Przybliżenie z niedomiarem i nadmiarem - zadania

W życiu codziennym bardzo często stosujemy zaokrąglanie liczb z nadmiarem lub niedomiarem. Najczęściej robimy to w sklepach podczas zakupów. W tym materiale:

zaokrąglisz z nadmiarem i niedomiarem ułamki zwykłe zamieniając je na ułamki dziesiętne,
zaokrąglisz z nadmiarem lub niedomiarem ułamki z niewymiernością w mianowniku,
wyznaczysz błąd względny lub bezwzględny,
rozwiążesz zadania z kontekstem realistycznym.

Jeżeli potrzebujesz przypomnieć sobie definicje i przeanalizować przykłady dotyczące przybliżania i zaokrąglania liczb, skorzystaj ponownie z lekcji Przybliżenia i zaokrąglenia liczb. W przypadku wątpliwości dotyczącej wzorów na błąd względny i bezwzględny zapoznaj się jeszcze raz z lekcją Błąd bezwzględny, błąd względny.

R6A6CsgiqSre51

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvDc8Q5f7Naz71

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtP8koUCFhFV11

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpF5QviWpMde31

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Oap8c7Bq2Ga1

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rs4LwTnewUdPB2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rsg32sfUknX6O2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1A4oGvr4Lx0P2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Wynik zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku. Wpisz prawidłową odpowiedź w puste miejsce.

R161aYkaCoD7f

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJO6sYaIIm6Qe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RbwZRtZRUNhSy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WJ5zrRR6szN2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

W teleturnieju bierze udział dwóch zawodników. Pytanie w eliminacjach brzmi:
„Jaką wysokość ma najwyższy budynek świata Burj Khalifa w Dubaju? Możesz pomylić się nie więcej niż o $0,5 %$ ”.

R1Cvlotjy68GG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R12b2TbAn1nns3

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Wykaż, że liczba $t = \frac{4}{3 - \sqrt{5}}$ spełnia nierówność podwójną $5 < t < 6$ .

RzBSJW49kptCp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Usuń niewymierność z mianownika, mnożąc ułamek przez $\frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$ .

Zauważmy, że $t = \frac{4}{3 - \sqrt{5}} = 3 + \sqrt{5}$ .
Mamy

\sqrt{5} = 2,23606797749979 \dots

Zatem prawdziwa jest nierówność

2,23 < \sqrt{5} < 2,24 .

Do wszystkich stron dodamy liczbę $3$ , zatem

2,23 + 3 < \sqrt{5} + 3 < 2,24 + 3

5,23 < \sqrt{5} + 3 < 5,24

Liczba $t = 3 + \sqrt{5}$ spełnia nierówność $5 < t < 6$ .

RqrZ0h7Y4b4GR2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Określ przybliżenie liczby $194,41$ , które należy podać, aby popełniony błąd względny był równy

$3 %$
$0,9 %$
mniej niż $0,5 %$

RqHf0uQuLLJXg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj ze wzoru na błąd względny: $\frac{|a - a_{p}|}{a}$ . Zamień procent na liczbę.

mogą być dwa przybliżenia: około $200,24$ lub około $188,58$
mogą być dwa przybliżenia: około $196,16$ lub około $192,66$
jako przybliżenia należy podać dowolną liczbę z przedziału $〈193,44; 195,38〉$

Ćwiczenie 16

Przybliżenie liczby $π$ z dowolną dokładnością możemy uzyskać, wykorzystując wzór

π = \sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots)}

Każde takie przybliżenie z niedomiarem jest tym dokładniejsze, im więcej weźmiemy początkowych składników sumy $\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$ występującej w tym wzorze (jest to suma odwrotności kwadratów kolejnych liczb całkowitych dodatnich).

Wykorzystaj tylko cztery początkowe składniki sumy $\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$ , oblicz za pomocą podanego wzoru przybliżenie liczby $π$ . Sprawdź, czy błąd bezwzględny tego przybliżenia jest mniejszy od $0,1$ .
Ile co najmniej początkowych składników sumy należy dodać, aby otrzymać przybliżenie większe od $3$ ?

Do rozwiązania zadania wykorzystaj kalkulator.

R1KHDXhveYYAl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Szukane przybliżenie jest równe

\sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}})} = \sqrt{6 \cdot (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16})} = \sqrt{\frac{205}{24}} = 2,9226 \dots

Liczba $π$ jest większa od $3,1$ , więc błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od $0,1$ .

Gdy dodamy tylko sześć składników, to otrzymamy przybliżenie równe

\sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}})} = \sqrt{6 \cdot (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36})} =

= \sqrt{\frac{5369}{600}} = 2,9633 \dots

gdy natomiast dodamy siedem składników, to otrzymamy

\sqrt{6 \cdot (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + \frac{1}{7^{2}})} =

= \sqrt{6 \cdot (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + \frac{1}{49})} = \sqrt{\frac{266681}{29400}} = 3,0117 \dots

Błąd bezwzględny otrzymanego przybliżenia jest większy od $0,1$ .
Należy dodać co najmniej $7$ składników.