Przykład 1

W prostokącie o polu równym $56$ jeden z boków jest o $10$ dłuższy od drugiego. Obliczymy obwód tego prostokąta.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszego boku tego prostokąta przez $x$ , gdzie $x > 0$ . Wtedy drugi bok tego prostokąta ma długość $x + 10$ , a pole tego prostokąta jest równe $x (x + 10)$ . Wiadomo, że pole tego prostokąta jest równe $56$ . Otrzymujemy więc równanie

x (x + 10) = 56 .

Przekształcamy to równanie równoważnie

x^{2} + 10 x = 56

x^{2} + 10 x - 56 = 0 .

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 10 x - 56$ . Obliczamy wyróżnik tej funkcji $Δ = 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56) = 324$ . Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{- 10 - 18}{2} = - 14

oraz

x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{- 10 + 18}{2} = 4 .

Warunki zadania spełnia jedynie $x = 4$ . Długość drugiego boku tego prostokąta jest równa $x + 10 = 14$ , a obwód prostokąta jest równy $2 \cdot (4 + 14) = 36$ .
Uwaga. Można od razu zauważyć, że $4 \cdot (4 + 10) = 56$ , wobec tego liczba $4$ jest rozwiązaniem równania $x (x + 10) = 56$ . Jest to więc miejsce zerowe funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 10 x - 56$ . Wzór tej funkcji można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x - 4$

f (x) = x^{2} + 10 x - 56 = x^{2} - 4 x + 14 x - 56 = x (x - 4) + 14 (x - 4) = (x - 4) (x + 14) .

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $8$ , a jedna z przyprostokątnych jest o $2$ krótsza od drugiej. Wykażemy, że pole tego trójkąta jest równe $15$ .
Rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta przez $x$ , gdzie $x > 0$ . Wtedy druga przyprostokątna ma długość $x + 2$ . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie

x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 8^{2} .

Przekształcamy to równanie równoważnie

x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 = 64

2 x^{2} + 4 x - 60 = 0

x^{2} + 2 x - 30 = 0 .

Szukamy zatem dodatnich miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 2 x - 30$ . Obliczamy wyróżnik tej funkcji $Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30) = 124$ . Ponieważ $∆ > 0$ , więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{124}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{31}}{2} = - 1 - \sqrt{31}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{124}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 + 2 \sqrt{31}}{2} = - 1 + \sqrt{31 .}

Warunki zadania spełnia jedynie $x = \sqrt{31} - 1$ . Wobec tego przyprostokątne tego trójkąta mają długości $\sqrt{31} - 1$ oraz $\sqrt{31} + 1$ , a jego pole jest równe $\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{31} - 1) \cdot (\sqrt{31} + 1) = \frac{1}{2} \cdot ({\sqrt{31}}^{2} - 1^{2}) = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ , co należało wykazać.

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne punktów, w których prosta o równaniu $y = 2 x + 9$ przecina parabolę o równaniu $y = x^{2} + 1$ .
Rozwiązanie
Ponieważ współrzędne szukanych punktów przecięcia spełniają każde z równań $y = 2 x + 9$ oraz $y = x^{2} + 1$ , więc $x^{2} + 1 = 2 x + 9$ , stąd $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .
Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = x^{2} - 2 x - 8$ . Obliczamy wyróżnik tej funkcji $Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 36$ . Funkcja ta ma więc dwa miejsca zerowe
$x_{1} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2$ oraz $x_{2} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ .
Gdy $x = - 2$ , to $y = 2 (- 2) + 9 = 5$ , a gdy $x = 4$ , to $y = 2 \cdot 4 + 9 = 17$ . Wobec tego prosta o równaniu $y = 2 x + 9$ przecina parabolę o równaniu $y = x^{2} + 1$ w dwóch punktach: jeden ma współrzędne $(- 2, 5)$ , a drugi ma współrzędne $(4, 17)$ .

isA2lPIdwn_d5e184

Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania kwadratowego

W przykładach rozwiązanie zadania sprowadzało się do znalezienia rozwiązań równania z niewiadomą $x$ , które przekształcaliśmy do postaci
${ax}^{2} + bx + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ .
Każde równanie takiego typu nazywamy równaniem kwadratowym z niewiadomą $x$ .
Ponieważ rozwiązania takiego równania to miejsca zerowe funkcji $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , więc korzystając z omówionych wcześniej własności funkcji kwadratowej możemy podać algorytm, pozwalający ustalić istnienie i liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości wyróżnika $Δ = b^{2} - 4 ac$ .

