Warto przeczytać

R1Ze8Pl23JAc9

Rys. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia trening rzutu młotem. Rzut młotem – jedna z technicznych konkurencji lekkoatletycznych, polegająca na rzucie kulą, do której przymocowana jest stalowa linka zakończona uchwytem. Zawodnik wykonuje rzut z koła o średnicy 2,135 m, otoczonego siatką ochronną.

Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, jeżeli wartość siły wypadkowej, działającej na poruszające się z pewną prędkością początkową ($v\neq0$) ciało jest równa zero, to ciało to nie zmieni swojej prędkości. Poruszać się ono będzie ruchem jednostajnym, po linii prostej. Zmiana trajektorii ciała wymaga siły. Szczególnym przypadkiem jest ruch po okręgu, w którym poruszające się ciało pozostaje w stałej odległości $r$ od środka okręgu. Wielkość $r$ jest promieniem okręgu. Ten szczególny rodzaj siły nazywany jest siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową, a jej wartość jest proporcjonalna do kwadratu prędkości, z jaką porusza się ciało. Wyrażana jest ona wzorem:

gdzie $m$ jest masą ciała, natomiast $v$ - prędkością liniową, z jaką ciało to porusza się po okręgu. Gdy wartość prędkości liniowej jest stała ($v=\text{const}$), ruch jest jednostajny.

Siła dośrodkowasiła dośrodkowaSiła dośrodkowa jest siłą zmieniającą kierunek wektora prędkości. Ma zwrot do środka okręgu (a więc kierunek zgodny z promieniem).

R1QdnVWBxUBS8

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest okrąg narysowany czarną, przerywaną linią. W środku okręgu zaznaczono czarnym punktem środek okręgu i podpisano wielką literą O. W najwyższym punkcie na okręgu również czarnym punktem zaznaczono ciało, do którego przyłożono dwa wektory. Jeden z nich jest poziomy, narysowany niebieską strzałką skierowaną w prawo. Jest to wektor prędkości liniowej opisany symbolem mała litera v ze strzałką u góry symbolizującą zapis wektorowy. Drugi wektor jest pionowy i narysowany czerwoną strzałką skierowaną w dół. Wektor ten Opisuje siłę dośrodkową wielka litera F z indeksem dolnym mała litera d i ze strzałką u góry symbolizującą zapis wektorowy. Wektor prędkości liniowej jest styczny do okręgu a wektor siły dośrodkowej jest skierowany do środka okręgu, zawsze.

Rolę siły dośrodkowej mogą pełnić różne siły. Na przykład:

• Siła naciągu nici, na której kręci się niewielki ciężarek.

• Siła grawitacji działająca na satelitę geostacjonarnego (tj. takiego, który stale znajduje się nad jednym punktem obracającej się Ziemi).

• Siła elektrostatyczna sprawiająca, że elektron krąży po orbicie wokół jądra atomowego.

Przykład 1.

Wyznaczmy wartość siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej $F_d$, działającej na kulkę o masie $m = 30\,\text{g}$, która obraca się na sznurku o długości $r = 1\,\text{m}$ (Rys. 2.). Kulka porusza się po okręgu, ze stałą prędkością $v = 15\,\text{cm/s}$.

R1YcnM9EgvVQp

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest okrąg narysowany czarną, przerywaną linią. W środku okręgu zaznaczono czarnym punktem środek okręgu i podpisano wielką literą O. W najwyższym punkcie na okręgu również czarnym punktem zaznaczono ciało, którego masę opisano powyżej ciała, czarnym kolorem jako mała litera m równa się trzydzieści mała litera g, co oznacza trzydzieści gramów. Do ciała przyłożono dwa wektory. Jeden z nich jest poziomy i styczny do okręgu. Widoczny jest w postaci zielonej strzałki skierowanej w lewo. Symbolizuje on wektor prędkości liniowej, którego wartość wynosi piętnaście centymetrów na sekundę co zapisano, jako mała litera v równa się piętnaście małe litery cm ukośnik mała litera s. Drugi wektor jest pionowy i narysowany fioletową strzałką biegnącą wzdłuż promienia okręgu widocznego w postaci czarnej linii łączącej punkt środka okręgu i punkt na jego obwodzie do którego przyłożono wektory. Promień opisany jest mała czarną literą r równa się jeden mała litera m co oznacza jeden metr. Wektor pionowy narysowany wzdłuż promienia skierowany jest w dół i przedstawia siłę dośrodkową. Wartość tej siły nie jest znana co zapisano w postaci wielka litera F z indeksem dolnym d równa się znak zapytania.

Wyznaczenie wartości siły dośrodkowej wymaga przede wszystkim uzgodnienia jednostek. Zapiszmy dane, zawarte w treści zadania, w jednostkach podstawowych układu SI.

Następnie wykorzystajmy wzór opisujący wartość siły dośrodkowej:

Wyznaczona wartość siły - intuicyjnie rzecz biorąc - nie jest duża. Zwróćmy jednak uwagę, że wzrost prędkości spowoduje znaczące jej zwiększenie. Wynika to z proporcjonalności wartości siły dośrodkowej do kwadratu prędkości liniowej.

