Przekształcanie wzorów

Wzory matematyczne najczęściej zapisywane są za pomocą równości dwóch wyrażeń algebraicznych. Ich zadaniem jest ułatwienie obliczania niektórych wielkości, np. pola trójkąta objętości graniastosłupa czy prędkości w ruchu jednostajnym. W tym materiale będziemy przekształcać wzory, wyznaczając z nich potrzebne wielkości.

RoFxywga1lwcj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14BfyWMmAEcJ

R1WpXiHbGY1mB

RvM0HDYA0bIen1

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wzór z jego opisem.

3 a

Możliwe odpowiedzi: 1. wzór na obwód dowolnego trójkąta, 2. wzór na obwód kwadratu, 3. wzór na obwód prostokąta, 4. wzór na obwód trójkąta równobocznego, 5. wzór na obwód trójkąta równoramiennego

2 a + b

a + b + c

2 a + 2 b

4 a

Połącz w pary wzór z jego opisem.

wzór na obwód prostokąta, wzór na obwód dowolnego trójkąta, wzór na obwód kwadratu, wzór na obwód trójkąta równobocznego, wzór na obwód trójkąta równoramiennego

3a
2a+b
a+b+c
2a+2b
4a

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZEJAl5QrKDZ1

Ćwiczenie 2

Przekształć poniższe wzory tak, aby wyznaczały zmienną

y

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Jeśli

y = 0, 25 x

, to

x =

\frac{5}{2}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

2

, 6.

4

y

.Jeśli

s = 0, 4 t

, to

t =

\frac{5}{2}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

2

, 6.

4

s

.Jeśli

z = 5 v

, to

v =

\frac{5}{2}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

2

, 6.

4

z

.Jeśli

p = \frac{2}{3} q

, to

q =

\frac{5}{2}

, 2.

\frac{1}{5}

, 3.

\frac{1}{2}

, 4.

\frac{3}{2}

, 5.

2

, 6.

4

p

Przeciągnij i upuść.

$4$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{5}{2}$ , $\frac{1}{5}$

Jeśli $y = 0, 25 x$ , to $x =$ ............ $y$
Jeśli $s = 0, 4 t$ , to $t =$ ............ $s$
Jeśli $z = 5 v$ , to $v =$ ............ $z$
Jeśli $p = \frac{2}{3} q$ , to $q =$ ............ $p$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6zzRrdL8oBnp1

Ćwiczenie 3

Z podanego wzoru wyznacz zmienną

x

. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2 x - 1 = x + 2 a

x =

a + a b + b

, 2.

- y + z

, 3.

a - a b - b

, 4.

y - z

, 5.

2 a + 1

, 6.

- y - z

, 7.

a + a b - b

, 8.

4 a

, 9.

2 a

, 10.

4 a - 1

, 11.

2 a - 1

, 12.

3 a

1 - x = 1 - 2 a

x =

a + a b + b

, 2.

- y + z

, 3.

a - a b - b

, 4.

y - z

, 5.

2 a + 1

, 6.

- y - z

, 7.

a + a b - b

, 8.

4 a

, 9.

2 a

, 10.

4 a - 1

, 11.

2 a - 1

, 12.

3 a

x + 2 y + z = y

x =

a + a b + b

, 2.

- y + z

, 3.

a - a b - b

, 4.

y - z

, 5.

2 a + 1

, 6.

- y - z

, 7.

a + a b - b

, 8.

4 a

, 9.

2 a

, 10.

4 a - 1

, 11.

2 a - 1

, 12.

3 a

a + a b + 2 x = b + 3 x

x =

a + a b + b

, 2.

- y + z

, 3.

a - a b - b

, 4.

y - z

, 5.

2 a + 1

, 6.

- y - z

, 7.

a + a b - b

, 8.

4 a

, 9.

2 a

, 10.

4 a - 1

, 11.

2 a - 1

, 12.

3 a

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVcw4QrSmCYW61

Ćwiczenie 4

Z poniższych równań wyznacz podane zmienne. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Z równania

2 x - 3 a = 3 a + 2

wyznacz

a

x

a =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

x =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

Z równania

5 z - 4 x = 3 v + 3 z + 3 x

wyznacz

z

x

v

z =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

x =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

v =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

Z równania

2 (a - 2 b) = 3 (2 a + b)

wyznacz

a

b

a =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

b =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

Z równania

3 x - 3 (a - 2 x) = a + 2 (a + 5 x)

wyznacz

a

x

x =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

a =

\frac{2 z - 3 v}{7}

, 2.