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe

{ax}^{2} + bx + c = 0

nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ < 0$ ,
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ = 0$ ,
ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste $x_{1} =$ $\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ > 0$ .

Warto pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie zawsze wskazane jest automatyczne stosowanie powyższych wzorów. Bardzo przydatne jest na przykład spostrzeżenie, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy zero.

Pokażemy na kilku przykładach, jak można rozwiązać równanie kwadratowe.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie.

$(2 x + 1) (5 x - 3) = 0$
Można przekształcić to równanie do postaci $10 x^{2} - x - 3 = 0$ i wyznaczyć jego rozwiązania za pomocą wzorów, ale jest to zupełnie niepotrzebne. Wystarczy przecież zauważyć, że $(2 x + 1) (5 x - 3) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2 x + 1 = 0$ lub $5 x - 3 = 0$ , stąd $x = - \frac{1}{2}$ lub $x = \frac{3}{5}$ Indeks dolny .
$x^{2} + 16 = 0$
Zauważamy, że lewa strona równania jest sumą liczby nieujemnej $x^{2}$ oraz liczby $16$ , a więc jest dodatnia. Zatem równanie $x^{2} + 16 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
${(4 x + 7)}^{2} = 1 1^{2}$
Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania, przekształcimy równanie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów

{(4 x + 7)}^{2} = 1 1^{2}

{(4 x + 7)}^{2} - 1 1^{2} = 0

$(4 x + 7 - 11) (4 x + 7 + 11) = 0$ $(4 x - 4) (4 x + 18) = 0$ stąd $x = 1$ lub $x = - \frac{9}{2}$ .

$6 x^{2} = 19 x$
$x (6 x - 19) = 0$ Przekształcając to równanie do postaci $x (6 x + 19) = 0$ , stwierdzamy, że ma ono dwa rozwiązania $0$ i $- \frac{19}{6}$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie
$x^{2} + 10 x - 11 = 0$

sposób $I$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zapisanego po lewej stronie równania: $Δ = 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11) = 144$ . Ponieważ $Δ > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania
$x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = - 11$ oraz $x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = 1$ .

sposób $II$

Można zauważyć, że $1$ jest rozwiązaniem danego równania, gdyż $1^{2} + 10 \cdot 1 - 11 = 0$ .
Zatem trójmian $x^{2} + 10 x - 11$ możemy zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x - 1$ :
$x^{2} + 10 x - 11 = x^{2} - x + 11 x - 11 = x (x - 1) + 11 (x - 1) = (x - 1) (x + 11)$ .
Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 1$ oraz $x_{2} = - 11$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie
$2 x^{2} + 9 x + 7 = 0$

sposób $I$

Obliczamy wyróżnik trójmianu $2 x^{2} + 9 x + 7$

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25 .

Ponieważ $Δ > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania
$x_{1} = \frac{- 9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = - \frac{7}{2}$ oraz $x_{2} = \frac{- 9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = - 1$ .

sposób $II$

Zauważmy, że $- 1$ jest rozwiązaniem równania $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$ . Wobec tego trójmian $2 x^{2} + 9 x + 7$ można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x + 1$

2 x^{2} + 9 x + 7 = 2 x^{2} + 2 x + 7 x + 7 = 2 x (x + 1) + 7 (x + 1) = (2 x + 7) (x + 1) .

Zatem równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = - \frac{7}{2}$ .

Przykład 7

Rozwiążemy równanie
$3 x^{2} + 4 x + 5 = 345$

sposób $I$

Przekształcamy równanie do postaci $3 x^{2} + 4 x - 340 = 0$ . Następnie obliczamy wyróżnik trójmianu $3 x^{2} + 4 x - 340$

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 340) = 4096 .

Ponieważ $Δ > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania
$x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4096}}{2 \cdot 3} = - \frac{34}{3}$ oraz $x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4096}}{2 \cdot 3} = 10$ .

sposób $II$

Zauważamy, że $10$ jest rozwiązaniem równania $3 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 10 + 5 = 345$ . Zatem trójmian $3 x^{2} + 4 x - 340$ można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x - 10$

3 x^{2} + 4 x - 340 = 3 x^{2} - 30 x + 34 x - 340 = 3 x (x - 10) + 34 (x - 10) = (3 x + 34) (x - 10)

Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 10$ oraz $x_{2} = - \frac{34}{3}$ .

