Animacja

Polecenie 1

Przeanalizuj uważnie materiał przedstawiony w animacji. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać podane przykłady, a następnie porównaj je z podanymi rozwiązaniami.

Po przeanalizowaniu przykładów przedstawionych w animacji wykonaj samodzielnie poniższe polecenia.

R1cUMFYVUUe86

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D7IplhN93

Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f (x) = \sqrt{x - 5}$ , gdy $x \in ⟨5, \infty)$ .

Korzystając z definicji, wykaż, że jest to funkcja rosnąca.

Założenie: $f (x) = \sqrt{x - 5}$ , $D_{f} = ⟨5, \infty)$ , $x_{1}, x_{2} \in ⟨5, \infty)$ oraz $x_{1} < x_{2}$

Teza: $f (x_{1}) < f (x_{2})$

Dowód:

Wyznaczymy różnicę $f (x_{1}) - f (x_{2})$

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \sqrt{x_{1} - 5} - \sqrt{x_{2} - 5} = (\sqrt{x_{1} - 5} - \sqrt{x_{2} - 5}) \cdot \frac{\sqrt{x_{1} - 5} + \sqrt{x_{2} - 5}}{\sqrt{x_{1} - 5} + \sqrt{x_{2} - 5}} =$

$= \frac{(x_{1} - 5) - (x_{2} - 5)}{\sqrt{x_{1} - 5} + \sqrt{x_{2} - 5}} = \frac{x_{1} - x_{2}}{\sqrt{x_{1} - 5} + \sqrt{x_{2} - 5}}$

Określimy znak otrzymanego ilorazu:

z założenia $x_{1} < x_{2}$ , czyli $x_{1} - x_{2} < 0$
$\sqrt{x_{1} - 5} + \sqrt{x_{2} - 5} > 0$

Stąd $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 0$ .

Z nierówności $5 \leq x_{1} < x_{2}$ wynika nierówność $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

Oznacza to, że funkcja $f (x) = \sqrt{x - 5}$ jest funkcją rosnącą.

Polecenie 3

RYi8cFnnWQ2mi

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = x^{2} + 4 x$ , gdy $x \in ℝ$ . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Funkcja $f$ jest rosnąca dla $x \in (- 2, \infty)$ .
Funkcja $f$ nie jest funkcją rosnącą dla $x \in ℝ$ .
Funkcja $f$ jest funkcją rosnącą dla $x \in ℝ$ .
Funkcja $f$ jest rosnąca dla $x \in (- \infty, - 2)$ .

Przeczytaj

Sprawdź się