Równanie kwadratowe

W tym materiale zawarte są informacje na temat równań kwadratowych. Przypomnisz sobie w jaki sposób rozwiązujemy tego typu równania. Poznasz twierdzenie dotyczące liczby rozwiązań równania kwadratowego.

Przykład 1

W prostokącie o polu równym $56$ jeden z boków jest o $10$ dłuższy od drugiego.

Obliczymy obwód tego prostokąta.

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość krótszego boku tego prostokąta przez $x$ , gdzie $x > 0$ . Wtedy drugi bok tego prostokąta ma długość $x + 10$ , a pole tego prostokąta jest równe $x (x + 10)$ .

Wiadomo, że pole tego prostokąta jest równe $56$ . Otrzymujemy więc równanie

x (x + 10) = 56

Przekształcamy to równanie równoważnie

x^{2} + 10 x = 56

x^{2} + 10 x - 56 = 0

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 10 x - 56$ .

Obliczamy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego $Δ = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56) = 324$ .

Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{- 10 - 18}{2} = - 14

oraz

x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{- 10 + 18}{2} = 4

Warunki zadania spełnia jedynie liczba $x = 4$ .

Długość drugiego boku tego prostokąta jest równa $x + 10 = 14$ , a obwód prostokąta jest równy $2 \cdot (4 + 14) = 36$ .

Uwaga:

Można od razu zauważyć, że $4 \cdot (4 + 10) = 56$ , wobec tego liczba $4$ jest rozwiązaniem równania $x (x + 10) = 56$ .

Jest to więc miejsce zerowe funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 10 x - 56$ .

Wzór tej funkcji można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x - 4$ :

f (x) = x^{2} + 10 x - 56 = x^{2} - 4 x + 14 x - 56 =

= x (x - 4) + 14 (x - 4) = (x - 4) (x + 14)

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $8$ , a jedna z przyprostokątnych jest o $2$ krótsza od drugiej. Wykażemy, że pole tego trójkąta jest równe $15$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta przez $x$ , gdzie $x > 0$ . Wtedy druga przyprostokątna ma długość $x + 2$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie

x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 8^{2}

Przekształcamy to równanie równoważnie

x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 = 64

2 x^{2} + 4 x - 60 = 0

x^{2} + 2 x - 30 = 0

Szukamy zatem dodatnich miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 2 x - 30$ .

Obliczamy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego $Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30) = 124$ .

Ponieważ $Δ > 0$ , więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{124}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{31}}{2} = - 1 - \sqrt{31}

oraz

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{124}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 + 2 \sqrt{31}}{2} = - 1 + \sqrt{31}

Warunki zadania spełnia jedynie $x = \sqrt{31} - 1$ .

Wobec tego przyprostokątne tego trójkąta mają długości $\sqrt{31} - 1$ oraz $\sqrt{31} + 1$ , a jego pole jest równe $\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{31} - 1) \cdot (\sqrt{31} + 1) = \frac{1}{2} \cdot ({\sqrt{31}}^{2} - 1^{2}) = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$ , co należało wykazać.

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne punktów, w których prosta o równaniu $y = 2 x + 9$ przecina parabolę o równaniu $y = x^{2} + 1$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ współrzędne szukanych punktów przecięcia spełniają każde z równań $y = 2 x + 9$ oraz $y = x^{2} + 1$ , więc $x^{2} + 1 = 2 x + 9$ , stąd $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = x^{2} - 2 x - 8$ .

Obliczamy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego. $Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 36$

Funkcja ta ma więc dwa miejsca zerowe

$x_{1} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2$

oraz

$x_{2} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ .

Gdy $x = - 2$ , to $y = 2 (- 2) + 9 = 5$ , a gdy $x = 4$ , to $y = 2 \cdot 4 + 9 = 17$ .

