Zadanie 1. Oś liczbowa

Na osi OX mieszka pewna zmienna o imieniu z3a2, która swobodnie się po niej porusza.

Zadanie 1.1

Zmienna postanowiła odwiedzić swojego przyjaciela, którego dom znajduje się w miejscu zerowym funkcji $f\left(x\right)=7x^4+0,12\cdot x^2-3,4\cdot x-0,7$. Oto założenia:

• Dom ten mieści się w przedziale $\left[0, 1\right]$.

• Dom jest widoczny z odległości $\epsilon$.

Na jaką współrzędną $x$ zmienna powinna się udać?

Napisz program, który obliczy współrzędną $x$ miejsca zerowego podanej funkcji tak, aby błąd bezwzględny $\epsilon$ odpowiedzi (odległość, z której widoczny jest dom) wynosił nie więcej niż $0,03$.

Plik wynik.txt powinien zawierać określoną współrzędną $x$ miejsca zerowego funkcji zawartego w przedziale $\left[0, 1\right]$, przy założonym błędzie bezwzględnym $\epsilon$.

Wynik zapisz w pliku wynik.txt.

Do oceny oddajesz:

• plik wynik.txt zawierający odpowiedź (współrzędną x miejsca zerowego funkcji zawartego w przedziale $\left[0, 1\right]$, przy założonym błędzie bezwzględnym $\epsilon$)

• plik(i) z komputerową realizacją zadania (kodem programu)

Rozwiązanie przedstawimy w postaci pseudokodu, ponieważ na egzaminie maturalnym można posługiwać się następującymi językami: C++, Java lub Python.

Rozwiązanie

E ← 0.03
x0 ← 1
wypisz metodaStycznych(x0, E) do pliku

1. Zapisujemy wartość błędu bezwzględnego, w jakim powinno zmieścić się przybliżenie.  [wiersz 1.]

2. Ustalamy, od jakiej wartości rozpoczniemy przeszukiwanie – może to być dowolna wartość zawierająca się w przedziale. W tym wypadku została wybrana ostatnia możliwa. [wiersz 2.]

3. Wypisujemy wynik, który zwróci program. [wiersz 3.]

funkcja metodaStycznych(x0, E)
	x1 ← x0
	wykonuj:
		x0 ← x1
		x1 ← x0 - funkcja(x0) / pochodna(x0)
		jeżeli bezwzględna(x1 - x0) < E:
			przerwij pętlę
	zwróć x1

1. Definiujemy funkcję metodaStycznych, która zwróci przybliżoną wartość miejsca zerowego funkcji. [wiersz 1.]

2. Do kolejnej wartości x przypisujemy poprzednią – jest to konieczne w kontekście następnych obliczeń. [wiersz 2.]

3. Obliczamy następne możliwe miejsce zerowe – w tym celu zapisujemy kolejne przybliżenie z poprzedniej iteracji pętli – x1 do zmiennej x0, przechowującej poprzednią sprawdzaną wartość.  [wiersze 3. i 4.]

4. Ustalamy wartość argumentu funkcji dla punktu przecięcia stycznej do funkcji i osi OX. [wiersz 5.]

5. Sprawdzamy warunek, czy znaleźliśmy się w otoczeniu pierwiastka funkcji. [wiersz 6.]

6. Gdy przybliżenie będzie odpowiednie, czyli będzie mieściło się w granicy błędu, przerywamy działanie pętli. [wiersz 7.]

7. Na koniec zwracamy przybliżoną wartość znalezionego miejsca zerowego, co kończy działanie funkcji. [wiersz 8.]

funkcja funkcja(x)
	zwróc 7 * (x * x * x * x) + 0.12 * (x * x) - 3.4 * x - 0.7

funkcja pochodna(x)
	zwróć 28 * (x * x * x) + 0.24 * x - 3.4

8. Definiujemy funkcje funkcja(x) i pochodna(x), które zwrócą wartość funkcji oraz pochodnej w wybranym punkcie x.

funkcja bezwzględna(wartość)
	jeżeli wartość >= 0:
		zwróć wartość
	w przeciwnym razie:
		zwróć wartość * (-1)

9. Definiujemy funkcję zwracającą wartość bezwzględną z wybranej wartości.   [wiersz 1.]

10. Wartość bezwzględna zmienia ujemne wartości w dodatnie, natomiast dla nieujemnych wartość pozostaje niezmienna. [wiersze od 2. do 5.]

