Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Rozwiązanie równania polega na zapisaniu coraz prostszych równań równoważnych, czyli takich, które mają taki sam zbiór rozwiązań. W tym celu możemy do obu stron równania dodać lub od obu stron odjąć tę samą liczbę. Możemy również obie strony równania pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Zadania tekstowe prowadzące do rozwiązania równania kwadratowego będziemy rozwiązywać w następujących etapach:

  • analiza zadania,

  • równanie i jego rozwiązanie,

  • sprawdzenie rozwiązania równania z warunkami zadania,

  • zapisanie odpowiedzi.

Szczególną uwagę zwrócimy na odrzucenie ujemnych rozwiązań równania kwadratowego, które nie mogą spełniać warunków zadania.

Przykład 1

Obliczymy, ile metrów kwadratowych siatki potrzeba na ogrodzenie prostokątnej działki o polu równym 384 m2, której jeden bok jest o 8 m dłuższy od drugiego.

Niech:

x - oznacza długość krótszego boku prostokątnej działki,

x+8 – długość dłuższego boku prostokątnej działki,

384 m2 - pole działki.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację w zadaniu:

x(x+8)=384

x2+8x-384=0

Δ=64-4·1·(-384)=64+1536=1600

Δ=40

x1=-b-Δ2a

x1=-8-402

x1=-24

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

x2=-b+Δ2a

x2=-8+402

x2=16

Czyli krótszy bok działki ma długość 16 m.

Obwód działki jest równy 216+224=32+48=80 metrów.

Przykład 2

Wokół trawnika o wymiarach 5 m × 8 m zbudowano chodnik o szerokości x m. Jaka jest szerokość chodnika, jeżeli jego pole powierzchni jest równe  30 m2?

Niech:

5 m  8 m -pole   powierzchni trawnika,

x - szerokość chodnika,

30 m2 - pole powierzchni chodnika,

(5+2x)  (8+2x) - pole powierzchni  prostokąta, ograniczającego trawnik wraz z chodnikiem.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną  w zadaniu:

(5+2x)·(8+2x)-5·8=30.

40+10x+16x+4x2-40=30

4x2+26x-30=0

2x2+13x-15=0

Δ=132-4·2·(-15)=169+120=289

Δ=17

x1=-b-Δ2a

x1=-13-172·2

x1=-152

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

x2=-b+Δ2a

x2=-13+172·2

x2=1

Szerokość chodnika to 1 m.

Przykład 3

Znajdziemy dwie liczby, których iloczyn jest równy 6, a suma jest równa 33.

Niech:

x - oznacza pierwszą liczbę,

33-x - drugą liczbę.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu:

x(33-x)=6.

33x-x2=6

-x2+33x-6=0

Δ=(33)2-4·(-1)·(-6)=27-24=3

Δ=3

x1=-b-Δ2a

x1=-33-3-2

x1=23

x2=-b+Δ2a

x2=-33+3-2

x2=3

y1=333=23, y2=33-23=3

Liczby spełniające warunki zadania to 323.

Przykład 4

Obliczymy ile boków ma wielokąt wypukły, który ma 90 przekątnych. Liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie wypukłym obliczamy ze wzoru n(n-3)2, gdzie n oznacza liczbę boków wielokąta wypukłego (nNn>3).

Możemy zapisać równanie: n(n-3)2=90.

n(n-3)=180

n23n180=0

Δ=32-4·(-180)=9+720=729

Δ=27

n1=-b-Δ2a

n1=3272

n1=12

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

n2=-b+Δ2a

n2=3+372

n2=15

Piętnastokąt wypukły ma 90 przekątnych.

Przykład 5

Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o promieniu 13. Obliczymy długości przyprostokątnych tego trójkąta wiedząc, że suma długości przyprostokątnych jest równa 10.

Niech:

x - oznacza długość pierwszej przyprostokątnej,

10x - długość drugiej przyprostokątnej.

Ponieważ przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącieokrąg opisany na trójkącieokręgu opisanego na tym trójkącie, więc ma długość 213. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać równanie:

x2+(10-x)2=(213)2

x2+100-20x+x2=52

2x2-20x+48=0

x2-10x+24=0

Δ=(-10)2-4·24=100-96=4

Δ=2

x1=-b-Δ2a

x1=10-22

x1=4

x2=-b+Δ2a

x2=10+22

x2=6

Zatem y1=10-4=6,y2=10-6=4.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są równe 46.

Słownik

okrąg opisany na trójkącie
okrąg opisany na trójkącie

okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta