Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Granice jednostronne według Heinego

Aby zobrazować ideę granic jednostronnych, spójrzmy na następujący przykład.

Przykład 1

Rozważmy funkcję daną wzorem

Dziedziną tej funkcji jest zbiór . Dziedzinę możemy też zapisać jako sumę przedziałów . Sprawdzimy czy funkcja posiada granicę w punkcie . Na początek zapiszemy wzór funkcji w innej postaci. Wykorzystamy w tym celu definicję wartości bezwzględnejwartość bezwględna liczbywartości bezwzględnej. Rozważmy przypadki

  1. Jeśli , to wówczas oraz

  2. Jeśli , to wówczas oraz

Zatem wzór funkcji możemy zapisać następująco

f(x)={2dla  x>32dla  x<3

Zauważmy, że funkcja przyjmuje inną wartość na lewo oraz inną na prawo od punktu . Poniżej znajduje się wykres funkcji .

RwWIsmC5QnIrw

Chcąc wykorzystać definicję Heinego definicji funkcji w punkcie, rozsądne wydaje się rozważyć oddzielnie ciągi, których wszystkie wyrazy leżą tylko na lewo lub tylko na prawo od punktu , tzn. takie, które zawierają się w lewo- lub prawostronnym sąsiedztwie tego punktu. Rozważmy zatem przypadki.

  1. Niech będzie ciągiem argumentów funkcji zawartym w lewostronnym sąsiedztwie punktu , tzn. dla każdego oraz zbieżnym do liczby . Wówczas ciąg wartości funkcji jest ciągiem stałym równym , tzn. dla każdego . Zatem jego granica jest też równa .

  2. Niech będzie ciągiem argumentów funkcji zawartym w prawostronnym sąsiedztwie punktu , tzn. dla każdego oraz zbieżnym do liczby . Wówczas ciąg wartości funkcji jest ciągiem stałym równym , tzn. dla każdego . Zatem jego granica jest też równa .

Powyższy przykład pokazuje, że ciąg wartości funkcji może mieć inną granicę gdy ciąg argumentów zawarty jest lewostronnym sąsiedztwie punktu a inną, gdy ciąg argumentów zawarty jest prawostronnym sąsiedztwie tego punktu. Obserwacja ta daje motywację do wprowadzenia pojęcia granic jednostronnych funkcji w punkcie. Rozróżniamy dwa rodzaje granic jednostronnych: lewostronną oraz prawostronną. Formalna definicja, oparta o definicję granicy funkcji w punkcie według Heinego, jest następująca

Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego
Definicja: Granica lewostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba jest granicą lewostronną funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnego ciągu argumentów funkcji , który jest zwarty w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu (tzn. dla pewnej liczby oraz dla każdego ) ciąg wartości jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy następująco

Analogicznie możemy zdefiniować granicę prawostronną.

Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego
Definicja: Granica prawostronna funkcji w punkcie według Heinego

Powiemy, że liczba jest granicą prawostronną funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnego ciągu argumentów funkcji , który jest zwarty w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu (tzn. dla pewnej liczby oraz dla każdego ) ciąg wartości jest zbieżny do liczby . Fakt ten zapisujemy następująco

Powracając do pierwszego przykładu widzimy, że zdefiniowana tam funkcja posiada granice jednostronne w punkcie oraz

Spójrzmy na kolejny przykład

Przykład 2

Obliczymy granice jednostronne w punkcie funkcji danej wzorem

Dziedziną funkcji jest zbiór . Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwględna liczbywartości bezwzględnej aby pozbyć się modułu z mianownika. Rozważmy przypadki

  1. Jeśli , to

  1. Jeśli , to

Wzór funkcji możemy zapisać w następujący sposób.

f(x)={x2+1dla  x>0-x2-1dla  x<0

Biorąc teraz dowolny ciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz widzimy, że oraz

Zatem

Z drugiej strony biorąc dowolny ciąg argumentów funkcji taki, że dla każdego oraz widzimy, że oraz

Zatem

Powyższy przykład ma następującą interpretację graficzną.

RJ8Hq3q84vOnA

Granice jednostronne według Cauchy'ego

Granice jednostronne możemy też zdefiniować w oparciu o definicję Cauchy'ego.

Granica lewostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego
Definicja: Granica lewostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Powiemy, że liczba jest granicą lewostronną funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego jeśli , to .

Granica prawoostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego
Definicja: Granica prawoostronna funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Powiemy, że liczba jest granicą prawostronną funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego jeśli , to .

Przykład 3

Wyznaczymy granice jednostronne funkcji na krańcach jej dziedziny.

Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc funkcja jest poprawnie określona jeśli . Zatem .

Ze względu na dziedzinę funkcji w punkcie istnieje jedynie granica prawostronna (funkcja jest określona tylko na prawo od ). Wykażemy, że granica ta jest równa . Wykorzystamy definicję Cauchy'ego. Weźmy w tym celu dowolną liczbę . Niech . Weźmy dowolny taki, że . Wynika stąd, że

oraz

Stąd otrzymujemy

Z definicji Cauchy'ego granicy prawostronnej wynika zatem, że

W punkcie z kolei istnieje jedynie granica lewostronna, gdyż funkcja jest określona tylko na lewo od . Analogicznie jak powyżej można wykazać, że

Słownik

wartość bezwględna liczby
wartość bezwględna liczby

wartość bezwzględną (moduł) liczby definiujemy następująco

|x|={xdla  x0xdla  x<0