Przykład 8

Rozwiążemy równanie
$25 x^{2} - 90 x + 81 = 0$

sposób $I$

Obliczamy wyróżnik trójmianu $25 x^{2} - 90 x + 81$

Δ = {(- 90)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 81 = 0

Ponieważ $Δ = 0$ , więc równanie ma jedno rozwiązanie

x_{0} = \frac{90}{2 \cdot 25} = \frac{9}{5}

sposób $II$

Zauważmy, że trójmian $25 x^{2} - 90 x + 81$ można przekształcić do postaci ${(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 9 + 9^{2} = {(5 x - 9)}^{2}$ . Zatem równanie ma jedno rozwiązanie $x_{0} = \frac{9}{5}$ .

Przykład 9

Wykażemy, że równanie $3 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $3 x^{2} - 4 x + 2$

Δ = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = - 8 < 0 .

Oznacza to, że równanie $3 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Przykład 10

Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $2 x^{2} + 3 x - 4$

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 41 .

Rozwiązaniami danego równania są więc
$x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{41}}{4}$ oraz $x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{41}}{4} .$
Ponieważ $\sqrt{41}$ nie jest liczbą wymierną, więc żadna z liczb $x_{1}$ , $x_{2}$ nie jest liczbą wymierną.
Wobec tego żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .
Uwaga. Ponieważ liczba $\sqrt{41}$ jest niewymierna, więc każdy z pierwiastków danego równania jest liczbą niewymierną.

Przykład 11

Ustalimy liczbę rozwiązań równania $x^{2} - 2 x + c = 0$ w zależności od wartości współczynnika $c$ .
Wyróżnik trójmianu $x^{2} - 2 x + c$ jest równy $Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 4 - 4 c$ . Zatem dane równanie:

ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $4 - 4 c > 0$ , czyli dla $c < 1$ ,
ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $4 - 4 c = 0$ , czyli dla $c = 1$ ,
nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $4 - 4 c < 0$ , czyli dla $c > 1$ .

Uwaga. Można też równanie przekształcić następująco

x^{2} - 2 x = - c

x^{2} - 2 x + 1 = - c + 1

{(x - 1)}^{2} = 1 - c .

Wystarczy teraz zauważyć, że lewa strona otrzymanego równania jest nieujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań, gdy $1 - c < 0$ , czyli gdy $c > 1$ .
Jeśli natomiast $c = 1$ , to otrzymujemy równanie ${(x - 1)}^{2} = 0$ , które ma jedno rozwiązanie, $x = 1$ .
Pozostaje wyznaczyć rozwiązania równania, gdy $c < 1$ . Wtedy jego lewa strona jest dodatnia, więc równanie można zapisać w postaci

{(x - 1)}^{2} = {(\sqrt{1 - c})}^{2}

stąd

{(x - 1)}^{2} - {(\sqrt{1 - c})}^{2} = 0

(x - 1 - \sqrt{1 - c}) (x - 1 + \sqrt{1 - c}) = 0 .

Zatem, gdy $c < 1$ , równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 1 + \sqrt{1 - c}$ oraz $x_{2} = 1 - \sqrt{1 - c}$ .

isA2lPIdwn_d5e476

classicmobile

Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1NMqoEefkJ5v

Równanie $(x - 2) (x + 3) = 0$ ma dwa rozwiązania $2$ oraz $- 3$ .
Oba rozwiązania równania $(2 x + 1) (3 x + 7) = 0$ są liczbami dodatnimi.
Żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $(3 x + 5) (4 - 2 x) = 0$ .
Równanie $x (x - 1) = 0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

static

Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1EzNrk1Q6BSG

Równanie $(x - 2) (x + 3) = 0$ ma dwa rozwiązania $2$ oraz $- 3$ .
Oba rozwiązania równania $(2 x + 1) (3 x + 7) = 0$ są liczbami dodatnimi.
Żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $(3 x + 5) (4 - 2 x) = 0$ .
Równanie $x (x - 1) = 0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

classicmobile

Ćwiczenie 2

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $- 3 (x + 2) (x - 7) = 0$ . Wówczas

