Temat

Twierdzenie Pitagorasa

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa w obliczeniach geometrycznych.

2. Wykorzystanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa do określania rodzaju trójkąta.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa rodzaj trójkąta, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa,

- stosuje twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań geometrycznych.

Metody kształcenia

1. Odwrócona klasa.

2. Pogadanka.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie w domu powtarzają wiadomości na temat twierdzenia Pitagorasa.

Polecenie do wykonania przed lekcją
Odśwież swoją wiedzę na temat twierdzenia Pitagorasa. Zapoznaj się z różnymi dowodami tego twierdzenia, korzystając np. z zasobów internetowych. Zapisz przykłady zastosowania twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Uczniowie prezentują przygotowane przez siebie przykłady. Nauczyciel zbiera propozycje tworząc przykładową listę.

Twierdzenie Pitagorasa można wykorzystać do:

1) obliczania długości odcinków w wielokątach,

2) obliczania pól figur geometrycznych,

3) sprawdzania, czy trójkąt jest ostrokątny , prostokątny czy rozwartokątny,

4) określania, który z kątów trójkąta prostokątnego jest prosty,

5) narysowania odcinka o długości równej $\sqrt{n}$ , gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1.

Realizacja lekcji

Uczniowie przypominają treść twierdzenia Pitagorasa i treść twierdzenia odwrotnego.

Twierdzenie Pitagorasa.

- W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

[Ilustracja 1]

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

- Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Uczniowie przypominają, jak określić rodzaj trójkąta, wykorzystując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów. Zapoznają się z konstrukcją odcinków, których długości wyrażone są za pomocą liczb niewymiernych.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry - Ślimak Teodorusa i obserwuj krok po kroku konstrukcję odcinków o długości równej $\sqrt{n}$ , gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią większą od 1.
Wykonaj w zeszycie konstrukcję odcinka o długości $\sqrt{\mathrm{50}}$.

[Geogebra aplet]

Polecenie
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznacz:

- przekątną kwadratu o boku a,

- przekątną prostokąta o bokach a i b,

- wysokość trójkąta równobocznego o boku a,

- przekątną sześcianu o krawędzi a.

Uczniowie przypominają, jak określić rodzaj trójkąta, wykorzystując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

Trójkąt o bokach a, b , c, gdzie c > a i b > c:

- jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy aIndeks górny 2² + bIndeks górny 2² = cIndeks górny 2²,

- jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy aIndeks górny 2² + bIndeks górny 2² > cIndeks górny 2²,

- jest rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy aIndeks górny 2² + bIndeks górny 2² < cIndeks górny 2².

Uczniowie rozwiązują zadania, korzystając z uzyskanych wiadomości.

Polecenie
Określ, jakimi trójkątami są trójkąty o następujących bokach:

a) 6, 8, 10,

b) 2, 7, 7,

c) 4, 5, 7,

d) $n,\frac{n^2-1}{2},\frac{n^2+1}{2},n>1$,

e) 4, 4, 9.

Polecenie dla chętnych:
Punkty AIndeks dolny 1₁, BIndeks dolny 1₁, CIndeks dolny 1₁, DIndeks dolny 1₁ są środkami boków kwadratu ABCD. Punkty AIndeks dolny 2₂, BIndeks dolny 2₂, CIndeks dolny 2₂, DIndeks dolny 2₂ są środkami boków kwadratu AIndeks dolny 1₁BIndeks dolny 1₁CIndeks dolny 1₁DIndeks dolny 1₁. Wykaż, że pole kwadratu AIndeks dolny 2₂BIndeks dolny 2₂CIndeks dolny 2₂DIndeks dolny 2₂ jest czterokrotnie mniejsze od pola kwadratu ABCD.

[Ilustracja 2]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia.

- Prawdziwe jest zarówno twierdzenie Pitagorasa, jak i twierdzenie do niego odwrotne. Z twierdzenia Pitagorasa wynika wiele związków miarowych użytecznych przy rozwiązywaniu zadań geometrycznych.