Warto przeczytać Ruch harmoniczny to taki ruch drgający, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona ku niemu. Można ją zapisać w postaci
F x = − m ω 2 x ,
gdzie x – wychylenie, m – masa ciała, ω – wielkość proporcjonalna do częstotliwości drgań, zwana częstością kołową drgań. Znak minus wskazuje, że siła zwrócona jest przeciwnie do wychylenia (tj. ku położeniu równowagi).
Częstość kołowa drgań ω określa, ile pełnych drgań oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator) oscylator harmoniczny wykonuje w ciągu 2 π jednostek czasu (np. 2 π sekund), czyli jest to częstotliwość mnożona przez 2 π :
ω = 2 π f .
Jednostką częstości kołowej w układzie SI jest radian ma sekundę (rad/s).
W ruchu harmonicznym zależność wychylenia od czasu opisuje zależność
x ( t ) = A sin ( ω t + φ ) ,
gdzie A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa, (ω t + φ ) – faza drgań, a φ – faza początkowa.
Faza początkowa określa położenie ciała w chwili t = 0 (Rys. 1. i 2.).
RgawQJ14sJW0W Rys. 1. Z lewej strony ilustracji znajduje się wahadło, czyli kulka zawieszona na nici. Kulka znajduje się w najniższym położeniu, a nić ma kierunek pionowy. Do kulki przyłożony jest poziomy wektor prędkości skierowany w prawo i oznaczony literą małe v. Przerywanymi liniami narysowano skrajne położenia nici z lewej i prawej strony. Łuk narysowany przerywaną linią wskazuje tor, po którym porusza się kulka w trakcie drgań wahadła. Z prawej strony ilustracji znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej położenie wahadła w metrach oznaczone literą małe x. Wykres to sinusoida, która zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie zero i wznosi się w prawo i w górę, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,5 sekundy, położenie 0,1 metra. Następnie wykres opada w prawo i dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej jedna sekunda. Kolejne punkty przecięcia sinusoidy z osią poziomą znajdują się w punktach o współrzędnych dwa, trzy i cztery sekundy. Kolejne maksima sinusoidy znajdują się w punktach o współrzędnych: czas 2,5 sekundy, położenie 0,1 metra, czas 4,5 sekundy, położenie 0,1 metra. Minima sinusoidy znajdują się w punktach o współrzędnych: czas 1,5 sekundy, położenie minus 0,1 metra, czas 3,5 sekundy, położenie minus 0,1 metra.
Rys. 1. Położenie wahadła w chwili t = 0 (z zaznaczonym wektorem prędkości) i odpowiadający mu wykres x ( t ) . Okres drgań T = 2 s, amplituda A = 0,1 m, a faza początkowa jest równa zeru
RAPBRToVXT81P Rys. 2. Z lewej strony ilustracji znajduje się wahadło, czyli kulka zawieszona na nici. Kulka znajduje się w położeniu największego wychylenia, a nić jest skierowana w prawo i dół. Przerywanymi liniami narysowano skrajne położenie nici z lewej strony oraz położenie pionowe. Łuk narysowany przerywaną linią wskazuje tor, po którym porusza się kulka w trakcie drgań wahadła. Z prawej strony ilustracji znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej położenie wahadła w metrach oznaczone literą małe x. Wykres to sinusoida, która zaczyna się na osi pionowej w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie 0,1 metra i opada w prawo i w dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej 0,5 sekundy i osiąga minimum w punkcie o współrzędnych: czas jedna sekunda, położenie minus 0,1 metra. Kolejne punkty przecięcia sinusoidy z osią poziomą znajdują się w punktach o współrzędnych 1,5; 2,5 i 3,5 sekundy. Drugie minimum sinusoidy znajduje się w punkcie o współrzędnych: czas 3 sekundy, położenie minus 0,1 metra. Kolejne maksima sinusoidy znajdują się w punktach o współrzędnych: czas dwie sekundy, położenie 0,1 metra, czas 4 sekundy, położenie 0,1 metra.
Rys. 2. Położenie wahadła w chwili t = 0 i odpowiadający mu wykres x ( t ) . Faza początkowa jest równa π / 2 , wykres z Rys. 1. jest przesunięty o 1/4 okresu w lewo
Już Galileusz odkrył, że okres drgań wahadła nie zależy od amplitudy przy małych wychyleniach. Cecha ta, zwana izochronizmem Izochronizm (ang. isochronism) izochronizmem , została wykorzystana do pomiaru czasu.
