Równania - zadania tekstowe. Część II

Przyjmijmy, że pierwsza z tych liczb to $5x$. Wtedy druga to $7x$, trzecia to $11x$, a czwarta to $26x$. Suma pierwszej i czwartej liczby to $713$, więc otrzymujemy równanie

Wobec tego $5x=115$, $7x=161$, $11x=253$ oraz $26x=598$.

Oznaczamy przez $n$ dziewiątą z kolei liczbę naturalną spośród tych siedemnastu.
Wtedy liczby od pierwszej do ósmej to

a liczby od dziesiątej do siedemnastej to

Zauważmy, że sumę tych siedemnastu liczb możemy zapisać jako

Otrzymujemy więc równanie

Zatem dziewiąta z tych liczb to $32$.

Oznaczamy przez $V$ prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości $B$ (w kilometrach na godzinę). Wtedy prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości $A$ była równa $\frac{5}{4}V$. Zatem w ciągu dwóch godzin pierwszy rowerzysta (jadący z miejscowości $A$) pokonał drogę równą $2\cdot \frac{5}{4}V=\frac{5}{2}V$, a drugi – drogę $2V$.
Otrzymujemy równanie

Prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości $B$ była więc równa $20 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, a rowerzysty jadącego z miejscowości $A$ była równa $\frac{5}{4}\cdot 20=25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
Rowerzysta jadący z $A$ po dwóch godzinach dojechał do $C$, zatem z $A$ do $C$ jest $2\cdot 25=50 \mathrm{km}$.

Oznaczamy przez $x$ cyfrę dziesiątek tej liczby dwucyfrowej, wtedy jej cyfrą jedności jest $11-x$. Zatem ta liczba dwucyfrowa to $10x+\left(11-x\right)=9x+11$, a liczba powstała po zamianie cyfr to

Liczba dwucyfrowa jest mniejsza od liczby powstałej po zamianie cyfr, otrzymujemy więc nierówność

Wobec tego cyfrą dziesiątek może być $5$, $4$, $3$, $2$ lub $1$. Dla $x=1$ otrzymujemy sprzeczność (wtedy $11-x=10>9$), więc są cztery liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania: $56$, $47$, $38$ oraz $29$.
Uwaga:
Jest tylko osiem liczb dwucyfrowych, których suma cyfr jest równa $11$ – są to liczby: $29$, $38$, $47$, $56$, $65$, $74$, $83$, $92$. Zapisując dla każdej z nich liczbę otrzymaną po zamianie cyfr, znajdziemy rozwiązanie zadania bez układania równania.

Grupa znajomych jedzie z prędkością $18 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ i ma do przejechania $54 \mathrm{km}$, więc pokona tę drogę w czasie $\frac{54}{18}=3$ godzin. To znaczy, że grupa dojedzie do Inowłodza o godzinie ${12}^{00}$.

Oznaczmy średnią prędkość spóźnialskiego przez $x$ (w kilometrach na godzinę). Żeby spóźnialski dogonił grupę, zanim dojedzie ona do Inowłodza, musi pokonać $54$ kilometry w czasie krótszym niż $2$ godziny $40$ minut.

Otrzymujemy więc nierówność:

Zatem, aby dogonić grupę, zanim dojedzie do Inowłodza, spóźnialski rowerzysta musi jechać ze średnią prędkością większą niż $20,25 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Oznaczamy przez $x$ cyfrę setek tej liczby. Wtedy jej cyfrą jedności jest $17-5-x=12-x$. Zatem ta liczba trzycyfrowa to $100x+50+12-x=99x+62$, a po zamianie cyfr otrzymujemy liczbę

Otrzymujemy więc równanie

Stąd cyfra setek szukanej liczby to $4$, jej cyfra jedności to $12-4=8$, a szukana liczba trzycyfrowa to $458$.

