Równania i nierówności liniowe - zadania

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R6yRAhaVxbTaC2

$y = 2 x - 3$
$y = x + 3$
$y = x - 3$
$y = 7 x + 21$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby sprawdzić czy argument jest miejscem zerowym funkcji, wystarczy obliczyć wartość tej funkcji dla tego argumentu. Jeżeli otrzymaną wartością jest $0$ , to argument jest miejscem zerowym tej funkcji, a jeżeli otrzymana wartość jest różna od $0$ , to argument nie jest miejscem zerowym tej funkcji.

Ćwiczenie 2

Odczytaj miejsca zerowe funkcji liniowych, których fragmenty wykresów prezentowane są na poniższych rysunkach.

R1Dk7JTKrNSTH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15ljZUEw2www1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1PijRPsk2tGv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rwz5QL1om2GIQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rl5oIbzvuPXcu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VrVwry92G2A1

Ćwiczenie 3

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$3 \sqrt{3}$
$- 3 \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RqqUakgRGqnsu1

$m = 0$
$m = 1$
$m = - 5$
$m = 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skoro liczba $(- 1)$ jest miejscem zerowym tej funkcji, to punkt $(- 1, 0)$ należy do jej wykresu. Podstaw obie współrzędne punktu do wzoru funkcji, a następnie oblicz wartość parametru $m$ .

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$ .

R1Anz4n5guAwl1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do sześciu i pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. W układzie narysowano wykres funkcji liniowej malejącej. Jest to prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych (0, 4) i (5, 2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkLrmiHuRUYw6

funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych
największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $f (x) > 0$ jest $10$
najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $f (x) < 0$ jest $9$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RMH6zSrtiHzzQ

$"⟨"0, 15"⟩"$
$(10, 20)$
$(- 7, - 3)$
$"⟨"- 19, - 2"⟩"$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że rozwiązaniem równania jest $x = 15$ .

Ćwiczenie 7

R5q5dIIF6oqzb

$1$
$\frac{3}{4}$
$- 2$
$3 - \sqrt{17}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że nierówność sprowadza się do postaci $0 < 65$ .

Ćwiczenie 8

R1Yj1mz8PJbVa1

$- 5$
$3$
$- 0,6$
$0,6$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $0$ . W tym celu rozwiąż równanie $- 5 x + 3 = 0$ .

Ćwiczenie 9

RkVD919leoZf61

$m = 1$
$m = 2$
$m = 3$
$m = 8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skoro liczba $(- 4)$ jest miejscem zerowym tej funkcji, to punkt $(- 4, 0)$ należy do jej wykresu. Podstaw obie współrzędne punktu do wzoru funkcji, a następnie oblicz wartość parametru $m$ .

RJvk5TEjAYpwf1

Ćwiczenie 10

$x = - 1$
$x = - 2$
$x = - 3$
$x = - 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$ .

R9S3CaG7aWKx01

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech i pionową osią Y od minus trzech do czterech. W układzie narysowano wykres funkcji liniowej malejącej. Jest to prosta przechodząca przez punkty o współrzędnych (0, 4) i (5, 2). Prosta przecina oś Y w punkcie (0, -3). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YTYSfzOAani

$x = - 4$
$x = - 3$
$x = - 2$
$x = - 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RGmleDhqVCFPv

$(- 5, - 2)$
$(- 1, 2)$
$(3, 6)$
$(8, 10)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że rozwiązaniem równania jest $x = 4$ .

Ćwiczenie 13

RYXyl17xDDw2H

$4$
$5$
$6$
$12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że rozwiązaniem nierówności jest $x > 3$ .

Ćwiczenie 14

RTbfSKoCGGr0D1

$(- \infty, \frac{1}{3})$
$(- \infty, - \frac{1}{3})$
$(- \frac{1}{3}, + \infty)$
$(\frac{1}{3}, + \infty)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

R1C06Qk5Z4ovE1

$m = - 3$
$m = - 1$
$m = 1$
$m = 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznacza to, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $2$ . To z kolei oznacza, że punkt $(2, 0)$ należy do jej wykresu. Podstaw obie współrzędne punktu do wzoru funkcji, a następnie oblicz wartość parametru $m$ .

Ćwiczenie 16

RPfccu50DkJ2F

Oblicz i podaj miejsce zerowe funkcji

f

. Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

f (x) = 3 x - 4

x =

- 2 \sqrt{5}

, 2.

- 7

, 3.

\frac{4}{5} \sqrt{2}

, 4.

12

, 5.

\frac{4}{3}

, 6.

\frac{7}{3}

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

- 1 \frac{5}{9}

, 10.

7 \sqrt{2}

, 11.

- 3 \sqrt{2}

, 12.

- \frac{3}{4}

f (x) = - \frac{1}{2} x + 5

x =

- 2 \sqrt{5}

, 2.