- 6 a

, 3.

- \frac{7 b}{4}

, 4.

\frac{7 x + 3 v}{2}

, 5.

- \frac{4 a}{7}

, 6.

\frac{x - 1}{3}

, 7.

- \frac{x}{6}

, 8.

\frac{6 x}{7}

, 9.

- \frac{x - 3}{3}

, 10.

3 a + 1

, 11.

\frac{a + 1}{3}

, 12.

\frac{2 z - 7 x}{3}

, 13.

- \frac{3 v}{5}

, 14.

\frac{4 z + 3 x}{7}

, 15.

- \frac{4 + a}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Ps5qdunRMzi2

Ćwiczenie 5

Z podanego wzoru wyznacz zmienną

x

. Przyjmij, że wszystkie zmienne są różne od zera. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

2 b x - a = c - 3 b x

x =

\frac{b - 7 a b}{8 a}

, 2.

\frac{a + c}{5 b}

, 3.

\frac{2 - 3 m}{5}

, 4.

\frac{7 a b - b}{8 a}

, 5.

\frac{a - c}{5 b}

, 6.

\frac{- 6 p - p q - 1}{p}

, 7.

\frac{- 6 p - p q + 1}{p}

, 8.

\frac{2 n + 3 m n}{5}

3 n m - 5 n x = 2 n (1 - 5 x)

x =

\frac{b - 7 a b}{8 a}

, 2.

\frac{a + c}{5 b}

, 3.

\frac{2 - 3 m}{5}

, 4.

\frac{7 a b - b}{8 a}

, 5.

\frac{a - c}{5 b}

, 6.

\frac{- 6 p - p q - 1}{p}

, 7.

\frac{- 6 p - p q + 1}{p}

, 8.

\frac{2 n + 3 m n}{5}

2 a b - 2 a x + b = 3 a (2 x + 3 b)

x =

\frac{b - 7 a b}{8 a}

, 2.

\frac{a + c}{5 b}

, 3.

\frac{2 - 3 m}{5}

, 4.

\frac{7 a b - b}{8 a}

, 5.

\frac{a - c}{5 b}

, 6.

\frac{- 6 p - p q - 1}{p}

, 7.

\frac{- 6 p - p q + 1}{p}

, 8.

\frac{2 n + 3 m n}{5}

- 2 (p x + p) + p q = p (4 - x + 2 q) + 1

x =

\frac{b - 7 a b}{8 a}

, 2.

\frac{a + c}{5 b}

, 3.

\frac{2 - 3 m}{5}

, 4.

\frac{7 a b - b}{8 a}

, 5.

\frac{a - c}{5 b}

, 6.

\frac{- 6 p - p q - 1}{p}

, 7.

\frac{- 6 p - p q + 1}{p}

, 8.

\frac{2 n + 3 m n}{5}

Z podanego wzoru wyznacz zmienną $x$ . Przyjmij, że wszystkie zmienne są różne od zera.

Przeciągnij i upuść.

$x = \frac{- 6 p - p q + 1}{p}$ , $x = \frac{2 n + 3 m n}{5}$ , $x = \frac{7 a b - b}{8 a}$ , $x = \frac{b - 7 a b}{8 a}$ , $x = \frac{2 - 3 m}{5}$ , $x = \frac{a - c}{5 b}$ , $x = \frac{a + c}{5 b}$ , $x = \frac{- 6 p - p q - 1}{p}$

$2 b x - a = c - 3 b x$ ......................................
$3 n m - 5 n x = 2 n (1 - 5 x)$ ......................................
$2 a b - 2 a x + b = 3 a (2 x + 3 b)$ ......................................
$- 2 (p x + p) + p q = p (4 - x + 2 q) + 1$ ......................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgROPKIRiAi0X2

Ćwiczenie 6

Z poniższych równań wyznacz podane zmienne. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Z równania

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

wyznacz

c

d

c =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

d =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

Z równania

\frac{a}{2 b} = \frac{3 c}{d}

wyznacz

c

d

c =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

d =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

Z równania

\frac{a + 1}{b} = \frac{2}{c}

wyznacz

b

c

b =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

c =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

Z równania

\frac{a}{b + 1} = \frac{3 c}{d + 2}

wyznacz

a

c

a =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

c =

\frac{a d}{b}

, 2.

