Równania - zadania tekstowe. Część I

Oznaczamy przez $x$ liczbę gruszek. Wtedy liczba brzoskwiń to $x+2$, a liczba jabłek to $2\cdot \left(x+2\right)$.

Otrzymujemy równanie

Oznaczamy przez $x$ liczbę monet jednogroszowych, wtedy liczba monet dwugroszowych to $2x$. Skoro wszystkich monet jest $135$, to liczba monet pięciogroszowych jest równa $135-3x$. Ponieważ cała kwota przekazana przez dziewczynkę to $2 \mathrm{zł} 65 \mathrm{gr}$, to

skąd $x=41$.

Zatem monet jednogroszowych jest $41$, monet dwugroszowych – $82$, a monet pięciogroszowych – $12$.

Oznaczamy przez $x$ cyfrę dziesiątek, wtedy cyfra jedności to $x-1$. Zatem ta liczba dwucyfrowa to $10x+x-1$, czyli $11x-1$.

Z treści zadania wynika, że $11x-1=6\left(x+x-1\right)+1$, skąd $x=4$.
Wynika stąd, że cyfra dziesiątek jest równa $4$, a cyfra jedności to $3$, stąd suma tych cyfr jest równa $7$.

Oznaczmy przez $x$ liczbę detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na pierwszym poziomie wydajności. Wtedy liczba detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na drugim poziomie wydajności to $\frac{128}{100}x$.

Zauważmy, że planowana do wytworzenia liczba detali była równa $21\cdot 48\cdot x$. Przez $9$ godzin wyprodukowano $9\cdot 48\cdot x$, czyli pozostało do wyprodukowania $\left(21-9\right)\cdot 48\cdot x=12\cdot 48\cdot x$ detali. Aby wyprodukować tę liczbę detali, włączono $45$ automatów pracujących na drugim poziomie wydajności. Wykonały one tę pracę w czasie
$\frac{12\cdot 48\cdot x}{45\cdot \frac{128}{100}\cdot x}=\frac{12\cdot 48\cdot 100}{45\cdot 128}=10$ godzin.

Oznaczamy przez $n$ szóstą z tych liczb.
Wtedy liczby od pierwszej do piątej to

a liczby od siódmej do jedenastej to

Zauważmy, że sumę tych jedenastu liczb możemy zapisać jako

Otrzymujemy więc równanie

Zatem największa z tych liczb to

Oznaczamy przez $x$ liczbę celnych rzutów oddanych przez zawodnika startującego w konkursie, gdzie $x$ jest nieujemną liczbą całkowitą nie większą od $10$. Wtedy liczba niecelnych rzutów to $10-x$, a suma punktów uzyskanych przez tego zawodnika to $8x-3\left(10-x\right)$.

Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył $47$ punktów. Otrzymujemy wówczas równanie

Oddając $7$ rzutów celnych i $3$ niecelne zawodnik zdobyłby $47$ punktów.
Wynika stąd, że w tym konkursie można było uzyskać $47$ punktów.
Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył $63$ punkty. Wtedy

Uzyskany wynik nie jest liczbą naturalną, stąd nie może być liczbą celnych rzutów. Wobec tego, startując w tym konkursie, nie można było uzyskać $63$ punktów.

Oznaczamy przez $x$ cenę $1 \mathrm{kg}$ cukierków czekoladowych, zaś przez $y$ cenę $1 \mathrm{kg}$ cukierków toffi. Otrzymujemy układ równań

A zatem

Wynika stąd, że cena $1 \mathrm{kg}$ cukierków czekoladowych jest równa $12 \mathrm{zł}$, a cena $1 \mathrm{kg}$ cukierków toffi to $8 \mathrm{zł}$.

Gdyby połączyć $3 \mathrm{kg}$ takich cukierków czekoladowych i $2 \mathrm{kg}$ takich cukierków toffi, to jeden kilogram otrzymanej mieszanki kosztowałby $\frac{\left(3\cdot 12+2\cdot 8\right)}{3+2}=10,40 \mathrm{zł}$.

Przez $x$ oznaczamy liczbę pięciocyfrową, utworzoną przez pięć pierwszych (patrząc od prawej) cyfr zapisu dziesiętnego pierwszej liczby sześciocyfrowej.
Wtedy pierwsza liczba sześciocyfrowa to $400000+x$, a druga to $10x+4$.
Zapisujemy równanie

skąd

Zatem pierwsza liczba sześciocyfrowa to $410256$, a druga to $102564$.

Oznaczamy:

• przez $y$ – aktualny wiek Mateusza,

• przez $x$ – aktualny wiek Piotra.

W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.

Zauważmy, że $x-\frac{1}{3}y=y-x$, czyli $x=\frac{2}{3}y$.

Tabelkę wypełniamy ponownie.

Z treści zadania wiemy, że $\frac{4}{3}y+y=112$, skąd $\frac{7}{3}y=112$, czyli $y=48$ oraz $x=\frac{2}{3}\cdot 48=32$.

Wobec tego Mateusz ma $48$ lat, a Piotr ma $32$ lata.

Oznaczamy przez $x$ liczbę znaczków zagranicznych, wtedy $6x$ to liczba znaczków polskich. Otrzymujemy równanie

Zatem Małgosia ma $62$ zagraniczne znaczki.

Uwaga:
Z treści zadania wynika, że liczba znaczków zagranicznych stanowi $\frac{1}{7}$ liczby wszystkich znaczków zebranych przez Małgosię, można więc bez układania równania policzyć, że jest ich $\frac{1}{7}\cdot 434=62$.

Oznaczamy przez $x$ pierwszą liczbę. Wtedy druga liczba to $2x$, a trzecia to $2x+5$. Otrzymujemy równanie

Zatem poszukiwane liczby to $x=17$, $2x=34$, $2x+5=39$.