Funkcja liczbowa $f:X\to Y$ jest funkcją rosnącą w zbiorze $A$, $A\subset X$, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów $x_1$, $x_2$, należących do zbioru $A$, z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RiUUbGXFGglAq

Rysunek przedstawia układ współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący krzywą przypominającą parabolę, której lewe ramię skierowane jest w dół i przebiega przez punkt $\left(-2,1\right)$, a prawe ramię skierowane jest do góry i przebiega przez punkt $\left(1,4\right)$, a punkt łączący oba ramiona ma współrzędne $\left(0,3\right)$.

Pokażemy, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Rozwiązanie:

Obserwując wykres funkcji zauważamy, że wraz ze wzrostem argumentów rosną też wartości funkcji $f$.

Odczytajmy z wykresu wartości funkcji dla argumentów: $\left(-2\right)$, $1$: $f\left(-2\right)=-5$; $f\left(1\right)=4$.

Z nierówności $-2<1$ wynika nierówność $f\left(-2\right)<f\left(1\right)$.

Możemy wybrać inną parę argumentów, np. $\left(-1\right)$ i $0$ i podobnie odczytać z wykresu wartości funkcji: $f\left(-1\right)=2$; $f\left(0\right)=3$

Z nierówności $-1<0$ wynika nierówność $f\left(-1\right)<f\left(0\right)$.

Na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji możemy przypuszczać, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącąfunkcja rosnącafunkcją rosnącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-5, -2\right), \left(-4, -1\right), \left(-3, 0\right), \left(-2, 3\right), \left(1, 5\right), \left(2, 8\right)\right\}$

Określimy, czy funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Rozwiązanie:

Z nierówności $-5<-4$ wynika nierówność $\left(f\left(-5\right)=-2\right)<\left(f\left(-4\right)=-1\right)$.

Z nierówności $-3<2$ wynika nierówność $\left(f\left(-3\right)=0\right)<\left(f\left(2\right)=8\right)$.

Analizując zbiór par uporządkowanych zauważamy, że dla każdej pary argumentów większej wartości argumentu odpowiada większa wartość funkcji.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą tabelki.

Określimy, czy funkcja $f$ jest funkcją rosnącąfunkcja rosnącafunkcją rosnącą.

Rozwiązanie:

Analizując tabelkę opisującą funkcję $f$ zauważamy, że im większy jest argument funkcji tym większa jest jej wartość.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest funkcją rosnącą.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=3x-5$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$.

Korzystając z definicji wykażemy, że funkcja $f$ jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Założenie: $f\left(x\right)=3x-5$, $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=3x_1-5$

$f\left(x_2\right)=3x_2-5$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(3x_1-5\right)-\left(3x_2-5\right)=3x_1-5-3x_2+5=$

$=3x_1-3x_2=3·\left(x_1-x_2\right)$

Na podstawie założeń ustalimy znak otrzymanego iloczynu.

$x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$.

Zatem iloczyn $3·\left(x_1-x_2\right)<0$.

Stąd $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1,x_2\in \mathrm{ℝ}$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ jest rosnąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

a) $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, gdy $x\in \left(-\infty , 0\right)$,

b) $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, gdy $x\in \left(0, \infty \right)$,

c) $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Sprawdzimy, czy funkcja jest rosnąca.

Rozwiązanie:

Ad. a)

Założenie: $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, $x_1,x_2\in \left(-\infty , 0\right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=-\frac{3}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_1}-\left(-\frac{3}{x_2}\right)=-\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}=\frac{3x_1-3x_2}{x_1·x_2}=\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$,

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1<0$ oraz $x_2<0$.

Zatem $\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}<0$, stąd $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(-\infty , 0\right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$.

Ad. b)

Założenie: $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$, $x_1,x_2\in \left(0, \infty \right)$ oraz $x_1<x_2$

Teza: $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$ i $x_2$.

$f\left(x_1\right)=-\frac{3}{x_1}$

$f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_2}$

Obliczamy różnicę wartości funkcji: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{3}{x_1}-\left(-\frac{3}{x_2}\right)=-\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}=\frac{3x_1-3x_2}{x_1·x_2}=\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}$

Ustalamy znak otrzymanego ilorazu na podstawie założeń:

• $x_1-x_2<0$, bo z założenia $x_1<x_2$,

• $x_1·x_2>0$, ponieważ z założenia wiadomo, że $x_1>0$ oraz $x_2>0$.

Zatem $\frac{3·\left(x_1-x_2\right)}{x_1·x_2}<0$, stąd $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Dla dowolnych dwóch liczb $x_1$, $x_2$ należących do przedziału $\left(0, \infty \right)$ z nierówności $x_1<x_2$ wynika nierówność $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(0, \infty \right)$.

Ad. c)

W poprzednich podpunktach wykazaliśmy, że funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty , 0\right)$ oraz w przedziale $\left(0, \infty \right)$. Sprawdzimy, czy jest rosnąca w sumie przedziałów.

Weźmy dwa argumenty funkcji $f$ należące do zbioru $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$,

$x_1=-3$ oraz $x_2=3$

i obliczmy wartości funkcji dla tych argumentów:

$f\left(-3\right)=1$ oraz $f\left(3\right)=-1$.

Okazuje się, że $x_1<x_2$, ale $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Stąd funkcja $f$ nie jest rosnąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

funkcja jest rosnąca, jeżeli ze wzrostem argumentów rosną jej wartości