Temat

Jednomian kwadratowy i jego własności

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Zakres podstawowy. Uczeń:

7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;

8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w formie wykresów i wzorów.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Sporządzanie wykresu funkcji f(x) = axIndeks górny 2².

3. Określanie własności funkcji  f(x) = axIndeks górny 2² na podstawie jej wykresu.

Efekty uczenia

Uczeń:

- sporządza wykres funkcji f(x) = axIndeks górny 2²,

- na podstawie wykresu funkcji f(x) = axIndeks górny 2² określa jej własności.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie w domu przypominają sobie: definicję funkcji, sposoby  opisywania funkcji, budowę i własności jednomianu.

Zebrane informacje wykorzystują na początku lekcji, tworząc odpowiednie mapy myśli.

Realizacja lekcji

Uczniowie sporządzają wykres funkcji f(x) = axIndeks górny 2² (o danej dziedzinie) i omawiają jej własności.

Polecenie 1

Dana jest funkcja f(x) = axIndeks górny 2² określona dla x ∈ {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

a) Sporządź wykres funkcji.
b) Określ zbiór wartości.
c) W których ćwiartkach układu współrzędnych znajduje się wykres?
d) Czy funkcja ma miejsce zerowe? Jeśli tak, podaj je.

Polecenie 2

[Geogebra aplet]

Uczniowie obserwują, jak zmienia się wykres funkcji f(x) = axIndeks górny 2² w zależności i znaku współczynnika a.

Odczytują wartości funkcji dla  $x=\frac{1}{2},x=-\frac{1}{2},x=\frac{5}{2},x=-\frac{5}{2}$.

Po skończonym ćwiczeniu  dzielą się swoimi spostrzeżeniami i wyciągają wnioski.

Nauczyciel wskazuje elementy budowy krzywej, będącej wykresem funkcji:

f(x) = axIndeks górny 2², omawia jej własności.

Wniosek:

Wykresem funkcji f(x) = axIndeks górny 2², a ≠ 0 i x ∈ R, zwanej jednomianem kwadratowym, jest krzywa o równaniu  y = axIndeks górny 2². Krzywa ta nosi nazwę paraboli. Jest to figura osiowosymetryczna. Osią symetrii jest prosta o równaniu x = 0. Przecina ona parabolę w punkcie, który nazywamy wierzchołkiem paraboli. Dzieli też parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami.

[Ilustracja 1]

Polecenie 3

Uczniowie pracują w dwóch grupach. Zadaniem pierwszej grupy jest sporządzenie wykresu funkcji f(x) = axIndeks górny 2², zadaniem grupy drugiej jest sporządzenie wykresu funkcji f(x) = axIndeks górny 2². Następnie uczniowie odczytują z wykresu :

- współrzędne wierzchołka paraboli,
- zbiór wartości funkcji,
- przedziały, w których funkcja maleje,
- przedziały, w których funkcja rośnie,
- równanie osi symetrii wykresu funkcji,
- najmniejsza wartość funkcji.

Podsumowaniem pracy grup powinno być określenie własności funkcji f(x) = axIndeks górny 2² w zależności od znaku współczynnika a.

Wnioski:

- dziedziną funkcji f(x) = axIndeks górny 2², dla x ∈ Rsą liczby rzeczywiste,
- funkcja ma jedno miejsce zerowe,
- funkcja nie jest różnowartościowa.

Pozostałe własności funkcji zależą od znaku współczynnika a.

Własności funkcji f(x) = axIndeks górny 2² dla:

[Tabela 1]

Wartość współczynnika a decyduje o rozpiętości ramion - im większa wartość liczby |a|, tym mniejsze rozchylenie ramion paraboli.

Polecenie dla chętnych:

Dana jest funkcja f(x) = axIndeks górny 2², x ∈ R. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n:

a) f(n + 1) - f(n) jest liczbą naturalną nieparzystą,

b) f(n + 5) - f(n + 3) jest liczbą podzielną przez 4.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania:

- wykresem funkcji f(x) = axIndeks górny 2² (a ≠ 0$a\ne 0)$ zwanej jednomianem kwadratowym, jest krzywa o równaniu y = axIndeks górny 2²,

- krzywa ta nosi nazwę paraboli. Jest to figura osiowosymetryczna. Osią symetrii jest prosta o równaniu x = 0. Przecina ona parabolę w punkcie, który nazywamy wierzchołkiem paraboli. Dzieli też parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami,

- wierzchołkiem paraboli, będącej wykresem funkcji f(x) = axIndeks górny 2² (a ≠ 0)$a\ne 0)$, jest punkt o współrzędnych (0,0). Dzieli on parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami.