Ruch harmoniczny to taki ruch drgający, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona ku niemu. Można ją zapisać w postaci
gdzie – wychylenie, – masa ciała, – wielkość proporcjonalna do częstotliwości drgań, zwana częstością kołową drgań. Znak minus wskazuje, że siła zwrócona jest przeciwnie do wychylenia (tj. ku położeniu równowagi).
Częstość kołowa drgań określa, ile pełnych drgań oscylator harmonicznyOscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator)oscylator harmoniczny wykonuje w ciągu jednostek czasu (np. sekund), czyli jest to częstotliwość mnożona przez :
Jednostką częstości kołowej w układzie SI jest radian ma sekundę (rad/s).
W ruchu harmonicznym zależność wychylenia od czasu opisuje zależność
gdzie – amplituda drgań, – częstość kołowa, () – faza drgań, a – faza początkowa.
Faza początkowa określa położenie ciała w chwili = 0 (Rys. 1. i 2.).
RgawQJ14sJW0W
Rys. 1. Z lewej strony ilustracji znajduje się wahadło, czyli kulka zawieszona na nici. Kulka znajduje się w najniższym położeniu, a nić ma kierunek pionowy. Do kulki przyłożony jest poziomy wektor prędkości skierowany w prawo i oznaczony literą małe v. Przerywanymi liniami narysowano skrajne położenia nici z lewej i prawej strony. Łuk narysowany przerywaną linią wskazuje tor, po którym porusza się kulka w trakcie drgań wahadła. Z prawej strony ilustracji znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej położenie wahadła w metrach oznaczone literą małe x. Wykres to sinusoida, która zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie zero i wznosi się w prawo i w górę, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,5 sekundy, położenie 0,1 metra. Następnie wykres opada w prawo i dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej jedna sekunda. Kolejne punkty przecięcia sinusoidy z osią poziomą znajdują się w punktach o współrzędnych dwa, trzy i cztery sekundy. Kolejne maksima sinusoidy znajdują się w punktach o współrzędnych: czas 2,5 sekundy, położenie 0,1 metra, czas 4,5 sekundy, położenie 0,1 metra. Minima sinusoidy znajdują się w punktach o współrzędnych: czas 1,5 sekundy, położenie minus 0,1 metra, czas 3,5 sekundy, położenie minus 0,1 metra.
Rys. 1. Położenie wahadła w chwili = 0 (z zaznaczonym wektorem prędkości) i odpowiadający mu wykres . Okres drgań = 2 s, amplituda = 0,1 m, a faza początkowa jest równa zeru
RAPBRToVXT81P
Rys. 2. Z lewej strony ilustracji znajduje się wahadło, czyli kulka zawieszona na nici. Kulka znajduje się w położeniu największego wychylenia, a nić jest skierowana w prawo i dół. Przerywanymi liniami narysowano skrajne położenie nici z lewej strony oraz położenie pionowe. Łuk narysowany przerywaną linią wskazuje tor, po którym porusza się kulka w trakcie drgań wahadła. Z prawej strony ilustracji znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej położenie wahadła w metrach oznaczone literą małe x. Wykres to sinusoida, która zaczyna się na osi pionowej w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie 0,1 metra i opada w prawo i w dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej 0,5 sekundy i osiąga minimum w punkcie o współrzędnych: czas jedna sekunda, położenie minus 0,1 metra. Kolejne punkty przecięcia sinusoidy z osią poziomą znajdują się w punktach o współrzędnych 1,5; 2,5 i 3,5 sekundy. Drugie minimum sinusoidy znajduje się w punkcie o współrzędnych: czas 3 sekundy, położenie minus 0,1 metra. Kolejne maksima sinusoidy znajdują się w punktach o współrzędnych: czas dwie sekundy, położenie 0,1 metra, czas 4 sekundy, położenie 0,1 metra.
Rys. 2. Położenie wahadła w chwili = 0 i odpowiadający mu wykres . Faza początkowa jest równa , wykres z Rys. 1. jest przesunięty o 1/4 okresu w lewo
Już Galileusz odkrył, że okres drgań wahadła nie zależy od amplitudy przy małych wychyleniach. Cecha ta, zwana izochronizmemIzochronizm (ang. isochronism)izochronizmem, została wykorzystana do pomiaru czasu.
