Przeczytaj

Rozwinięcia dziesiętna liczb wymiernych

Przypomnijmy, że aby wyznaczyć rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej, wystarczy przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego (być może niewłaściwego), a następnie wykonać dzielenie licznika przez mianownik tego ułamka. Przy czym dzielenia nie kończymy w chwili, gdy pojawia się reszta z dzielenia. Wówczas w ilorazie stawiamy przecinek (separator) dziesiętny równocześnie dopisując zero po prawej stronie reszty i kontynuujemy dzielenie.

Rozważmy kilka przykładów.

Przykład 1

Obliczymy:

R1W5Lhx9efwbz

Dzielenie pisemne 253 podzielić na 5, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 25 i dzielimy ją przez 5, nad linią wyniku nad 5 zapisujemy 5, następnie mnożymy 5 razy 5 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 25 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 25 odjąć 25 , wynik jest równy zero czego nie zapisujemy tylko przepisujemy liczbę 3 pod linią; teraz dzielimy 3 przez 5; wynik 0 zapisujemy nad linią wynikową nad 3, mnożymy 0 razy 5 i wynik 0 zapisujemy pod liczbą 3, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 3 odjąć zero i zapisujemy pod nią wynik 3, dopisujemy 0, otrzymując 30, teraz dzielimy 30 przez 5; wynik 6 zapisujemy na linią wynikową po przecinku, mnożymy 6 razy 5 i wynik 30 zapisujemy pod liczbą 30, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 30 odjąć 30, co równa się 0. Dzielenie zostało zakończone, czyli 253 podzielić na 5 równa się 50 przecinek 6.

R1HmhROh3aI9p

Dzielenie pisemne 2347 podzielić na 4, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 23 i dzielimy ją przez 4, nad linią wyniku nad 3 zapisujemy 4, następnie mnożymy 5 razy 4 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 20 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 23 odjąć 20; pod linią zapisujemy wynik 3 i dopisujemy liczbę 4 ;otrzymujemy 34; teraz dzielimy 34 przez 4; wynik 8 zapisujemy nad linią wynikową nad 4, mnożymy 8 razy 4 i wynik 32 zapisujemy pod liczbą 34, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 34 odjąć 32 i zapisujemy pod nią wynik 2, dopisujemy 7, otrzymując 27, teraz dzielimy 27 przez 4; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową nad 7, mnożymy 6 razy 4 i wynik 24 zapisujemy pod liczbą 27, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 27 odjąć 24 i zapisujemy pod nią wynik 3 i dopisujemy zero; otrzymujemy liczbę 30; teraz dzielimy 30 przez 4; wynik 7 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 7 raz 4 i zapisujemy wynik 28 pod liczbą 30, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 30 odjąć 28 i zapisujemy wynik 2 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 20; teraz dzielimy 20 przez 4; wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową obok 7, mnożymy 5 razy 4 i zapisujemy wynik 20 pod liczbą 20, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 20 odjąć 20. Dzielenie zostało zakończone, zatem 2347 podzielić na 4 równa się 586 przecinek 75.

R11hJYjZZydrg

Dzielenie pisemne 56785 podzielić na 8, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 56 i dzielimy ją przez 8, nad linią wyniku nad 6 zapisujemy 7, następnie mnożymy 7 razy 8 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 56 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 56 odjąć 56 ; pod linią zapisujemy wynik 0 i dopisujemy liczbę 7 ;otrzymujemy 7; teraz dzielimy 7 przez 8; wynik 0 zapisujemy nad linią wynikową nad 7, mnożymy 0 razy 8 i wynik 0 zapisujemy pod liczbą 7, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 7 odjąć 0 i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 8, otrzymując 78, teraz dzielimy 78 przez 8; wynik 9 zapisujemy nad linią wynikową nad 8, mnożymy 9 razy 8 i wynik 72 zapisujemy pod liczbą 78, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 78 odjąć 72 i zapisujemy pod nią wynik 6 i dopisujemy 5; otrzymujemy liczbę 65; teraz dzielimy 65 przez 8; wynik 8 zapisujemy nad linią wynikową nad 5, mnożymy 8 raz 8 i zapisujemy wynik 64 pod liczbą 65, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 65 odjąć 64 i zapisujemy pod nią wynik 1 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 10; teraz dzielimy 10 przez 8; wynik 1 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 1 razy 8 i zapisujemy wynik 8 pod liczbą 10, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 10 odjąć 8, pod nią zapisujemy wynik 2 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 20 i dzielimy ją przez 8, wynik2 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 1, mnożymy 2 razy 8 i zapisujemy wynik 16 pod liczbą 20, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 20 odjąć 16, otrzymujemy 4 i dopisujemy 0; otrzymaliśmy liczbę 40, dzielimy 40 przez 8 , wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 2, mnożymy 5 razy 8 i wynik 40 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy od 40 liczbę 40 i zapisujemy pod nią wynik 0. Dzielenie zostało zakończone, czyli 56785 podzielić na 8 równa się 7098 przecinek 125.