\frac{2 b}{a + 1}

, 3.

\frac{(a + 1) c}{2}

, 4.

\frac{b c}{a}

, 5.

\frac{a (d + 2)}{3 (b + 1)}

, 6.

\frac{a d}{6 b}

, 7.

\frac{3 c (b + 1)}{d + 2}

, 8.

\frac{a d}{d}

, 9.

\frac{a (d + 4)}{6 (b - 1)}

, 10.

\frac{a d}{c}

, 11.

\frac{5 c (b + 3)}{d - 2}

, 12.

\frac{6 b c}{a}

, 13.

\frac{4 b}{a - 1}

, 14.

\frac{4 b c}{a}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QFAkC24v0Gv2

Ćwiczenie 7

Z podanego wzoru wyznacz wskazaną zmienną. Podaj konieczne założenia. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Z równania

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

wyznacz

h

.
Zmienna wynosi

h =

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

, założenie to 1.

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

.
Z równania

O = 3 (a + b + c)

wyznacz

b

Zmienna wynosi

b =

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

.
Z równania

V = a \cdot b \cdot h

wyznacz

h

Zmienna wynosi

h =

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

, założenie to 1.

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

oraz 1.

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

.
Z równania

V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot h

wyznacz

h

Zmienna wynosi

h =

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

, założenie to 1.

\frac{2 P}{a + b}

, 2.

\frac{V}{a \cdot b}

, 3.

\frac{O - 3 a - 3 c}{3}

, 4.

a \neq 0

b \neq 0

, 5.

\frac{3 V}{a^{2}}

, 6.

a \neq - b

, 7.

b \neq 0

a \neq 0

, 8.

a \neq 0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Eqwi0106sd42

Ćwiczenie 8

I = \frac{U}{R}

wyznacz

U

.
Zmienna wynosi

U =

_{} \frac{v_{1} \cdot T_{2}}{v_{2}}

, 2.

t \neq 0

, 3.

a \neq 0

, 4.

v_{2} \neq 0

, 5.

\frac{2 s}{t^{2}}

, 6.

\frac{F}{a}

, 7.

I R

.
Z równania

F = m \cdot a

wyznacz

m

.
Zmienna wynosi

m =

_{} \frac{v_{1} \cdot T_{2}}{v_{2}}

, 2.

t \neq 0

, 3.

a \neq 0

, 4.

v_{2} \neq 0

, 5.

\frac{2 s}{t^{2}}

, 6.

\frac{F}{a}

, 7.

I R

, założenie to 1.

_{} \frac{v_{1} \cdot T_{2}}{v_{2}}

, 2.

t \neq 0

, 3.

a \neq 0

, 4.

v_{2} \neq 0

, 5.

\frac{2 s}{t^{2}}

, 6.

\frac{F}{a}

, 7.

I R

.
Z równania

s = \frac{a \cdot t^{2}}{2}

wyznacz

a

Zmienna wynosi

a =

_{} \frac{v_{1} \cdot T_{2}}{v_{2}}

, 2.

t \neq 0

, 3.

a \neq 0

, 4.

v_{2} \neq 0

, 5.

\frac{2 s}{t^{2}}

, 6.

\frac{F}{a}

, 7.

I R

założenie to 1.

_{} \frac{v_{1} \cdot T_{2}}{v_{2}}

, 2.

t \neq 0

, 3.

a \neq 0

, 4.

v_{2} \neq 0

, 5.

\frac{2 s}{t^{2}}

, 6.

\frac{F}{a}

, 7.

I R

.
Z równania

\frac{T_{1}}{v_{1}} = \frac{T_{2}}{v_{2}}

wyznacz

T_{1}

.
Zmienna wynosi

T_{1} =

_{} \frac{v_{1} \cdot T_{2}}{v_{2}}

, 2.

t \neq 0

, 3.

a \neq 0

, 4.

v_{2} \neq 0

, 5.

\frac{2 s}{t^{2}}

, 6.