Zauważmy, że Janek szedł z prędkością $5 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ przez $2$ godziny i $24$ minuty do miejsca, w którym Franek go dogonił. Pokonał więc drogę długości

Franek pokonał te $12 \mathrm{km}$, jadąc na rowerze przez $36$ minut, zatem jego prędkość była równa

Zatem $20 \mathrm{km}$ drogi z domu do babci Franek pokonał przez godzinę. Skoro wyjechał o godzinie $7^{48}$, to u babci będzie o godzinie $8^{48}$.

Oznaczamy przez $x$ liczbę banknotów o nominale $50 \mathrm{zł}$, wtedy banknotów o nominale $100 \mathrm{zł}$ było $2x$, a banknotów o nominale $20 \mathrm{zł}$ było $x+2x+2$, czyli $3x+2$.
Otrzymujemy równanie

Zatem były $3$ banknoty o nominale $50 \mathrm{zł}$, sześć banknotów o nominale $100 \mathrm{zł}$ i jedenaście banknotów o nominale $20 \mathrm{zł}$.

Oznaczmy daną liczbę trzycyfrową przez $x$. Wtedy po dopisaniu do niej na końcu (z prawej strony) cyfry $9$ otrzymamy liczbę $10x+9$.
Otrzymujemy równanie

Szukaną liczbą jest więc $472$.

W $3 \mathrm{kg}$ roztworu o stężeniu $5\%$ soli jest $\frac{5}{100}\cdot 3=0,15 \mathrm{kg}$.
Oznaczmy przez $x$ masę wody, którą należy odparować, aby otrzymać roztwór o stężeniu $12\%$. Po odparowaniu masa roztworu zmniejszy się o $x \mathrm{kg}$, a masa soli pozostanie bez zmian.

Otrzymujemy równanie:

Zatem należy odparować $1,75 \mathrm{kg}$ wody.

Oznaczmy przez $x$ liczbę dzieci uczestniczących w przedstawieniu. Wtedy liczba dorosłych to $222-x$, wartość biletów zakupionych przez dzieci to $12x$, a wartość biletów zakupionych przez dorosłych to $20\left(222-x\right)$. Łącznie za bilety zapłacono $12x+20\left(222-x\right)$, czyli $4440-8x$.
Otrzymujemy równanie

Wobec tego na przedstawieniu było $155$ dzieci i $67$ dorosłych.

Oznaczmy aktualny wiek taty Marka przez $x$, wtedy aktualny wiek dziadka Marka to $2x$.
Otrzymujemy równanie

To znaczy, ze tata Marka ma $36$ lat, a dziadek Marka $72$ lata.

Oznaczmy przez $x$ masę złota próby $0,680$ (w gramach). Wtedy stop ma masę $10+x$ gramów zawiera $0,68\cdot x+0,96\cdot 10$ gramów złota.
Otrzymujemy równanie

Zatem do stopu należy użyć $30$ gramów złota próby $0,680$.

Oznaczmy przez $x$ masę drugiego (szesnastoprocentowego) roztworu przelanego do trzeciego naczynia. Wtedy roztworu dwunastoprocentowego dolano tam $4-x$ kilogamów.

Otrzymujemy więc równanie

To znaczy, że dolano $3 \mathrm{kg}$ drugiego roztworu.

Oznaczmy przez $x$ liczbę kopert, które przez minutę wytwarza pierwszy automat, przez $y$ – liczbę kopert, które przez minutę wytwarza drugi automat.
Otrzymujemy układ równań

Wynika stąd, że

• $\text{I}$ automat wytwarza $150$ kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie $600$ kopert potrzebuje $4$ minut,

• $\text{II}$ automat wytwarza $120$ kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie $600$ kopert potrzebuje $5$ minut.

Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy oznaczenia

• $x$ – cyfra jedności,

• $y$ – liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.

Wtedy szukana liczba trzycyfrowa to $10y+x$.
Otrzymujemy równanie

Zauważmy, że

• liczba $x$ może przyjmować jedną z wartości: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$,

• liczba $650$ – $x$ jest podzielna przez $9$.

Ponieważ $650=72\cdot 9+2$, to $x=2$, wtedy $y=72$, czyli szukana liczba trzycyfrowa to $722$.