Warto przeczytać

Zgodnie z definicją, ciałem doskonale czarnymciało doskonale czarne, promieniwanie c.d.cz. (ang. black body, black body radiation)ciałem doskonale czarnym jest obiekt, który pochłania całe padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne, niezależnie od temperatury tego ciała, czy widma padającego promieniowania. Ponadto ciało doskonale czarne emituje pochłoniętą energię w postaci promieniowania elektromagnetycznego o widmie charakterystycznym dla temperatury ciała.

Najpopularniejszym modelem ciała doskonale czarnego jest wnęka z niewielkim otworem. Promieniowanie wpadające przez otwór do wnęki ulega w niej wielokrotnym odbiciom, czyli jest niemal w 100% pochłaniane (patrz Rys. 1.). Powierzchnia otworu zachowuje się więc zgodnie z definicją ciała doskonale czarnego.

RgYc7ScH0fa4Y
Rys. 1. Wnęka z otworem i wpadające z zewnątrz promieniowanie - model ciała doskonale czarnego
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Jak wygląda promieniowanie emitowane przez wnękę? Jego rozkład zależy od temperatury wewnątrz niej. Przykładowe rozkłady promieniowania ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur przedstawia rysunek Rys. 2.

RWRcr9z6jXlwl
Rys. 2. Rozkład natężenia promieniowania ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur (na osi rzędnych zastosowano umowne jednostki natężenia)
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Rozkład natężenia promieniowanie emitowanego przez ciało doskonale czarne jest rozkładem ciągłym. Długość fali, w której natężenie promieniowania osiąga maksimum, jest określona doświadczalnym I prawem Wiena, zwanym również „prawem przesunięć Wiena”. Formułujemy je następująco:

Długość fali λ, dla której natężenie promieniowania osiąga maksimum, jest odwrotnie proporcjonalne do temperatury T wyrażonej w kelwinach:

λ=b/T,

gdzie b to doświadczalnie wyznaczona stała Wiena wynosząca ok. 2,9010-3mK.

Inną ważną obserwacją poczynioną przez Josefa Stefana i Ludwiga Boltzmanna jest zależność całkowitego strumienia mocy promieniowania emitowanego przez ciało doskonale czarne (S) od jego temperatury wyrażonej w kelwinach (T). Strumieniem mocy jest energia emitowana przez jednostkową powierzchnię ciała doskonale czarnego w jednostce czasu. Jednostką strumienia mocy promieniowania jest więc J/sm2.

Związek ten, zwany prawem Stefana‑Boltzmanna, przyjmuje postać:

S=σT4.

Symbol σ oznacza stałą Stefana‑Boltzmanna wynoszącą ok. 5,6710-8J/(sm2K4). Całkowita moc ciała doskonale czarnego jest więc proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury tego ciała.

R14NRG95RlOVD
Rys. 3. Słońce.
Źródło: NASA/SDO, dostępny w internecie: https://www.hzdr.de/db/Cms?pOid=48313&pNid=99 [dostęp 21.04.2022 r.].

Posługując się równaniem Stefana‑Boltzmanna można wyznaczyć temperaturę Słońca. W tym celu założymy, że Słońce jest kulistym ciałem doskonale czarnym o promieniu R0=7108m. Natężenie promieniowania słonecznego na powierzchni Ziemi (stała słoneczna) wynosi F0=1361W/m2, a odległość powierzchni Ziemi od Słońca wynosi ok R=1,51011m. Zakładamy, że Słońce można traktować jako ciało doskonale czarne. Zgodnie z równaniem Stafana‑Boltzmanna jego temperatura może być wyznaczona ze strumienia mocy promieniowania Słońca (P) podzielonej przez jego powierzchnię. Wyznaczamy ją ze wzoru na powierzchnię kuli 4πR02. Temperatura wynosi wobec tego

T=(S/σ)1/4=(P/(σ4πR02))1/4.

Jak wyznaczyć całkowitą moc promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez Słońce? Wiemy, że natężenie promieniowania słonecznego na powierzchni Ziemi, zwane stałą słoneczną, wynosi F0=1361W/m2. Wielkość ta jest mocą promieniowania słonecznego na jednostkę powierzchni Ziemi. Słońce emituje promieniowanie izotropowo, czyli jednakowo w każdym kierunku. Oznacza to, że w każdym punkcie przestrzeni oddalonym o R od środka Słońca natężenie promieniowania będzie wynosiło F0. Całkowitą moc można wyznaczyć mnożąc F0 przez powierzchnię sfery o promieniu R.

P=4πR2F0.

Podstawiając wyrażenie na całkowitą moc promieniowania słonecznego do wzoru na temperaturę otrzymamy

T=(4πR2F0/(σ4πR02))1/4=(R2F0/(σR02))1/4.

Podstawienie danych liczbowych daje

T=1361W/m22,251022m2/(5,6710-8WK4/m2491016m2)1/4=
= (111014K4)1/4=5762K.

Otrzymaliśmy temperaturę wynoszącą 5762 K, co jest w dobrym przybliżeniu zgodne z wartością 5778 K uzyskaną innymi metodami.

Znając temperaturę Słońca i stosując prawo przesunięć Wiena, możemy też obliczyć długość fali dominującej, tj. takiej, dla której rozkład widmowy Słońca przyjmuje maksimum:

λ=2,9010-3mK/5762K=503nm.

Maksimum rozkładu promieniowania emitowanego przez Słońce przypada na światło zielone. Pamiętajmy jednak, że Słońce emituje promieniowanie m.in. w całym zakresie świata widzialnego, dlatego światło słoneczne jest odbierane przez człowieka jako białe.

Słowniczek

ciało doskonale czarne, promieniwanie c.d.cz. (ang. black body, black body radiation)
ciało doskonale czarne, promieniwanie c.d.cz. (ang. black body, black body radiation)

wyidealizowany model ciała, które niezależnie od swojej temperatury absorbuje całe padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne oraz emituje promieniowanie o widmie zależnym od jego temperatury.

widmo emisyjne (ang. emission spectrum)
widmo emisyjne (ang. emission spectrum)

zależność natężenia emitowanego przez ciało promieniowania elektromagnetycznego od długości jego fali.

I prawo Wiena (ang. Wien's displacement law)
I prawo Wiena (ang. Wien's displacement law)

zależność długości fali, dla której widmo promieniowania ciała doskonale czarnego osiąga maksimum od temperatury tego ciała. Prawo można opisać wzorem λmax=b/T, gdzie b jest tzw. stałą Wiena, wynoszącą ok. 2,9010-3mK, a T – temperaturą ciała doskonale czarnego.

prawo Stefana‑Boltzmanna (ang. Stefan‑Boltzmann law)
prawo Stefana‑Boltzmanna (ang. Stefan‑Boltzmann law)

prawo opisujące strumień mocy S promieniowania ciała doskonale czarnego w danej temperaturze T

S=σT4,

gdzie σ to stała Stefana‑Boltzmanna wynosząca ok. 5,6710-8J/(sm2K4).