\frac{F}{a}

, 7.

I R

, założenie to 1.

_{} \frac{v_{1} \cdot T_{2}}{v_{2}}

, 2.

t \neq 0

, 3.

a \neq 0

, 4.

v_{2} \neq 0

, 5.

\frac{2 s}{t^{2}}

, 6.

\frac{F}{a}

, 7.

I R

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rtvf9zDQssRvk2

Ćwiczenie 9

Z podanego wzoru wyznacz wskazaną zmienną. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ze wzoru

2 x + c = a x + 2

wyznacz

x

x =

\frac{a}{3 - a}

, 2.

\frac{1}{x - z - 1}

, 3.

\frac{2 - c}{2 - a}

, 4.

\frac{a}{1 - a}

, 5.

\frac{1}{x - z + 1}

, 6.

\frac{2 p + 3 z}{1 - p}

, 7.

\frac{3 p + 2 z}{4 - p}

, 8.

\frac{6 - c}{4 - a}

Ze wzoru

v - 3 z = p (v + 2)

wyznacz

v

v =

\frac{a}{3 - a}

, 2.

\frac{1}{x - z - 1}

, 3.

\frac{2 - c}{2 - a}

, 4.

\frac{a}{1 - a}

, 5.

\frac{1}{x - z + 1}

, 6.

\frac{2 p + 3 z}{1 - p}

, 7.

\frac{3 p + 2 z}{4 - p}

, 8.

\frac{6 - c}{4 - a}

Ze wzoru

a = \frac{b}{b + 1}

wyznacz

b

b =

\frac{a}{3 - a}

, 2.

\frac{1}{x - z - 1}

, 3.

\frac{2 - c}{2 - a}

, 4.

\frac{a}{1 - a}

, 5.

\frac{1}{x - z + 1}

, 6.

\frac{2 p + 3 z}{1 - p}

, 7.

\frac{3 p + 2 z}{4 - p}

, 8.

\frac{6 - c}{4 - a}

Ze wzoru

x = \frac{y + 1}{y} + z

, wyznacz

y

y =

\frac{a}{3 - a}

, 2.

\frac{1}{x - z - 1}

, 3.

\frac{2 - c}{2 - a}

, 4.

\frac{a}{1 - a}

, 5.

\frac{1}{x - z + 1}

, 6.

\frac{2 p + 3 z}{1 - p}

, 7.

\frac{3 p + 2 z}{4 - p}

, 8.

\frac{6 - c}{4 - a}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1KeP5n2memYb2

Ćwiczenie 10

$Z = XY$
$Z = \frac{Y}{X}$
$Z = \frac{X}{Y}$
$Z = X - Y$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rys2UoR9nWnUH2

Ćwiczenie 11

$x = \frac{3 c + 5}{b - c} dla b \neq c$
$x = \frac{3 c - 5}{b + c} dla b \neq - c$
$x = \frac{3 c + 5}{b + c} dla b \neq - c$
$x = \frac{3 c - 5}{b - c} dla b \neq c$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhxXCC0IPuwMF2

Ćwiczenie 12

$h = \frac{3 p}{2 x}$
$h = \frac{2 p}{3 x}$
$h = \frac{2 x}{3 p}$
$h = \frac{3 x}{2 p}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGOlgCuJ6r4nx3

Ćwiczenie 13

Podaj wzór na pole trójkąta o podstawie równej

x

i wysokości równej

3 y

. Wyznacz z tego wzoru podstawę i wysokość tego trójkąta. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Wzór na pole tego trójkąta to

P =

\frac{5 P}{x}

, 2.

\frac{4 x \cdot 4 y}{5}

, 3.

\frac{4 P}{2 x}

, 4.

\frac{2 P}{x}

, 5.

\frac{2 P}{3 y}

, 6.

\frac{x \cdot 3 y}{2}

, 7.

\frac{2 x \cdot 3 y}{3}

, 8.

\frac{3 P}{3 x}

, 9.

\frac{3 P}{6 y}

, 10.

\frac{3 x \cdot 6 y}{2}

, 11.

\frac{6 P}{4 y}

, 12.

\frac{4 P}{5 y}

.Wzór na podstawę tego trójkąta to

x =

\frac{5 P}{x}

, 2.