R1RMt3nNab5tk

Dzielenie pisemne 123457 podzielić na 6 nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważamy dwie początkowe liczby, dzielnej czyli 12 i dzielimy ją przez 6, nad linią wyniku nad 2 zapisujemy 2, następnie mnożymy 2 razy 6 i wynik zapisujemy pod dwoma pierwszymi liczbami dzielnej , pod 12 kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 12 odjąć 12 ; pod linią zapisujemy wynik 0 i dopisujemy liczbę 3 ;otrzymujemy 3; teraz dzielimy 3 przez 6; wynik 0 zapisujemy nad linią wynikową nad 3, mnożymy 0 razy 6 i wynik 0 zapisujemy pod liczbą 3, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 0 od liczby 3 i zapisujemy pod nią wynik 3, dopisujemy 4, otrzymując 34, teraz dzielimy 34 przez 6; wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową nad 4, mnożymy 5 razy 6 i wynik 30 zapisujemy pod liczbą 34, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 34 odjąć 30 i zapisujemy pod nią wynik 4 i dopisujemy 5; otrzymujemy liczbę 45; teraz dzielimy 45 przez 6; wynik 7 zapisujemy nad linią wynikową nad 5, mnożymy 7 raz 6 i zapisujemy wynik 42 pod liczbą 45, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 45 odjąć 42 i zapisujemy pod nią wynik 3 i dopisujemy 7, otrzymujemy liczbę 37; teraz dzielimy 37 przez 6; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową, mnożymy 6 razy 6 i zapisujemy wynik 36 pod liczbą 37, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 37 odjąć 36, pod nią zapisujemy wynik 1 i dopisujemy 0, otrzymujemy liczbę 10 i dzielimy ją przez 6, wynik2 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 1 razy 6 i zapisujemy wynik 6 pod liczbą 10, poniżej kreślimy poziomą linię i odejmujemy 10 odjąć 6, otrzymujemy 4 i dopisujemy 0; otrzymaliśmy liczbę 40, dzielimy 40 przez 6 , wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 1, mnożymy 6 razy 6 i wynik 36 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy od 40 liczbę 36 i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0; otrzymaliśmy liczbę 40, dzielimy 40 przez 6 , wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na prawo od liczby 1, mnożymy 6 razy 6 i wynik 36 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy od 40 liczbę 36 i zapisujemy pod nią wynik 4. Dzielenie jest nieskończone, zatem 123457 podzielić na 6 równa się 20576 przecinek 1 i 6 w okresie.

Zwróć uwagę na ostatni przykład. Po postawieniu przecinka dziesiętnego od pewnego miejsca zaczyna powtarzać się cyfra $6$ .

Przypomnijmy, że grupę powtarzających się cyfr w rozwinięciu dziesiętnym nazywamy okresem, zaś liczbę tych cyfr – długością okresudługość okresudługością okresu.

OkresokresOkres zapisujemy zwykle w nawiasie okrągłym lub z kreską ponad nim:

$20576, 1 (6) = 20576, 16$

W powyższym przykładzie okres ma długość $1$ .

Rozważając przykłady możemy zauważyć pewną prawidłowość.

Po zamianie liczby wymiernej $a$ na ułamek zwykły (być może niewłaściwy) i skróceniu go do ułamka nieskracalnego $\frac{p}{q}$ , rozłóżmy mianownik $q$ na czynniki pierwsze. Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $q$ występują tylko potęgi liczb $2$ i $5$ , to rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej $a$ jest skończone. Zaś jeśli w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $q$ występują liczby różne od potęg liczb $2$ i $5$ , wówczas rozwinięcie dziesiętne liczby $a$ jest okresowe.

Przykład 2

Rozważmy liczbę $1 \frac{3}{20} = \frac{23}{20}$ .

Ponieważ w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $20$ występują tylko potęgi liczb $2$ i $5$ $(20 = 2^{2} \cdot 5)$ , więc rozwinięcie dziesiętne liczby $\frac{23}{20}$ jest skończone.

Mianownik liczby $2 \frac{5}{6} = \frac{17}{6}$ w rozkładzie na czynniki pierwsze zawiera liczbę $3$ $(6 = 2 \cdot 3)$ oraz ułamek ten jest nieskracalny.