R1MamtVVIlREI

$x_{1} x_{2} = - 14$
$x_{1} + x_{2} = - 5$
${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 62$
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{5}{14}$

static

Ćwiczenie 2

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $- 3 (x + 2) (x - 7) = 0$ . Wówczas

RIlDa2BFkgOPV

$x_{1} x_{2} = - 14$
$x_{1} + x_{2} = - 5$
${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 62$
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{5}{14}$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $(2 x + 5) (x - 1) = (2 x + 5) (3 - x)$ i $x_{1} < x_{2}$ . Wówczas

R1DgAvrCO1fmY

$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 2$
$2 x_{1} + 3 x_{2} = 1$
$x_{2} = 5$

static

Ćwiczenie 3

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $(2 x + 5) (x - 1) = (2 x + 5) (3 - x)$ i $x_{1} < x_{2}$ . Wówczas

R14K6eNo4nzLP

$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 2$
$2 x_{1} + 3 x_{2} = 1$
$x_{2} = 5$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RkiUr7pXo5Tub

Równanie ${(3 x - 1)}^{2} = 1$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Równanie ${(2 x + 5)}^{2} + 3 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Równanie $4 x^{2} = x$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Równanie $2 x^{2} = 16 x - 32$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

static

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1V9UjAI9JIMq

Równanie ${(3 x - 1)}^{2} = 1$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Równanie ${(2 x + 5)}^{2} + 3 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Równanie $4 x^{2} = x$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Równanie $2 x^{2} = 16 x - 32$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

classicmobile

Ćwiczenie 5

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $x^{2} - 8 x + 5 = 0$ i $x_{1} < x_{2}$ . Wówczas

ROwhOKAFoi6ox

$x_{1} + x_{2} = 8$
$x_{1} x_{2} = 5$
$x_{1} < 0$
$x_{2} > 7$

static

Ćwiczenie 5

Liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $x^{2} - 8 x + 5 = 0$ i $x_{1} < x_{2}$ . Wówczas

R1Au9thBPPlyU

$x_{1} + x_{2} = 8$
$x_{1} x_{2} = 5$
$x_{1} < 0$
$x_{2} > 7$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1KmVqoGkT4AG

Każde z rozwiązań równania $6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ należy do przedziału $(0, 1)$ .
Żadna liczba ujemna nie jest rozwiązaniem równania $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .
Jedno z rozwiązań równania $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ należy do przedziału $(- 4, - 3)$ .
Jednym z rozwiązań równania $2 x^{2} - x - 10 = 0$ jest liczba całkowita.

static

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R14GYK8i2WyeV

Każde z rozwiązań równania $6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ należy do przedziału $(0, 1)$ .
Żadna liczba ujemna nie jest rozwiązaniem równania $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .
Jedno z rozwiązań równania $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ należy do przedziału $(- 4, - 3)$ .
Jednym z rozwiązań równania $2 x^{2} - x - 10 = 0$ jest liczba całkowita.

classicmobile

Ćwiczenie 7

Większą z dwóch liczb spełniających równanie $- 2 (x + 1) (x + 4) = 0$ jest

RA88AC0GeJjEj

$- 1$
$1$
$2$
$4$

static

Ćwiczenie 7

Większą z dwóch liczb spełniających równanie $- 2 (x + 1) (x + 4) = 0$ jest

RVZSO27kt5QDv

$- 1$
$1$
$2$
$4$

isA2lPIdwn_d5e855

classicmobile

Ćwiczenie 8

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $4 (x - 2) (x + 5) = 0$ . Suma $x_{1} + x_{2}$ jest równa

RJmRYHnuL8H5y

$7$
$3$
$- 3$
$- 12$

static

Ćwiczenie 8

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $4 (x - 2) (x + 5) = 0$ . Suma $x_{1} + x_{2}$ jest równa

RbCZaZKfi9Xwv

$7$
$3$
$- 3$
$- 12$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Równanie $- {(x + 3)}^{2} = {(- 2)}^{2}$

