Materiał poświęcony jest zadaniom tekstowym prowadzącym do rozwiązania równania lub układu równań. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat rozwiązywania równań, zajrzyj do lekcji Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równaniaDG3FMpVz8Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania lub na temat rozwiązywania układu równań, zajrzyj do lekcji Układ równań liniowychD1Am8ZIdHUkład równań liniowych.
1
Ćwiczenie 1
RkU2Vw9SrF9wq
Oznaczamy przez liczbę gruszek. Wtedy liczba brzoskwiń to , a liczba jabłek to .
Otrzymujemy równanie
.
1
Ćwiczenie 2
RoRl9Jx8KxpKu
Oznaczamy przez liczbę monet jednogroszowych, wtedy liczba monet dwugroszowych to . Skoro wszystkich monet jest , to liczba monet pięciogroszowych jest równa . Ponieważ cała kwota przekazana przez dziewczynkę to , to
,
skąd .
Zatem monet jednogroszowych jest , monet dwugroszowych – , a monet pięciogroszowych – .
1
Ćwiczenie 3
R1HJv1GD64bpX
Oznaczamy przez cyfrę dziesiątek, wtedy cyfra jedności to . Zatem ta liczba dwucyfrowa to , czyli .
Z treści zadania wynika, że , skąd . Wynika stąd, że cyfra dziesiątek jest równa , a cyfra jedności to , stąd suma tych cyfr jest równa .
1
Ćwiczenie 4
R9xRbHPxQyZJ6
Oznaczmy przez liczbę detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na pierwszym poziomie wydajności. Wtedy liczba detali produkowanych w ciągu godziny przez automat na drugim poziomie wydajności to .
Zauważmy, że planowana do wytworzenia liczba detali była równa . Przez godzin wyprodukowano , czyli pozostało do wyprodukowania detali. Aby wyprodukować tę liczbę detali, włączono automatów pracujących na drugim poziomie wydajności. Wykonały one tę pracę w czasie godzin.
2
Ćwiczenie 5
RyNxzcFnMikw1
Oznaczamy przez szóstą z tych liczb. Wtedy liczby od pierwszej do piątej to
, , , , ,
a liczby od siódmej do jedenastej to
, , , , .
Zauważmy, że sumę tych jedenastu liczb możemy zapisać jako
.
Otrzymujemy więc równanie
.
Zatem największa z tych liczb to
.
2
Ćwiczenie 6
Szkolne koło sportowe zorganizowało konkursowe zawody w rzutach do kosza z odległości metra. Każdy zawodnik oddawał rzutów. Za celny rzut przyznawano punktów, a za każdy rzut niecelny odbierano punkty.
Rh0eHOqoFgeD2
R16Xjn9PybvUW
Oznaczamy przez liczbę celnych rzutów oddanych przez zawodnika startującego w konkursie, gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą nie większą od . Wtedy liczba niecelnych rzutów to , a suma punktów uzyskanych przez tego zawodnika to .
Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył punktów. Otrzymujemy wówczas równanie
.
Oddając rzutów celnych i niecelne zawodnik zdobyłby punktów. Wynika stąd, że w tym konkursie można było uzyskać punktów. Załóżmy, że zawodnik startujący w tym konkursie zdobył punkty. Wtedy
.
Uzyskany wynik nie jest liczbą naturalną, stąd nie może być liczbą celnych rzutów. Wobec tego, startując w tym konkursie, nie można było uzyskać punktów.
2
Ćwiczenie 7
R15bQZNCc6dFZ
Oznaczamy przez cenę cukierków czekoladowych, zaś przez cenę cukierków toffi. Otrzymujemy układ równań
.
A zatem
.
Wynika stąd, że cena cukierków czekoladowych jest równa , a cena cukierków toffi to .
Gdyby połączyć takich cukierków czekoladowych i takich cukierków toffi, to jeden kilogram otrzymanej mieszanki kosztowałby .
R8FXl5jS8cGrj1
Ćwiczenie 8
3
Ćwiczenie 9
RQzm6O3Gk50Dz
Przez oznaczamy liczbę pięciocyfrową, utworzoną przez pięć pierwszych (patrząc od prawej) cyfr zapisu dziesiętnego pierwszej liczby sześciocyfrowej. Wtedy pierwsza liczba sześciocyfrowa to , a druga to . Zapisujemy równanie
,
skąd
.
Zatem pierwsza liczba sześciocyfrowa to , a druga to .
3
Ćwiczenie 10
R17YIbkCGGjh9
Oznaczamy:
przez – aktualny wiek Mateusza,
przez – aktualny wiek Piotra.
W poniższej tabelce opisujemy fakty podane w treści zadania.
gdy Mateusz był w wieku Piotra
teraz
gdy Piotr będzie w wieku Mateusza
wiek Mateusza
wiek Piotra
Zauważmy, że , czyli .
Tabelkę wypełniamy ponownie.
gdy Mateusz był w wieku Piotra
teraz
gdy Piotr będzie w wieku Mateusza
wiek Mateusza
wiek Piotra
Z treści zadania wiemy, że , skąd , czyli oraz .
Wobec tego Mateusz ma lat, a Piotr ma lata.
3
Ćwiczenie 11
R1d5TWr4POiq2
Oznaczamy przez liczbę znaczków zagranicznych, wtedy to liczba znaczków polskich. Otrzymujemy równanie
.
Zatem Małgosia ma zagraniczne znaczki.
Uwaga: Z treści zadania wynika, że liczba znaczków zagranicznych stanowi liczby wszystkich znaczków zebranych przez Małgosię, można więc bez układania równania policzyć, że jest ich .
3
Ćwiczenie 12
R7SrAapBuYftX
Oznaczamy przez pierwszą liczbę. Wtedy druga liczba to , a trzecia to . Otrzymujemy równanie