Practice with the applet ‘Spiral of Theodorus’.

Open the applet and observe step by step the construction of line segments whose lengths are equal to $\sqrt{n}$ , where n is a natural number greater than 1. This figure is called the spiral of Theodorus. In your notebook, construct a line segmentline segmentline segment with length $\sqrt{50}$.

RmUuHoWCI8ZPX1

Geogebra aplet - Ślimak Teodorusa. Konstrukcja odcinków o długościach równych pierwiastkowi kwadratowemu z liczby naturalnej. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Geogebra aplet - Ślimak Teodorusa. Konstrukcja odcinków o długościach równych pierwiastkowi kwadratowemu z liczby naturalnej. Galeria z opisami alternatywnymi poniżej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DxtP1Bkpj

RJvJNE6pJcXIb1

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 1 i pierwiastek kwadratowy z 1. Przeciwprostokątna takiego trójkąta na mocy twierdzenia Pitagorasa jest równa pierwiastek kwadratowy z 2.

RiJFhB8HN8jZv1

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 1 i pierwiastek kwadratowy z 1. Przeciwprostokątna takiego trójkąta na mocy twierdzenia Pitagorasa jest równa pierwiastek kwadratowy z 2. Przeciwprostokątna tego trójkąta prostokątnego jest przyprostokątną kolejnego trójkąta prostokątnego. Druga przyprostokątna nowego trójkąta jest równa 1. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 1 i pierwiastek kwadratowy z 2 to pierwiastek kwadratowy z 3.  

R1ABWBjEDwIvf1

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 1 i pierwiastek kwadratowy z 1. Przeciwprostokątna takiego trójkąta na mocy twierdzenia Pitagorasa jest równa pierwiastek kwadratowy z 2. Przeciwprostokątna tego trójkąta prostokątnego jest przyprostokątną kolejnego trójkąta prostokątnego. Druga przyprostokątna nowego trójkąta jest równa 1. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 1 i pierwiastek kwadratowy z 2 to pierwiastek kwadratowy z 3. Procedura to została powtórzona 17 razy. Powstająca w ten sposób figurę nazywa się ślimakiem Teodorusa. Rysunek przedstawia ślimak Teodorusa dla n = 17.

Using Pythagorean theorem calculate:

• a diagonaldiagonaldiagonal of the squaresquaresquare with side a,

• a diagonal of the rectangular with sides a and b,

• the altitudealtitudealtitude of the equilateral triangletriangle triangle with sidesideside a,

• the space diagonaldiagonaldiagonal of the cube with edge a.

Identify the type of the triangle with the following sides:

a) 6 , 8 , 10, 
b) 2 , 7 , 7, 
c) 4 , 5 , 7, 
d) $n,\frac{n^2-1}{2},\frac{n^2+1}{2},n>1$, 
e) 4 , 4 , 9.

An extra task:

Points AIndeks dolny 1₁, BIndeks dolny 1₁, CIndeks dolny 1₁, DIndeks dolny 1₁ are midpoints of the sides of the ABCD squaresquaresquare.

Points AIndeks dolny 2₂, BIndeks dolny 2₂, CIndeks dolny 2₂, DIndeks dolny 2₂ are midpoints of the sides of the AIndeks dolny 1₁BIndeks dolny 1₁CIndeks dolny 1₁DIndeks dolny 1₁.

Prove that the areaareaarea of the AIndeks dolny 2₂BIndeks dolny 2₂CIndeks dolny 2₂DIndeks dolny 2₂ squaresquaresquare is four times smaller than the areaareaarea of the ABCD square.

RcSPbBGYw7PWh1

Rysunek trzech kwadratów. Pierwszy kwadrat A B C D. Drugi kwadrat A z indeksem dolnym jeden B z indeksem dolnym jeden, C z indeksem dolnym jeden , D z indeksem dolnym jeden. Wierzchołki drugiego kwadratu znajdują się w środkach boków kwadratu pierwszego. Trzeci kwadrat A z indeksem dolnym dwa, B z indeksem dolnym dwa, C z indeksem dolnym dwa, D z indeksem dolnym dwa. Wierzchołki trzeciego kwadratu znajdują się w środkach boków kwadratu drugiego.

An isosceles triangle ABC with AC = BC = 7 and AB = 12 is given. Calculate the length of the altitude from vertex C.

A gardener marks rectangular beds in the vegetable garden. How can he check that the angles are really the right ones? Formulate your advice for the gardener in English.