RxzptYFkCrbkt

ma cztery rozwiązania
ma dwa rozwiązania
ma jedno rozwiązanie
nie ma rozwiązań

static

Ćwiczenie 9

Równanie $- {(x + 3)}^{2} = {(- 2)}^{2}$

R1ZTDxTyccy5b

ma cztery rozwiązania
ma dwa rozwiązania
ma jedno rozwiązanie
nie ma rozwiązań

classicmobile

Ćwiczenie 10

Rozwiązaniami równania $(x - 5) (2 x + 9) = x (5 - x)$ są liczby

R16THxLymMQ1G

$0$ oraz $- \frac{9}{2}$
$5$ oraz $- \frac{9}{2}$
$0$ oraz $5$
$5$ oraz $- 3$

static

Ćwiczenie 10

Rozwiązaniami równania $(x - 5) (2 x + 9) = x (5 - x)$ są liczby

RogEINoiMeafe

$0$ oraz $- \frac{9}{2}$
$5$ oraz $- \frac{9}{2}$
$0$ oraz $5$
$5$ oraz $- 3$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są różnymi rozwiązaniami równania $x^{2} + 10 x - 24 = 0$ . Suma ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ jest równa

R18T6K2dCNreI

$100$
$148$
$196$
$576$

static

Ćwiczenie 11

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są różnymi rozwiązaniami równania $x^{2} + 10 x - 24 = 0$ . Suma ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ jest równa

R11QLVjVHOIXx

$100$
$148$
$196$
$576$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Wskaż równanie, które nie ma rozwiązań rzeczywistych.

R17eaQzwPco5p

$x^{2} + 5 x + 2 = 0$
$- 5 x^{2} - 2 = 0$
$x^{2} - 2 x - 5 = 0$
$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

static

Ćwiczenie 12

Wskaż równanie, które nie ma rozwiązań rzeczywistych.

RNK3TvbyIJkdy

$x^{2} + 5 x + 2 = 0$
$- 5 x^{2} - 2 = 0$
$x^{2} - 2 x - 5 = 0$
$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $5 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ i $x_{1} < x_{2}$ . Oblicz $3 x_{1} + 10 x_{2}$ .

R4fOXuZ0RVZWh

$- 5$
$- 1$
$4$
$7$

static

Ćwiczenie 13

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są rozwiązaniami równania $5 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ i $x_{1} < x_{2}$ . Oblicz $3 x_{1} + 10 x_{2}$ .

R1C8hLWX1Gdwq

$- 5$
$- 1$
$4$
$7$

isA2lPIdwn_d5e1154

classicmobile

Ćwiczenie 14

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są różnymi rozwiązaniami równania $10 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ . Suma $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ jest równa

Rxb7TQiFGBjhA

$\frac{1}{10}$
$- \frac{10}{3}$
$3$
$- 1$

static

Ćwiczenie 14

Liczby $x_{1}$ oraz $x_{2}$ są różnymi rozwiązaniami równania $10 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ . Suma $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ jest równa

RxVeLe4D3L19f

$\frac{1}{10}$
$- \frac{10}{3}$
$3$
$- 1$

Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie.

$(x + 5) (x - 6) = 0$
$(2 x - 3) (3 x + 7) = 0$
$(4 x - 1) (2 - x) = 0$
$(8 - 2 x) (9 x + 11) = 0$

$x = - 5$ lub $x = 6$
$x = \frac{3}{2}$ lub $x = - \frac{7}{3}$
$x = \frac{1}{4}$ lub $x = 2$
$x = 4$ lub $x = - \frac{11}{9}$

Ćwiczenie 16

Rozwiąż równanie.

$3 x^{2} - 108 = 0$
$x^{2} + 2 = 0$
$- 4 x^{2} + 49 = 0$
$- 2 x^{2} - 50 = 0$

$x = - 6$ lub $x = 6$
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych
$x = \frac{7}{2}$ lub $x = - \frac{7}{2}$
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych

Ćwiczenie 17

Rozwiąż równanie.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$
$x^{2} - 4 x = 0$
$9 x^{2} + 12 x + 4 = 0$
$12 x - 9 x^{2} = 0$

$x = 2$
$x = 0$ lub $x = 4$
$x = - \frac{2}{3}$
$x = 0$ lub $x = \frac{4}{3}$

Ćwiczenie 18

Rozwiąż równanie.