Oznacza to, że jego rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone okresowe.

Przykład 3

Zamienimy liczby o podanym rozwinięciu dziesiętnym na ułamek zwykły.

a) $2,13 = 2 \frac{13}{100}$ lub $2,13 = \frac{213}{100}$

b) $12,468 = 12 \frac{468}{1000} = 12 \frac{117}{250}$ lub $12,468 = \frac{12468}{1000} = \frac{3117}{250}$

Na przykładzie przypomnimy, w jaki sposób można liczby o rozwinięciach okresowych przedstawiać w postaci ułamków zwykłych. Więcej przykładów znajdziesz w animacji uzupełniającej lekcję.

Przykład 4

Przedstawimy podane liczby w postaci ułamków zwykłych.

$0, 1 (23)$

Niech $x = 0,123232323 . . .$

Możemy pomnożyć obie strony równości przez potęgę dziesiątki o wykładniku, który jest równy długości okresudługość okresudługości okresu liczby $0, 1 (23)$ , czyli przez $10^{2} = 100$ .

Otrzymamy wówczas równość

$100 x = 12,323232323 . . .$

Po odjęciu lewej strony pierwszej równości od lewej strony drugiej równości i prawej strony pierwszej równości od prawej strony drugiej równości, otrzymujemy

$100 x - x = 12,323232323 . . . - 0,123232323 . . .$

$99 x = 12,2$

$x = \frac{12,2}{99}$

$x = \frac{122}{990}$

$x = \frac{61}{495}$

Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych

Jest wiele sposobów znajdowania rozwinięć dziesiętnych liczb niewymiernych:
komputery wykorzystują rozwinięcia funkcji w szereg Taylora (do tego potrzebne jest pojęcie pochodnej funkcji); istnieje algorytm pierwiastkowania pisemnego (nieco trudniejszy niż algorytm dzielenia pisemnego) oparty na dość elementarnych wzorach algebraicznych.

W praktyce wykorzystujemy dziś kalkulator, komputer lub tablice matematyczne.

Zanotujmy początki rozwinięć dziesiętnych wybranych liczb niewymiernych:

π = 3,14159264 . . .

\sqrt{2} = 1,41421356 . . .

\sqrt{3} = 1,7320508 . . .

\sqrt{5} = 2,23606797 . . .

\sqrt{6} = 2,44948974 . . .

\sqrt{7} = 2,64575131 . . .

\sqrt{10} = 3,1622776 . . .

\sqrt{11} = 3,3166247 . . .

\sqrt{13} = 3,60555127 . . .

\sqrt{14} = 3,74165738 . . .

\sqrt{15} = 3,87298334 . . .

Na przykładzie liczby $\sqrt{5}$ prześledźmy, jak kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego przybliżają jej wartość. Przypomnijmy, że pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to taka liczba $b$ , która podniesiona do kwadratu równa się liczbie $a$ .

Przybliżenie liczby $\sqrt{5}$	Kwadrat przybliżenia
$2$	$4$
$2, 2$	$4, 84$
$2, 23$	$4, 9729$
$2, 236$	$4, 999696$
$2, 23606$	$4, 9999643236$
$2, 236067$	$4, 999995628489$
$2, 2360679$	$4, 99999965341041$

Rozwinięcie dziesiętne liczby $\sqrt{5}$ jest nieskończone i nieokresowe – im więcej cyfr weźmiemy, tym dokładniejsze będzie przybliżenie.

Przykład 5

Wyznaczymy rozwinięcia dziesiętne wskazanych liczb niewymiernych z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

$\frac{\sqrt{2} - 1}{2} \approx \frac{1,4142 - 1}{2} = \frac{0,4142}{2} = 0,2071 \approx 0,207$

$\frac{\sqrt{7} + 1}{2} \approx \frac{2,6457 + 1}{2} = \frac{3,6457}{2} = 1,82285 \approx 1,823$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \approx 2 \cdot 1,73205 = 3,4641 \approx 3,464$

Podsumujmy powyższe rozważania w postaci twierdzenia.

Liczba wymierna i niewymierna

Twierdzenie: Liczba wymierna i niewymierna

Liczba jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe.

Liczba jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinięcia dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Słownik

okres

grupa cyfr w określonej kolejności, która powtarza się w rozwinięciu dziesiętnym liczby wymiernej

długość okresu

liczba cyfr w okresie

Wprowadzenie

Animacja

Rozwinięcia dziesiętna liczb wymiernych

Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych

Słownik