Przeczytaj
Poniżej przedstawimy kilka typowych nierówności trygonometrycznych, które można sprowadzić do rozwiązania nierówności typu: .
Rozwiążemy nierówność:
.
Rozwiązanie
Sposób 1
Zapiszemy równoważnie nierówność jako:
( i ) lub ( i ).
Przypadek 1
Nierówność jest równoważna warunkowi:
, gdzie .
Nierówność jest równoważna warunkowi:
, gdzie .
Zatem w przypadku pierwszym rozwiązaniem nierównościrozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Przypadek 2
Nierówność jest równoważna warunkowi:
, gdzie .
Nierówność jest równoważna warunkowi:
, gdzie .
Zatem w przypadku drugim rozwiązaniem jest zbiór:
, gdzie .
Biorąc pod uwagę obydwa przypadki, rozwiązaniem nierówności zadania jest zbiór:
, gdzie .
Sposób 2
Rysujemy w jednym układzie współrzędnych dwa wykresy funkcji i oraz odczytujemy w jakich przedziałach te funkcje mają przeciwne znaki lub przynajmniej jedna z nich się zeruje.
Zwróćmy uwagę na to, że wspólnym okresem tych funkcji jest liczba , a więc możemy rozważyć rozwiązania tylko w przedziale , a potem uogólnić rozwiązanie.
Odczytując zaznaczone przedziały otrzymujemy rozwiązanie: , gdzie .
Rozwiążemy nierówność:
.
Rozwiązanie
Zauważmy, że jeżeli , to nierówność nie jest spełniona.
Jeżeli , to nierówność z zadania przyjmuje postać: . Zatem w połączeniu z założeniem otrzymujemy nierówność:
.
Stąd dostajemy:
, gdzie .
Po uwzględnieniu obydwu przypadków otrzymujemy odpowiedź:
, gdzie .
Rozwiążemy nierówność:
.
Rozwiązanie
Zadanie tego typu można rozwiązać przez rozważanie przypadków.
Jednak my zastosujemy inną metodę.
Ponieważ po obu stronach nierówności występują liczby nieujemne, możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.
Pamiętamy także o tym, że dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi równość:.
Zatem zapiszmy nierówność w postaci:
Ponieważ , dzielimy nierówność stronami przez i otrzymujemy:
Rozwiązaniem nierówności jest zatem zbiór:
, gdzie .
Udowodnimy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej spełniona jest nierówność:
.
Rozwiązanie
Kluczem do rozwiązania zadania jest następująca obserwacja: funkcja przyjmuje największą wartość dla każdej liczby rzeczywistej .
Zauważmy, że wzór funkcji możemy zapisać korzystając z własności dwumianu Newtona jako: .
Zauważmy również, że funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu .
Stąd wynika, że dla dowolnej liczby rzeczywistej spełniona jest nierówność:
, gdzie .
Rozwiążemy nierówność: .
Rozwiązanie
Dokonajmy podstawienia:
, gdzie .
Otrzymujemy nierówność wielomianową:
.
Zauważmy, że lewa strona nierówności jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Zatem możemy poszukać pierwiastków wymiernych.
Jeżeli wielomian ten ma pierwiastki wymierne, to muszą należeć do zbioru: .
Podstawiając od razu sprawdzamy, że pierwiastkiem jest . Otrzymujemy zatem nierówność w postaci:
.
Rozkładamy wyrażenie na czynniki:
.
Otrzymujemy zatem nierówność:
.
Ponieważ , więc .
Pozostaje rozwiązać nierówność kwadratową: .
Otrzymujemy: lub .
Zatem należy rozwiązać nierówności: lub .
Stąd ostatecznie dostajemy odpowiedź:
, gdzie .
Słownik
zbiór wszystkich elementów dziedziny nierówności, które spełniają tę nierówność