RrgKYREQgUXGD Rys. 3. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej wychylenie w metrach oznaczone literą małe x. Narysowano 2 wykresy, czarny i czerwony, o kształcie sinusoid. Obie sinusoidy zaczynają się w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie zero i wznoszą się w prawo i w górę, osiągając maksimum, gdy czas wynosi 0,5 sekundy. Maksimum czerwonej sinusoidy położone jest wyżej niż maksimum czarnej sinusoidy. Największe wychylenie dla czerwonej sinusoidy wynosi 0,03 metra, a dla czarnej 0,02 metra. Dalej obie sinusoidy opadają w prawo i w dół i przecinają oś poziomą w tym samym punkcie o współrzędnej równej jedna sekunda. Kolejne punkty przecięcia obu sinusoid z osią poziomą znajdują się w punktach o współrzędnych dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem i osiem sekund. Minima obu sinusoid odpowiadają tym samym chwilom: 1,5 sekundy, 3,5 sekundy, 5,5 sekundy i 7,5 sekundy. Minimum czerwonej sinusoidy położone jest niżej niż minimum czarnej sinusoidy. Wychylenie w minimum czerwonej sinusoidy wynosi minus 0,03 metra, a w minimum czarnej minus 0,02 metra.
Rys. 3. Wykresy wychylenia w ruchu harmonicznym przy różnych amplitudach drgań i tym samym okresie.
W ruchu harmonicznym prędkość poruszającego się ciała zmienia się okresowo: przyjmuje maksymalną wartość przy przechodzeniu ciała przez położenie równowagi (dla x = 0), a jest równa zeru w skrajnych położeniach (dla x = ± A ), przy zmianie zwrotu wektora prędkości.
Wykres zależności prędkości od czasu ma kształt sinusoidalny, ale jest przesunięty w stosunku do wykresu wychylenia o 1/4 okresu (Rys. 4.).
R1A51Pz5qfH5p Rys. 4. Ilustracja przedstawia 2 układy współrzędnych, których pionowe osie leżą na jednej linii prostej. W każdym z układów na osi poziomej odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t. W górnym układzie na osi pionowej odłożono wychylenie w metrach oznaczone literą małe x, w dolnym układzie na osi pionowej odłożono prędkość oznaczoną literą małe v w metrach na sekundę. Wykres w górnym układzie, przedstawiający zależność wychylenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu i wznosi się w górę i w prawo, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych czas 0,5 sekundy, wychylenie 0,1 metra. Następnie wykres opada w prawo i w dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej jedna sekunda i osiąga minimum w punkcie o współrzędnych czas 1,5 sekundy, wychylenie minus 0,1 metra. Dalej wykres znów wznosi się w górę i w prawo i przebieg krzywej powtarza się. Narysowano poziomy odcinek łączący pierwsze maksimum sinusoidy oraz drugie maksimum, znajdujące się w punkcie o współrzędnych czas 2,5 sekundy, wychylenie 0,1 metra. Odcinek ten oznaczono literą wielkie T. Wykres w dolnym układzie, przedstawiający zależność prędkości od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w na osi pionowej, powyżej osi poziomej, w punkcie odpowiadającym maksymalnej prędkości 0,3 metra na sekundę i opada w prawo i w dół. Wykres przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej 0,5 sekundy. Wykres osiąga minimum w punkcie w punkcie o współrzędnych: czas jedna sekunda, prędkość minus 0,3 metry na sekundę. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo, przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej 1,5 sekundy i osiąga maksimum w punkcie o współrzędnych czas dwie sekundy, prędkość 0,3 metry na sekundę. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksima i minima wykresu prędkości odpowiadają tym samym chwilom na osi czasu, co zerowe wychylenia na wykresie wychylenia. Natomiast zerowe prędkości odpowiadają maksimom i minimom na wykresie wychylenia.
Rys. 4. Wykresy wychylenia x ( t ) i prędkości v ( t ) są przesunięte względem siebie o 1/4 T . Wartość prędkości jest maksymalna dla x = 0, a równa zeru dla x = ± A
Słowniczek Oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator) Oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator)
to ciało poruszające się ruchem harmonicznym.
Izochronizm (ang. isochronism) Izochronizm (ang. isochronism)
(od greckiego isos – równy i chronos – czas) to własność drgań polegająca na niezależności okresu drgań od amplitudy.