- 7

, 3.

\frac{4}{5} \sqrt{2}

, 4.

12

, 5.

\frac{4}{3}

, 6.

\frac{7}{3}

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

- 1 \frac{5}{9}

, 10.

7 \sqrt{2}

, 11.

- 3 \sqrt{2}

, 12.

- \frac{3}{4}

f (x) = \frac{3 x - 7}{4}

x =

- 2 \sqrt{5}

, 2.

- 7

, 3.

\frac{4}{5} \sqrt{2}

, 4.

12

, 5.

\frac{4}{3}

, 6.

\frac{7}{3}

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

- 1 \frac{5}{9}

, 10.

7 \sqrt{2}

, 11.

- 3 \sqrt{2}

, 12.

- \frac{3}{4}

f (x) = \sqrt{2} x + 6

x =

- 2 \sqrt{5}

, 2.

- 7

, 3.

\frac{4}{5} \sqrt{2}

, 4.

12

, 5.

\frac{4}{3}

, 6.

\frac{7}{3}

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

- 1 \frac{5}{9}

, 10.

7 \sqrt{2}

, 11.

- 3 \sqrt{2}

, 12.

- \frac{3}{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = 3 x - 4$ . Szukamy takich $x$ , dla których $3 x - 4 = 0$ . Wtedy $3 x = 4$ , skąd $x = \frac{4}{3}$ . Zatem funkcja $f (x) = 3 x - 4$ ma jedno miejsce zerowe, $x = \frac{4}{3}$ .
Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = - \frac{1}{2} x + 5$ . Szukamy takich $x$ , dla których $- \frac{1}{2} x + 5 = 0$ . Wtedy $- \frac{1}{2} x = - 5$ , skąd $x = 10$ . Zatem funkcja $f (x) = - \frac{1}{2} x + 5$ ma jedno miejsce zerowe, $x = 10$ .
Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = \frac{3 x - 7}{4}$ . Szukamy takich $x$ , dla których $\frac{3 x - 7}{4} = 0$ . Wtedy $\frac{3}{4} x = \frac{7}{4}$ , skąd $x = \frac{7}{3}$ . Zatem funkcja $f (x) = \frac{3 x - 7}{4}$ ma jedno miejsce zerowe, $x = \frac{7}{3}$ .
Obliczymy miejsce zerowe funkcji $f (x) = \sqrt{2} x + 6$ . Szukamy takich $x$ , dla których $\sqrt{2} x + 6 = 0$ . Wtedy $\sqrt{2} x = - 6$ , skąd $x = \frac{- 6}{\sqrt{2}} = \frac{- 6 \sqrt{2}}{2} = - 3 \sqrt{2}$ . Zatem funkcja $f (x) = \sqrt{2} x + 6$ ma jedno miejsce zerowe, $x = - 3 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 17

RQoYo5m4YWiAU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ liczba $\sqrt{5}$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ , to

f (\sqrt{5}) = 0

czyli

a \cdot \sqrt{5} - 10 = 0

Stąd otrzymujemy, że

a = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{5}

Ćwiczenie 18

RMelgop6JDPDh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x > 21$ ; najmniejsza liczba całkowita, która spełnia tę nierówność to $22$ .
Znajdziemy najmniejszą liczbę całkowitą $x$ , która spełnia nierówność

\frac{x}{21} - 2 > \frac{2 - x}{19}

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

\frac{x - 42}{21} > \frac{2 - x}{19}

\frac{(x - 42)}{21} - \frac{(2 - x)}{19} > 0

Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę $21 \cdot 19$ , otrzymujemy nierówność

19 \cdot (x - 42) - 21 \cdot (2 - x) > 0

19 x - 798 - 42 + 21 x > 0

40 x > 840

x > 21

A zatem $x = 22$ jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność.

Ćwiczenie 19

Rozwiąż nierówność $3 x (x + 1) + {(x - 1)}^{2} \geq (2 x - 1) (2 x + 1)$ . Zaznacz zbiór jej rozwiązań na osi liczbowej.

RIAmjFsSt8byz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiąż nierówność $3 x (x + 1) + {(x - 1)}^{2} \geq (2 x - 1) (2 x + 1)$ . Podaj zbiór, w którym znajdują się wszystkie rozwiązania tej nierówności.

R1T50KiVSfPxa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równoważnie daną nierówność

3 x^{2} + 3 x + x^{2} - 2 x + 1 \geq 4 x^{2} - 1

Po redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy nierówność liniową

x + 1 \geq - 1

x \geq - 2

Rozwiązaniem nierówności jest więc każda liczba rzeczywista $x$ nie mniejsza od $(- 2)$ .

RnC7LdXF7K7Dm1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonym przedziałem lewostronnie domkniętym od -2 do nieskończoności. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Wykaż, że liczba $2^{12}$ jest rozwiązaniem równania $2^{22} - 1 6^{2} \cdot x - 4^{10} = 8^{7}$ .

