Jednomian kwadratowy i jego własności

Learning objectives

You will learn the properties of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$ based on its graph.

Learning effect

• You plot the graph of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$.

• You determine the properties of the quadratic monomial based on its graph.

Remind the definition of a functionfunctionfunction, the ways of describing it and the construction and properties of the quadratic monomialquadratic monomialquadratic monomial.

Task 2

Observe how the graph of the functionfunctionfunction $f\left(x\right)=a{x}^2$ changes with the sign of the coefficient $a$.

R1Oen28v4H0Wi1

Aplet geogebra: Wykresy jednomianów kwadratowych o różnych współczynnikach a. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Aplet geogebra: Wykresy jednomianów kwadratowych o różnych współczynnikach a. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DZjAH7BJK

RcIAk6CHhLZ1v1

Po lewej stronie rysunku znajdują się napisy: Graph of the function, Observe change of the graph of the given function with the change of a. Poniżej znajduje się wzór funkcji: f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się a pomnożone przez x kwadrat. Wartość a jest równa jeden. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi poziomej umieszczone są liczby całkowite od minus jedenaście do dziesięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi pionowej umieszczone są liczby od minus trzynastu do ośmiu. W układzie współrzędnych narysowana jest parabola będąca wykresem funkcji f, nawias zwykły, w nawiasie x równa się x kwadrat. Wierzchołek paraboli znajduje się w początku układu współrzędnych, ramiona skierowane są do góry. Funkcja przyjmuje wartości nieujemne.

R10XEVrH799Wr1

Po lewej stronie rysunku znajdują się napisy: Graph of the function, Observe changes of the graph of the given function with the change of a. Poniżej znajduje się wzór funkcji: f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się a pomnożone przez x kwadrat. Wartość a równa jest trzy i pięć dziesiętnych. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi poziomej umieszczone są liczby całkowite od minus jedenaście do dziesięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi pionowej umieszczone są liczby od minus trzynastu do ośmiu. W układzie współrzędnych narysowana jest parabola będąca wykresem funkcji f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias równa się trzy i pięć dziesiętnych razy x kwadrat. Wierzchołek paraboli znajduje się w początku układu współrzędnych, ramiona skierowane są do góry. Funkcja przyjmuje wartości nieujemne.

RqZ5LIcHEQ99y1

Po lewej stronie rysunku znajdują się napisy: Graph of the function, Observe changes of the graph of the given function with the change of a. Poniżej znajduje się wzór funkcji: f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się a pomnożone przez x kwadrat. Wartość a równa jest minus dwa. Po prawej stronie rysunku narysowany jest układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi poziomej umieszczone są liczby całkowite od minus jedenaście do dziesięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi pionowej umieszczone są liczby od minus trzynastu do ośmiu. W układzie współrzędnych narysowana jest parabola będąca wykresem funkcji f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się minus dwa razy x kwadrat. Wierzchołek paraboli znajduje się w początku układu współrzędnych, ramiona skierowane są do dołu. Funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.

Read out the values of the function for $x=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2},x=\frac{5}{2},x=-\frac{5}{2}$.

After the exercise try to formulate the conclusions.

The function $f\left(x\right)=a{x}^2$, $a\ne 0$ and $x\in R$, is called quadratic monomialquadratic monomialquadratic monomial. Its graph is a curve with equation $y=a{x}^2$. This curve is called a parabolaparabolaparabola. It is an axisymmetric figure. The symmetry axis is a straight line with the equation $x=0$. It intersects with the parabolaparabolaparabola in a point called a vertex. It also divides the parabola into two parts called arms.

R1aQUFpA9nXhZ1

Rysunek przedstawia wykres paraboli w układzie współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Parabola jest wykresem funkcji f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się a razy x kwadrat. Wierzchołek paraboli znajduje się w początku układu współrzędnych, ramiona skierowane są do góry. Funkcja przyjmuje wartości nieujemne. Na rysunku wskazane są wybrane elementy: wierzchołek paraboli - vertex of a parabola, ramię paraboli - arm of a parabola, oś symetrii (oś y na rysunku) - axis of symmetry.

• The domain of the functionfunctionfunction $f\left(x\right)=a{x}^2$ with $x\in R$ are the real numbers.

• The function has only one x‑intercept.

• The function is not an injective function.

Other properties of the function depend on the sign of the coefficient $a$.

The properties of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$ for:

The value of the coefficient a decides about a span of parabolas arms – the larger value of $\left|a\right|$, the smaller the span.

After solving all tasks do consolidating exercises.

Remember:

• The curve with the equation $y=a{x}^2$ is the graph of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$$\left(a\ne 0\right)$ known as a monomial.

• This curve is called a parabola. It is an axisymmetric figure. The symmetry axis is a straight line with the equation $x=0$. It intersects the parabola in the point called a vertex.

• The parabola, which is a graph of the function $f\left(x\right)=a{x}^2$$\left(a\ne 0\right)$, has a vertex in a point with the coordinates $(0,0)$. This point divides the parabola into two parts called arms.

• The value of the coefficient $a$ decides about the span of the parabola arms – the larger value of $\left|a\right|$, the smaller the span.

Exercises

Glossary

Keywords

functionfunctionfunction

domain of a functiondomain of a functiondomain of a function

quadratic functionquadratic functionquadratic function

range of a functionrange of a functionrange of a function

quadratic monomialquadratic monomialquadratic monomial