\frac{4 x \cdot 4 y}{5}

, 3.

\frac{4 P}{2 x}

, 4.

\frac{2 P}{x}

, 5.

\frac{2 P}{3 y}

, 6.

\frac{x \cdot 3 y}{2}

, 7.

\frac{2 x \cdot 3 y}{3}

, 8.

\frac{3 P}{3 x}

, 9.

\frac{3 P}{6 y}

, 10.

\frac{3 x \cdot 6 y}{2}

, 11.

\frac{6 P}{4 y}

, 12.

\frac{4 P}{5 y}

.Wzór na wysokość tego trójkąta to

3 y =

\frac{5 P}{x}

, 2.

\frac{4 x \cdot 4 y}{5}

, 3.

\frac{4 P}{2 x}

, 4.

\frac{2 P}{x}

, 5.

\frac{2 P}{3 y}

, 6.

\frac{x \cdot 3 y}{2}

, 7.

\frac{2 x \cdot 3 y}{3}

, 8.

\frac{3 P}{3 x}

, 9.

\frac{3 P}{6 y}

, 10.

\frac{3 x \cdot 6 y}{2}

, 11.

\frac{6 P}{4 y}

, 12.

\frac{4 P}{5 y}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDgzrPjiBcGAW3

Ćwiczenie 14

Obwód równoległoboku o bokach

x

2 y

wynosi

3 z

. Wyznacz długości boków tego równoległoboku. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość pierwszego boku wyraża się wzorem

x =

\frac{4 z - 3 x}{2}

, 2.

\frac{6 z - 2 x}{3}

, 3.

\frac{2 z - y}{2}

, 4.

\frac{3 z - 4 y}{2}

, 5.

\frac{3 z - 2 x}{2}

, 6.

\frac{5 z - 4 y}{3}

.Długość drugiego boku wyraża się wzorem

2 y =

\frac{4 z - 3 x}{2}

, 2.

\frac{6 z - 2 x}{3}

, 3.

\frac{2 z - y}{2}

, 4.

\frac{3 z - 4 y}{2}

, 5.

\frac{3 z - 2 x}{2}

, 6.

\frac{5 z - 4 y}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17sjgpF48cfM3

Ćwiczenie 15

Boki czworokąta mają długości

x

2 x

3 x

4 x

, a jego obwód wynosi

p + 3 q

. Wyznacz długość najkrótszego oraz najdłuższego boku czworokąta. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Długość najkrótszego boku czworokąta wyraża się wzorem

x =

\frac{3 (p + 3 q)}{10}

, 2.

\frac{p - 3 q}{5}

, 3.

\frac{2 (p - 3 q)}{4}

, 4.

\frac{2 (p + 3 q)}{5}

, 5.

\frac{p + 3 q}{10}

, 6.

\frac{p + 6 q}{10}

.Długość najdłuższego boku czworokąta wyraża się wzorem

4 x =

\frac{3 (p + 3 q)}{10}

, 2.

\frac{p - 3 q}{5}

, 3.

\frac{2 (p - 3 q)}{4}

, 4.

\frac{2 (p + 3 q)}{5}

, 5.

\frac{p + 3 q}{10}

, 6.

\frac{p + 6 q}{10}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FSN78cvnnBR3

Ćwiczenie 16

Uszereguj równości w odpowiedniej kolejności, aby ze wzoru wyznaczyć

v

. Podaj konieczne założenia. Uzupełnij puste pola, przeciągając w nie odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Start: 1.

t \neq - 6

, 2.

6 v - t v = s t - 3 p

, 3.

t \neq 0

, 4.

3 (p + 2 v) = (s + v) t

, 5.

p + 2 v = \frac{s + v}{3} t

, 6.

v (6 - t) = s t - 3 p

, 7.

v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}

, 8.

3 p + 6 v = s t + v t

, 9.

t \neq 6

Przekształcenie

1

: 1.

t \neq - 6

, 2.

6 v - t v = s t - 3 p

, 3.

t \neq 0

, 4.

3 (p + 2 v) = (s + v) t

, 5.

p + 2 v = \frac{s + v}{3} t

, 6.

v (6 - t) = s t - 3 p

, 7.

v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}

, 8.

3 p + 6 v = s t + v t

, 9.

t \neq 6

Przekształcenie

2

: 1.

t \neq - 6

, 2.