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$
$x^{2} + 6 x + 11 = 0$
$4 x^{2} - 11 x - 15 = 0$
$3 x^{2} + 5 x - 28 = 0$

$x = - 7$ lub $x = 5$
równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych
$x = - 1$ lub $x = \frac{15}{4}$
$x = - 4$ lub $x = \frac{7}{3}$

Ćwiczenie 19

Rozwiąż równanie.

$x^{2} + 4 x + 7 = 0$
$x^{2} - 6 x + 1 = 0$
$x^{2} - 8 x + 9 = 0$
$x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 3 = 0$

równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych
$x = 3 - 2 \sqrt{2}$ lub $x = 3 + 2 \sqrt{2}$
$x = 4 + \sqrt{7}$ lub $x = 4 - \sqrt{7}$
$x = - \sqrt{5} + \sqrt{2}$ lub $x = - \sqrt{5} - \sqrt{2}$

Ćwiczenie 20

Rozwiąż równanie.

$2 x^{2} + 15 x = 17$
$3 x^{2} + 7 x = 370$
${(x - 5)}^{2} = 3 x - 15$
${(2 x - 7)}^{2} = 28 - 8 x$

$x = 1$ lub $x = - \frac{17}{2}$
$x = 10$ lub $x = - \frac{37}{3}$
$x = 5$ lub $x = 8$
$x = \frac{7}{2}$ lub $x = \frac{3}{2}$

Ćwiczenie 21

Kwadrat liczby $x$ jest $8$ razy większy od liczby $x - 2$ . Oblicz $x$ .

$x = 4$

Ćwiczenie 22

Jeżeli dodatnią liczbę $x$ pomnożymy przez liczbę o $5$ większą od połowy liczby $x$ , to w wyniku otrzymamy $168$ . Jaka to liczba?

$x = 14$

Ćwiczenie 23

Dwie ujemne liczby całkowite różnią się o $5$ , a suma ich kwadratów jest równa $193$ . Znajdź te liczby.

Te liczby to $- 12$ oraz $- 7$ .

Ćwiczenie 24

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych dodatnich jest równa $245$ . Znajdź te liczby.

Te liczby to $8$ , $9$ oraz $10$ .

isA2lPIdwn_d5e1501

Ćwiczenie 25

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej o równaniu $y = x + 2$ oraz paraboli o równaniu $y = 2 x^{2} + x$ .

$(1, 3)$ oraz $(- 1, 1)$

Ćwiczenie 26

Wyznacz wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji $f (x) = x^{2} - 3 x$ oraz $g (x) = 2 x^{2} - 4$ .

$(1, - 2)$ oraz $(- 4, 28)$

Ćwiczenie 27

W prostokącie $A$ jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Gdyby skrócić krótszy bok tego prostokąta o $1$ i jednocześnie przedłużyć dłuższy bok o $2$ , to otrzymalibyśmy prostokąt $B$ o polu równym $16$ . Wyznacz wymiary prostokąta $A$ .

Prostokąt ma wymiary $3$ i $6$ .

Ćwiczenie 28

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $17$ , a jedna z przyprostokątnych jest o $7$ dłuższa od drugiej. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

$8$ oraz $15$

Ćwiczenie 29

Każdy z dwóch prostokątów ma przekątną długości $25$ . Krótszy bok pierwszego prostokąta jest o $8$ dłuższy od krótszego boku drugiego prostokąta, a dłuższy bok pierwszego prostokąta jest o $4$ krótszy od dłuższego boku drugiego prostokąta. Oblicz wymiary każdego z tych prostokątów.

Pierwszy prostokąt ma wymiary $15$ i $20$ , a drugi – $7$ i $24$ .

Oznaczmy: $x$ – długość krótszego boku pierwszego prostokąta, $y$ – długość dłuższego boku pierwszego prostokąta. Wtedy boki drugiego prostokąta mają długości $x - 8$ oraz $y + 4$ .
Ponieważ w każdym z tych prostokątów przekątna ma długość 25, to
$x^{2} + y^{2} = 2 5^{2}$ i ${(x - 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 2 5^{2}$ .
Przekształcamy drugie równanie do postaci $x^{2} - 16 x + 64 + y^{2} + 8 y + 16 = 2 5^{2}$ . Ponieważ $x^{2} + y^{2} = 2 5^{2}$ , więc $- 16 x + 8 y + 80 = 0$ , stąd $y = 2 x - 10$ . Zatem $x^{2} + {(2 x - 10)}^{2} = 2 5^{2}$ .
Rozwiązujemy otrzymane równanie

