Materiał poświęcony jest zadaniom tekstowym prowadzącym do rozwiązania równania lub układu równań. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości na temat rozwiązywania równań, zajrzyj do lekcji Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równaniaDG3FMpVz8Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania lub na temat rozwiązywania układu równań, zajrzyj do lekcji Układ równań liniowychD1Am8ZIdHUkład równań liniowych.
Każde z poniższych ćwiczeń możesz rozwiązać, układając równanie zgodnie z treścią zadania, a następnie sprawdzając (czytając treść zadania ponownie), czy wynik spełnia jego warunki. Taki rodzaj ćwiczeń uczy samodzielnego myślenia, dokładnego rozumienia tekstu matematycznego oraz rozwiązywania równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
1
Ćwiczenie 1
RXd0d2ZsffwWU
Przyjmijmy, że pierwsza z tych liczb to . Wtedy druga to , trzecia to , a czwarta to . Suma pierwszej i czwartej liczby to , więc otrzymujemy równanie
.
Wobec tego , , oraz .
1
Ćwiczenie 2
RigwqTv4O9AvF
Oznaczamy przez dziewiątą z kolei liczbę naturalną spośród tych siedemnastu. Wtedy liczby od pierwszej do ósmej to
, , , , , , , ,
a liczby od dziesiątej do siedemnastej to
, , , , , , , .
Zauważmy, że sumę tych siedemnastu liczb możemy zapisać jako
.
Otrzymujemy więc równanie
.
Zatem dziewiąta z tych liczb to .
1
Ćwiczenie 3
ROCtA0Gwt1Lk5
Oznaczamy przez prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości (w kilometrach na godzinę). Wtedy prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości była równa . Zatem w ciągu dwóch godzin pierwszy rowerzysta (jadący z miejscowości ) pokonał drogę równą , a drugi – drogę . Otrzymujemy równanie
.
Prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości była więc równa , a rowerzysty jadącego z miejscowości była równa . Rowerzysta jadący z po dwóch godzinach dojechał do , zatem z do jest .
2
Ćwiczenie 4
R1artucVI3tOz
Oznaczamy przez cyfrę dziesiątek tej liczby dwucyfrowej, wtedy jej cyfrą jedności jest . Zatem ta liczba dwucyfrowa to , a liczba powstała po zamianie cyfr to
.
Liczba dwucyfrowa jest mniejsza od liczby powstałej po zamianie cyfr, otrzymujemy więc nierówność
.
Wobec tego cyfrą dziesiątek może być , , , lub . Dla otrzymujemy sprzeczność (wtedy ), więc są cztery liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania: , , oraz . Uwaga: Jest tylko osiem liczb dwucyfrowych, których suma cyfr jest równa – są to liczby: , , , , , , , . Zapisując dla każdej z nich liczbę otrzymaną po zamianie cyfr, znajdziemy rozwiązanie zadania bez układania równania.
2
Ćwiczenie 5
RJf9gA5vmxg9I
Grupa znajomych jedzie z prędkością i ma do przejechania , więc pokona tę drogę w czasie godzin. To znaczy, że grupa dojedzie do Inowłodza o godzinie .
Oznaczmy średnią prędkość spóźnialskiego przez (w kilometrach na godzinę). Żeby spóźnialski dogonił grupę, zanim dojedzie ona do Inowłodza, musi pokonać kilometry w czasie krótszym niż godziny minut.
Otrzymujemy więc nierówność:
.
Zatem, aby dogonić grupę, zanim dojedzie do Inowłodza, spóźnialski rowerzysta musi jechać ze średnią prędkością większą niż .
2
Ćwiczenie 6
R1XxJ60vMzu27
Oznaczamy przez cyfrę setek tej liczby. Wtedy jej cyfrą jedności jest . Zatem ta liczba trzycyfrowa to , a po zamianie cyfr otrzymujemy liczbę
.
Otrzymujemy więc równanie
.
Stąd cyfra setek szukanej liczby to , jej cyfra jedności to , a szukana liczba trzycyfrowa to .
2
Ćwiczenie 7
RJmUezSeGV8X6
Zauważmy, że Janek szedł z prędkością przez godziny i minuty do miejsca, w którym Franek go dogonił. Pokonał więc drogę długości
.
Franek pokonał te , jadąc na rowerze przez minut, zatem jego prędkość była równa
.
Zatem drogi z domu do babci Franek pokonał przez godzinę. Skoro wyjechał o godzinie , to u babci będzie o godzinie .
2
Ćwiczenie 8
R1GP6eBL365f4
Oznaczamy przez liczbę banknotów o nominale , wtedy banknotów o nominale było , a banknotów o nominale było , czyli . Otrzymujemy równanie
.
Zatem były banknoty o nominale , sześć banknotów o nominale i jedenaście banknotów o nominale .
1
Ćwiczenie 9
Rd9CzWQPgnDFm
Oznaczmy daną liczbę trzycyfrową przez . Wtedy po dopisaniu do niej na końcu (z prawej strony) cyfry otrzymamy liczbę . Otrzymujemy równanie
.
Szukaną liczbą jest więc .
1
Ćwiczenie 10
R1FVeNCJ1uatq
W roztworu o stężeniu soli jest . Oznaczmy przez masę wody, którą należy odparować, aby otrzymać roztwór o stężeniu . Po odparowaniu masa roztworu zmniejszy się o , a masa soli pozostanie bez zmian.
Otrzymujemy równanie:
.
Zatem należy odparować wody.
2
Ćwiczenie 11
RKiY9g9Ftk3t1
Oznaczmy przez liczbę dzieci uczestniczących w przedstawieniu. Wtedy liczba dorosłych to , wartość biletów zakupionych przez dzieci to , a wartość biletów zakupionych przez dorosłych to . Łącznie za bilety zapłacono , czyli . Otrzymujemy równanie
.
Wobec tego na przedstawieniu było dzieci i dorosłych.
1
Ćwiczenie 12
RjL3bjTRjPYJr
Oznaczmy aktualny wiek taty Marka przez , wtedy aktualny wiek dziadka Marka to . Otrzymujemy równanie
.
To znaczy, ze tata Marka ma lat, a dziadek Marka lata.
2
Ćwiczenie 13
R1BY8uHXjmwNE
Oznaczmy przez masę złota próby (w gramach). Wtedy stop ma masę gramów zawiera gramów złota. Otrzymujemy równanie
.
Zatem do stopu należy użyć gramów złota próby .
3
Ćwiczenie 14
R4QvWOSStFJET
Oznaczmy przez masę drugiego (szesnastoprocentowego) roztworu przelanego do trzeciego naczynia. Wtedy roztworu dwunastoprocentowego dolano tam kilogamów.
Otrzymujemy więc równanie
.
To znaczy, że dolano drugiego roztworu.
3
Ćwiczenie 15
R1e1nAHEHY6eR
Oznaczmy przez liczbę kopert, które przez minutę wytwarza pierwszy automat, przez – liczbę kopert, które przez minutę wytwarza drugi automat. Otrzymujemy układ równań
.
Wynika stąd, że
automat wytwarza kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie kopert potrzebuje minut,
automat wytwarza kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie kopert potrzebuje minut.
3
Ćwiczenie 16
RvUYynR4Jy4MT
Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy oznaczenia
– cyfra jedności,
– liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.
Wtedy szukana liczba trzycyfrowa to . Otrzymujemy równanie
.
Zauważmy, że
liczba może przyjmować jedną z wartości: , , , , , , , , , ,
liczba – jest podzielna przez .
Ponieważ , to , wtedy , czyli szukana liczba trzycyfrowa to .