt O znajduje się na odcinku S E i jest połączony z wierzchołkiem D. Powstał odciek D O o długości R. Odcinki S D i S B mają długość dwa a, natomiast odcinek D B ma długość a pierwiastków z dwóch.

Obliczymy długość odcinka $SE$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DES$:

${\left|SE\right|}^2+{\left|DE\right|}^2={\left|DS\right|}^2$

${\left|SE\right|}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2={\left(2a\right)}^2$

${\left|SE\right|}^2=4a^2-\frac{1}{2}{a}^2$

$\left|SE\right|=\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Korzystając ze wzoru na długość promienia okręgu opisanego na trójkącie otrzymujemy:

$R=\frac{\left|DS\right|·\left|BS\right|·\left|BD\right|}{4P_{BDS}}=\frac{4a^3\sqrt{2}}{4·\frac{1}{2}a\sqrt{2}·\frac{a\sqrt{14}}{2}}=\frac{4a}{\sqrt{14}}=\frac{2a\sqrt{14}}{7}$.

Stąd $P=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{2a\sqrt{14}}{7}\right)}^2=\frac{32}{7}\pi a^2$.

Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoostrosłup prawidłowy czworokątny wpisany w kulęostrosłupa prawidłowego czworokątnego są równe i mają długość $a$.

Obliczymy objętość kuli opisanej na tym ostrosłupie.

W rozwiązaniu posłużymy się przekrojem ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przeciwległe krawędzie boczne.

Rroedu6mWymxs

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny D B S wpisany w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S upuszczono wysokość S O, gdzie punkt O znajduje się na środku odcinka D B. Podstawa trójkąta D B jest średnicą okręgu. Powstał odciek D O o długości R. Odcinki S D i S B mają długość a, natomiast odcinek D B ma długość a pierwiastków z dwóch.

Zauważmy, że boki trójkąta $BDS$ mają długości $a$, $a$ i $a\sqrt{2}$ czyli ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Zatem $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Stąd $V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^3=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi a^3$.

ostrosłup prawidłowy czworokątny jest wpisany w kulę (kula jest opisana na ostrosłupie prawidłowym czworokątnym) wtedy, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na powierzchni kuli