RrgKYREQgUXGD
Rys. 3. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej wychylenie w metrach oznaczone literą małe x. Narysowano 2 wykresy, czarny i czerwony, o kształcie sinusoid. Obie sinusoidy zaczynają się w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie zero i wznoszą się w prawo i w górę, osiągając maksimum, gdy czas wynosi 0,5 sekundy. Maksimum czerwonej sinusoidy położone jest wyżej niż maksimum czarnej sinusoidy. Największe wychylenie dla czerwonej sinusoidy wynosi 0,03 metra, a dla czarnej 0,02 metra. Dalej obie sinusoidy opadają w prawo i w dół i przecinają oś poziomą w tym samym punkcie o współrzędnej równej jedna sekunda. Kolejne punkty przecięcia obu sinusoid z osią poziomą znajdują się w punktach o współrzędnych dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem i osiem sekund. Minima obu sinusoid odpowiadają tym samym chwilom: 1,5 sekundy, 3,5 sekundy, 5,5 sekundy i 7,5 sekundy. Minimum czerwonej sinusoidy położone jest niżej niż minimum czarnej sinusoidy. Wychylenie w minimum czerwonej sinusoidy wynosi minus 0,03 metra, a w minimum czarnej minus 0,02 metra.
Rys. 3. Wykresy wychylenia w ruchu harmonicznym przy różnych amplitudach drgań i tym samym okresie.
W ruchu harmonicznym prędkość poruszającego się ciała zmienia się okresowo: przyjmuje maksymalną wartość przy przechodzeniu ciała przez położenie równowagi (dla = 0), a jest równa zeru w skrajnych położeniach (dla ), przy zmianie zwrotu wektora prędkości.
Wykres zależności prędkości od czasu ma kształt sinusoidalny, ale jest przesunięty w stosunku do wykresu wychylenia o 1/4 okresu (Rys. 4.).
R1A51Pz5qfH5p
Rys. 4. Ilustracja przedstawia 2 układy współrzędnych, których pionowe osie leżą na jednej linii prostej. W każdym z układów na osi poziomej odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t. W górnym układzie na osi pionowej odłożono wychylenie w metrach oznaczone literą małe x, w dolnym układzie na osi pionowej odłożono prędkość oznaczoną literą małe v w metrach na sekundę. Wykres w górnym układzie, przedstawiający zależność wychylenia od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w początkowym punkcie układu i wznosi się w górę i w prawo, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych czas 0,5 sekundy, wychylenie 0,1 metra. Następnie wykres opada w prawo i w dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej jedna sekunda i osiąga minimum w punkcie o współrzędnych czas 1,5 sekundy, wychylenie minus 0,1 metra. Dalej wykres znów wznosi się w górę i w prawo i przebieg krzywej powtarza się. Narysowano poziomy odcinek łączący pierwsze maksimum sinusoidy oraz drugie maksimum, znajdujące się w punkcie o współrzędnych czas 2,5 sekundy, wychylenie 0,1 metra. Odcinek ten oznaczono literą wielkie T. Wykres w dolnym układzie, przedstawiający zależność prędkości od czasu, to sinusoida, która zaczyna się w na osi pionowej, powyżej osi poziomej, w punkcie odpowiadającym maksymalnej prędkości 0,3 metra na sekundę i opada w prawo i w dół. Wykres przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej 0,5 sekundy. Wykres osiąga minimum w punkcie w punkcie o współrzędnych: czas jedna sekunda, prędkość minus 0,3 metry na sekundę. Następnie wykres wznosi się w górę i w prawo, przecina oś poziomą w punkcie o współrzędnej 1,5 sekundy i osiąga maksimum w punkcie o współrzędnych czas dwie sekundy, prędkość 0,3 metry na sekundę. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Maksima i minima wykresu prędkości odpowiadają tym samym chwilom na osi czasu, co zerowe wychylenia na wykresie wychylenia. Natomiast zerowe prędkości odpowiadają maksimom i minimom na wykresie wychylenia.
Rys. 4. Wykresy wychylenia i prędkości są przesunięte względem siebie o 1/4 . Wartość prędkości jest maksymalna dla = 0, a równa zeru dla
Słowniczek
Oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator)
Oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator)
to ciało poruszające się ruchem harmonicznym.
Izochronizm (ang. isochronism)
Izochronizm (ang. isochronism)
(od greckiego isos – równy i chronos – czas) to własność drgań polegająca na niezależności okresu drgań od amplitudy.