6 v - t v = s t - 3 p

, 3.

t \neq 0

, 4.

3 (p + 2 v) = (s + v) t

, 5.

p + 2 v = \frac{s + v}{3} t

, 6.

v (6 - t) = s t - 3 p

, 7.

v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}

, 8.

3 p + 6 v = s t + v t

, 9.

t \neq 6

Przekształcenie

3

: 1.

t \neq - 6

, 2.

6 v - t v = s t - 3 p

, 3.

t \neq 0

, 4.

3 (p + 2 v) = (s + v) t

, 5.

p + 2 v = \frac{s + v}{3} t

, 6.

v (6 - t) = s t - 3 p

, 7.

v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}

, 8.

3 p + 6 v = s t + v t

, 9.

t \neq 6

Przekształcenie

4

: 1.

t \neq - 6

, 2.

6 v - t v = s t - 3 p

, 3.

t \neq 0

, 4.

3 (p + 2 v) = (s + v) t

, 5.

p + 2 v = \frac{s + v}{3} t

, 6.

v (6 - t) = s t - 3 p

, 7.

v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}

, 8.

3 p + 6 v = s t + v t

, 9.

t \neq 6

Koniec: 1.

t \neq - 6

, 2.

6 v - t v = s t - 3 p

, 3.

t \neq 0

, 4.

3 (p + 2 v) = (s + v) t

, 5.

p + 2 v = \frac{s + v}{3} t

, 6.

v (6 - t) = s t - 3 p

, 7.

v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}

, 8.

3 p + 6 v = s t + v t

, 9.

t \neq 6

Założenie: 1.

t \neq - 6

, 2.

6 v - t v = s t - 3 p

, 3.

t \neq 0

, 4.

3 (p + 2 v) = (s + v) t

, 5.

p + 2 v = \frac{s + v}{3} t

, 6.

v (6 - t) = s t - 3 p

, 7.

v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}

, 8.

3 p + 6 v = s t + v t

, 9.

t \neq 6

Uszereguj równości w odpowiedniej kolejności, aby ze wzoru wyznaczyć $v$ . Podaj konieczne założenia.

Przeciągnij i upuść.

$t \neq - 6$ , $t \neq 0$ , $p + 2 v = \frac{s + v}{3} t$ , $v (6 - t) = s t - 3 p$ , $3 (p + 2 v) = (s + v) t$ , $3 p + 6 v = s t + v t$ , $v = \frac{s t - 3 p}{6 - t}$ , $6 v - t v = s t - 3 p$ , $t \neq 6$

Start: ....................................
Przekształcenie 1: ....................................
Przekształcenie 2: ....................................
Przekształcenie 3: ....................................
Przekształcenie 4: ....................................
Koniec: ....................................
Założenia: ....................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Do wzoru $x = \frac{y}{z}$ podstaw odpowiednio: $y = \frac{a + b}{2}$ i $z = \frac{2 a - b}{3}$ . Doprowadź wzór do najprostszej postaci. Wyznacz $a$ i $b$ oraz podaj konieczne założenia.

R1BclsFNgcnaO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x = \frac{3 a + 3 b}{4 a - 2 b}$ , $a = \frac{3 b + 2 b x}{4 x - 3}$ , $b = \frac{4 a x - 3 a}{2 x + 3}$ .

$a \neq \frac{b}{2}$ , $x \neq \frac{3}{4}$ , $x \neq - \frac{3}{2}$ .

Ćwiczenie 18

Wyszukaj w dostępnych źródłach informacje o zjawisku fizycznym, które opisane jest wzorem. Wyznacz z tego wzoru jedną ze zmiennych.

R1EBnqyD6EEIT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wzór na siłę grawitacji, to $F = G \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ , gdzie $m_{1}$ , $m_{2}$ - masy oddziaływujących grawitacyjnie ciał, $r$ - odległość między środkami ciał i $G$ - stała grawitacji.

Z podanego wzoru wyznaczymy wzór na odległość między środkami ciał.

$F = G \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}} / \cdot r^{2}$

$F r^{2} = G \cdot m_{1} \cdot m_{2} / : F$

$r^{2} = G \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{F}$

$r = \sqrt{G \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{F}}$ .