Przykładowa odpowiedź do zadania:

Przy założonych danych wejściowych poprawne wyniki zawarte są w przedziale $\left[0,80897 ; 0,86897\right]$.

Zadanie 1.2

Po odwiedzinach przyszła pora na powrót zmiennej z3a2 do domu.

Zmienna znajduje się w punkcie, w którym funkcja $f\left(x\right)=2x^7+\frac{3}{4}\cdot x^2+2$ przecina oś OX. Punkt jest nie dalej od środka układu współrzędnych niż 3 jednostki.

Napisz program, który obliczy, do jakiego przedziału zmienna z3a2 powinna się udać – dla przedziału $[a, b]$ nie powinien on być większy niż 1 jednostka, oraz poda przybliżoną pozycję jej domu (współrzędną x).

Plik wynik2.txt powinien zawierać określoną współrzędną $x$ – przybliżoną pozycję domu zmiennej z3a2.

Wynik zapisz w pliku wynik2.txt.

Do oceny oddajesz:

• plik wynik2.txt zawierający odpowiedź (współrzędną x – przybliżoną pozycję domu zmiennej z3a2)

• plik(i) z komputerową realizacją zadania (kodem programu)

Rozwiązanie przedstawimy w postaci pseudokodu, ponieważ na egzaminie maturalnym można posługiwać się następującymi językami: C++, Java lub Python.

Rozwiązanie

E ← 0.03
x0 ← bisekcja(-3, 3)
wypisz metodaStycznych(x0, E) do pliku

Wartością, od której rozpoczniemy przeszukiwanie, niech będzie ostatnia wartość w ustalonym przez bisekcję przedziale. [wiersz 2.]

funkcja bisekcja(x, y)
	jeżeli (y - x) > 1:
		jeżeli (x * ((x + y) / 2)) < 0:
			bisekcja(x, (x + y) / 2)
		w przeciwnym razie:
			bisekcja((x + y) / 2, y)
	zwróć y

1. Definiujemy funkcję bisekcji, która dla podanego przedziału ustali przedział nie większy niż jedna jednostka, w którym znajduje się szukany pierwiastek. Na koniec funkcja zwróci ostatnią wartość w znalezionym przedziale. [wiersz 1.]

2. Sprawdzamy warunek, czy nie osiągnęliśmy oczekiwanej wielkości przedziału. [wiersz 2.]

3. Sprawdzamy, w której części przedziału skrajne wartości przyjmą różne znaki. Jeżeli w pierwszej, wówczas wywołujemy rekurencyjnierekurencjarekurencyjnie funkcję bisekcji dla pierwszej części przedziału. W przeciwnym wypadku dla drugiej części przedziału. [wiersze od 3. do 6.]

funkcja metodaStycznych(x0, E)
	x1 ← x0
	wykonuj:
		x0 ← x1
		x1 ← x0 - funkcja(x0) / pochodna(x0)
		jeżeli bezwzględna(x1 - x0) < E:
			przerwij pętlę
	zwróć x1

Funkcję wykorzystującą metodę stycznych zapisujemy analogicznie jak w zadaniu 1.1.

funkcja funkcja(x)
	zwróc 2 * (x * x * x * x * x * x * x) + (3/4) * (x * x) + 2

funkcja pochodna(x)
	zwróć 14 * (x * x * x * x * x * x) + (3/2) * x

Działanie funkcji: funkcja oraz pochodna zostają zachowane, zmieniają się jedynie dane, na których działają przedstawione funkcje.

Przykładowa odpowiedź do zadania:

Przy założonych danych wejściowych poprawne wartości współrzędnej $x$ pozycji domu zmiennej zawarte są w przedziale $\left[-1,08074 ; -1,02074\right]$.

Słownik