Wyobraźmy sobie, że prędkość liniowa ciała wzrośnie dwukrotnie, do wartości $v_2 = 30\,\text{cm/s}$. Zauważmy, że wartość siły dośrodkowej wynosi w tym przypadku

Jest to wartość czterokrotnie większa, tzn.

Źródłem siły dośrodkowej w tym przypadku jest siła naciągu nici, która utrzymuje kulkę w stałej odległości od środka okręgu. W sytuacji, gdyby siła ta nagle przestała działać, np. wskutek zerwania nici, kulka zaczęłaby poruszać się po linii prostej lub po paraboli, jeżeli uwzględnilibyśmy ruch w polu grawitacyjnym Ziemi.

Wartość siły dośrodkowej możemy także wyznaczyć, znając prędkość kątową, z jaką porusza się ciało.

Satelita geostacjonarny jest obiektem wystrzelonym na orbitę okołoziemską, który nie zmienia swojej wysokości, a dodatkowo stale znajduje się nad jednym punktem Ziemi. Możliwe jest to wtedy, gdy jego orbita (orbita geostacjonarnaorbita geostacjonarnaorbita geostacjonarna) znajduje się w płaszczyźnie równika, co jest związane z ruchem obrotowym planety. Pomiar prędkości liniowej $v$ takiego satelity nie jest prosty, ponieważ odległość pomiędzy obiektem a obserwatorem jest duża. Większość satelitów geostacjonarnych krąży wokół Ziemi w odległości $r\approx 40\,000\,\text{km}$ od jej środka.

Przykład 2.

Wyznacz wartość siły dośrodkowej działającej na satelitę geostacjonarnego o masie $m$, który krąży po orbicie kołowej w odległości $r$ od środka Ziemi.

R1ILQwVnfx5MV

Na ilustracji widoczny jest okrąg narysowany czarną, przerywaną linią. W środku okręgu znajduje się Ziemia narysowana w postaci kolorowej kulki, współśrodkowej z czarnym okręgiem. Okrąg stanowi trajektorię orbity kołowej wokół Ziemi. W lewej, górnej części okręgu, na jego obwodzie narysowany jest schematycznie satelita. Satelita narysowany jest w postaci szarego prostokąta z czterema antenkami w postaci szarych cienkich linii. Pomiędzy środkiem okręgu i punktem, w którym znajduje się satelita narysowany jest promień okręgu w postaci czarnej linii. Linia opisana jest u góry mała literą r. Ze środka satelity znajdującego się na orbicie kołowej narysowana zieloną strzałkę, biegnącą wzdłuż promienia okręgu i skierowaną ku środkowi okręgu. Strzałka ta symbolizuje siłę dośrodkową i podpisana jest symbolem wielka litera F z indeksem dolnym mała litera d równa się znak zapytania, poniżej strzałki. Oznacza to, że wartość tej siły nie jest znana. Ze środka satelity wychodzi druga strzałka narysowana w postaci czerwonego łuku biegnącego wzdłuż okręgu symbolizującego orbitę kołową. Skierowana jest ona zgodnie z kierunkiem biegu wskazówek zegara. Jej grot, skierowany w prawo wskazuje położenie w którym znajduje się kolejny obrazek symbolizujący satelitę. Dalej po prawej stronie na obwodzie okręgu znajdują się jeszcze dwa symbole satelity. Odległości pomiędzy wszystkimi symbolami sateli są takie same i równe długości czerwonej strzałki. Symbole sateli symbolizują przemieszczanie się obiektu wzdłuż orbity kołowej. Jest to satelita geostacjonarny a czerwona strzałka w postaci łuku symbolizuje jego przesunięcie o równe odcinki drogi w jednakowych odcinkach czasu.

Prędkość kątową $\omega$, z jaką satelita porusza się po orbicie, możemy zapisać jako stosunek kąta pełnego $2\pi$ wyrażonego w radianach do wartości okresu $T$, w jakim kąt ten jest zakreślany,

W rozpatrywanym przypadku wartość okresu jest równa $T = 24\,\text{h}$. Należy pamiętać, że w obliczeniach wartość okresu należy wyrazić w sekundach: $T = 86\,400\,\text{s}$. (Ściślej rzecz biorąc, okres obiegu satelity geostacjonarnego odpowiada dobie gwiazdowej, czyli $23\,\text{h}\, 56\,\text{min}\, 4\,\text{s} = 86\,164\,\text{s}\ .$

Relacja wiążąca wartość prędkości liniowej $v$ i prędkości kątowej $\omega$ w ruchu po okręgu ma postać

Wykorzystajmy tę relację we wzorze na siłę dośrodkową:

Siłą dośrodkowąsiła dośrodkowaSiłą dośrodkową powodującą ruch satelity jest siła grawitacji. Oszacujmy wartość siły dośrodkowej oddziałującej na satelitę geostacjonarnego o masie $m = 30\, \text{kg}$, który krąży po orbicie kołowej o promieniu $r = 40\,000\,\text{km}$. Mamy

Zauważmy, że obliczona wartość siły dośrodkowej nie jest duża. Odpowiada ona sile koniecznej do utrzymania nad ziemią odważnika o masie $m\approx 0,647\,\text{kg}$. Oczywiście obliczona siła dośrodkowa jest też siłą grawitacji, z jaką Ziemia przyciąga satelitę i może być obliczona z prawa powszechnego ciążenia.

Słowniczek