x^{2} + 4 x^{2} - 40 x + 100 = 625

5 x^{2} - 40 x - 525 = 0

x^{2} - 8 x - 105 = 0

Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^{2} - 8 x - 105$ : $Δ = {(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 105) = 484 > 0$ . Wobec tego otrzymane równanie ma dwa rozwiązania
$x_{1} = \frac{8 - \sqrt{484}}{2} = - 7$ oraz $x_{2} = \frac{8 + \sqrt{484}}{2} = 15$ .
Zauważamy, że $x_{1}$ jest sprzeczne z warunkami zadania. Gdy $x = 15$ , to $y = 2 \cdot 15 - 10 = 20$ . Wtedy długości boków drugiego prostokąta to $x - 8 = 7$ oraz $y + 4 = 24$ .

Ćwiczenie 30

Wyznacz wszystkie wartości $b$ , dla których liczba $b$ jest rozwiązaniem równania $x^{2} - (b + 2) x + 10 = 0$ . Dla otrzymanej wartości $b$ wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

Dla $b = 5$ . Wtedy otrzymujemy równanie $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ , którego rozwiązaniami są $2$ oraz $5$ .

Ćwiczenie 31

Wyznacz wszystkie wartości $c$ , dla których liczba $c$ jest rozwiązaniem równania $x^{2} - 10 x + 3 c = 0$ . Dla otrzymanej wartości $c$ wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

Dla $c = 7$ (wtedy otrzymujemy równanie $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ , którego rozwiązaniami są $3$ oraz $7$ ) lub $c = 0$ (wówczas otrzymujemy równanie $x^{2} - 10 x = 0$ , którego rozwiązaniami są $0$ oraz $10$ ).

Ćwiczenie 32

Wyznacz wszystkie dodatnie wartości $b$ , dla których równanie $x^{2} + 2 bx + b = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla otrzymanej wartości $b$ wyznacz to rozwiązanie.

Dla $b = 1$ . Wtedy otrzymujemy równanie $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ , którego jedynym rozwiązaniem jest $- 1$ .

Ćwiczenie 33

Wykaż, że dla każdej wartości m równanie $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Wyróżnik trójmianu $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1)$ jest równy $Δ = {(- (m + 3))}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 (m + 1)$ , skąd $Δ = m^{2} - 2 m + 1$ , a zatem $Δ = {(m - 1)}^{2}$ . Wobec tego dla każdej wartości m wyróżnik ten jest nieujemny, więc równanie $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. To spostrzeżenie kończy dowód.
Uwaga. Można również zauważyć, że dla każdej wartości $m$ rozwiązaniem równania $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ jest 2: $2^{2} - (m + 3) \cdot 2 + 2 (m + 1) = 4 - 2 m - 6 + 2 m + 2 = 0$ . Stąd dla każdej wartości $m$ równanie $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Ćwiczenie 34

Wykaż, że dla każdej dodatniej wartości całkowitej $k$ równanie $x^{2} - 7 kx + 10 k^{2} = 0$ ma dwa różne rozwiązania całkowite.

sposób $I$

Wyróżnik trójmianu $x^{2} - 7 kx + 10 k^{2}$ jest równy $Δ = {(- 7 k)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 k^{2} = 9 k^{2}$ . Ponieważ $k$ jest dodatnią liczbą całkowitą, więc $Δ > 0$ i równanie ma dwa rozwiązania
$x_{1} = \frac{7 k - \sqrt{9 k^{2}}}{2} = \frac{7 k - 3 k}{2} = 2 k$ oraz $x_{2} = \frac{7 k + \sqrt{9 k^{2}}}{2} = \frac{7 k + 3 k}{2} = 5 k$ .
Każde z nich jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

sposób $II$

Przekształcamy dane równanie

x^{2} - 5 kx - 2 kx + 10 k^{2} = 0

x (x - 5 k) - 2 k (x - 5 k) = 0

(x - 5 k) (x - 2 k) = 0,

stąd $x = 2 k$ lub $x = 5 k$ . Ponieważ $k$ jest dodatnią liczbą całkowitą, więc liczby $2 k$ i $5 k$ są całkowite i różne.
To spostrzeżenie kończy dowód.

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Nierówność kwadratowa

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania kwadratowego