R3S2HjhOlzbxs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wstaw podaną liczbę w miejsce $x$ i uprość wyrażenie, następnie porównaj wynik z liczbą $8^{7}$ .

Podstawmy za $x$ liczbę $2^{12}$ . Stosując własności działań na potęgach i przekształcając lewą stronę równości, otrzymujemy

2^{22} - 16^{2} \cdot 2^{12} - 4^{10} = 2^{22} - 2^{8} \cdot 2^{12} - 4^{10} =

= 2^{22} - 2^{20} - 2^{20} = 2 \cdot 2^{21} - 2 \cdot 2^{20} = 2 \cdot 2^{21} - 2^{21} = 2^{21} = 2^{3 \cdot 7} = 8^{7}

Zatem liczba $2^{12}$ jest rozwiązaniem rozważanego równania.

Ćwiczenie 21

Wypisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności
$x (x + 2) < {(x - 2)}^{2}$ i $\frac{x}{4} + \frac{x + 1}{2} > - 2$ .

R1Cle26HMIBrL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdziemy wszystkie liczby całkowite, które spełniają nierówności

x (x + 2) < {(x - 2)}^{2}

\frac{x}{4} + \frac{x + 1}{2} > - 2

Przekształcamy równoważnie nierówności.

x^{2} + 2 x < x^{2} - 4 x + 4

\frac{(3 x + 2)}{4} > - 2

6 x < 4

3 x + 2 > - 8

x < \frac{2}{3}

3 x > - 10

x < \frac{2}{3}

x > - \frac{10}{3}

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista $x$ należąca do przedziału $(- \frac{10}{3}, \frac{2}{3})$ .
A zatem liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności to: $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ .

RS7wuvRKWhIC021

Ćwiczenie 22

Połącz w pary nierówności z ich rozwiązaniami.

$2 x - 1 < 3$
$4 x - 5 > 4$
$6 x - 1 \leq 5$
$\frac{2}{3} x - 1 > 4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających jednocześnie nierówności
${(2 x - 1)}^{2} < {(2 x + 5)}^{2}$ , $4 {(3 x + 1)}^{2} \leq 9 {(2 x - 1)}^{2}$ .

R1CE5AFb9vC5R

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równoważnie nierówności.

4 x^{2} - 4 x + 1 < 4 x^{2} + 20 x + 25

36 x^{2} + 24 x + 4 \leq 36 x^{2} - 36 x + 9

- 24 x < 24

60 x \leq 5

x > - 1

x \leq \frac{1}{12}

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista $x$ spełniająca warunek $(- 1, \frac{1}{12}⟩$ .

R12hc3slBC13J1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonym przedziałem prawostronnie domkniętym od -1 do jednej dwunastej. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

Wypisz wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają jednocześnie nierówności
${(x + 3)}^{2} < {(x - 4)}^{2}$ i $(9 x + 7) x \leq {(3 x + 1)}^{2}$ .

RWPn30KM0VZPT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdziemy wszystkie nieujemne liczby całkowite, które spełniają nierówności

{(x + 3)}^{2} < {(x - 4)}^{2}

(9 x + 7) x \leq {(3 x + 1)}^{2}

Przekształcamy równoważnie nierówności.

x^{2} + 6 x + 9 < x^{2} - 8 x + 16

9 x^{2} + 7 x \leq 9 x^{2} + 6 x + 1

14 x < 7

x \leq 1

x < \frac{1}{2}

x \leq 1

Rozwiązaniem układu nierówności jest każda liczba rzeczywista $x$ spełniająca warunek $x < \frac{1}{2}$ .
A zatem jedyną nieujemną liczbą całkowitą spełniającą nierówności jest liczba $0$ .

Ćwiczenie 25

Wykaż, że nie istnieje liczba rzeczywista $x$ , która spełnia jednocześnie nierówności
$3 x (x - 7) < 2 x^{2} + {(x - 5)}^{2}$ , $\frac{x + 2}{5} - \frac{2 x + 1}{2} > 2 \frac{1}{10}$ .

RnETS2vR0uaCg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy równoważnie nierówności.

3 x^{2} - 21 x < 3 x^{2} - 10 x + 25

- \frac{8 x + 1}{10} > \frac{21}{10}

- 11 x < 25

- 8 x - 1 > 21

x > - \frac{25}{11}

- 8 x > 22

x > - \frac{25}{11} \approx - 2, 27

x < - \frac{11}{4} = - 2, 75

Ponieważ $- \frac{25}{11} > - \frac{11}{4}$ , to nie istnieje liczba rzeczywista $x$ spełniająca jednocześnie warunki $x > - \frac{25}{11}$ , $x < - \frac{11}{4}$ . Zatem nie istnieje liczba rzeczywista, która jednocześnie spełnia podane nierówności.