Wobec tego prosta o równaniu $y = 2 x + 9$ przecina parabolę o równaniu $y = x^{2} + 1$ w dwóch punktach: jeden ma współrzędne $(- 2, 5)$ , a drugi ma współrzędne $(4, 17)$ .

Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania kwadratowego

W przykładach rozwiązanie zadania sprowadzało się do znalezienia rozwiązań równania z niewiadomą $x$ , które przekształcaliśmy do postaci

a x^{2} + b x + c = 0

gdzie $a \neq 0$ .

Każde równanie takiego typu nazywamy równaniem kwadratowym z niewiadomą $x$ .

Ponieważ rozwiązania takiego równania to miejsca zerowe funkcji $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , więc korzystając z omówionych wcześniej własności funkcji kwadratowej możemy podać algorytm pozwalający ustalić istnienie i liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości wyróżnika $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe

a x^{2} + b x + c = 0

nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ < 0$ ,
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ = 0$ ,
ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $Δ > 0$ .

Warto pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie zawsze wskazane jest automatyczne stosowanie powyższych wzorów. Bardzo przydatne jest na przykład spostrzeżenie, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy zero.

Pokażemy na kilku przykładach, jak można rozwiązać równanie kwadratowe.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie.

$(2 x + 1) (5 x - 3) = 0$
Można przekształcić to równanie do postaci $10 x^{2} - x - 3 = 0$ i wyznaczyć jego rozwiązania za pomocą wzorów, ale jest to zupełnie niepotrzebne. Wystarczy przecież zauważyć, że $(2 x + 1) (5 x - 3) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2 x + 1 = 0$ lub $5 x - 3 = 0$ , stąd $x = - \frac{1}{2}$ lub $x = \frac{3}{5}$ .
$x^{2} + 16 = 0$
Zauważamy, że lewa strona równania jest sumą liczby nieujemnej $x^{2}$ oraz liczby $16$ , a więc jest dodatnia. Zatem równanie $x^{2} + 16 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
${(4 x + 7)}^{2} = 1 1^{2}$
Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania, przekształcimy równanie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów
${(4 x + 7)}^{2} = 1 1^{2}$
${(4 x + 7)}^{2} - 1 1^{2} = 0$
$(4 x + 7 - 11) (4 x + 7 + 11) = 0$
$(4 x - 4) (4 x + 18) = 0$
stąd $x = 1$ lub $x = - \frac{9}{2}$ .
$6 x^{2} = 19 x$
Przekształcając to równanie do postaci $x (6 x - 19) = 0$ , stwierdzamy, że ma ono dwa rozwiązania $0$ i $\frac{19}{6}$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie

$x^{2} + 10 x - 11 = 0$ .

Rozwiązanie:

sposób $I$ :

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zapisanego po lewej stronie równania: $Δ = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11) = 144$ .

Ponieważ $Δ > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_{1} = \frac{- 10 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = - 11$ oraz $x_{2} = \frac{- 10 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = 1$ .

sposób $II$ :

Można zauważyć, że $1$ jest rozwiązaniem danego równania, gdyż $1^{2} + 10 \cdot 1 - 11 = 0$ .

Zatem trójmian $x^{2} + 10 x - 11$ możemy zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x - 1$ :

$x^{2} + 10 x - 11 = x^{2} - x + 11 x - 11 = x (x - 1) + 11 (x - 1) = (x - 1) (x + 11)$ .

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 1$ oraz $x_{2} = - 11$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie

$2 x^{2} + 9 x + 7 = 0$ .

Rozwiązanie:

sposób $I$ :

Obliczamy wyróżnik trójmianu $2 x^{2} + 9 x + 7$

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25

Ponieważ $Δ > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_{1} = \frac{- 9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = - \frac{7}{2}$ oraz $x_{2} = \frac{- 9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = - 1$ .

sposób $II$ :

Zauważmy, że $(- 1)$ jest rozwiązaniem równania $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$ .

Wobec tego trójmian $2 x^{2} + 9 x + 7$ można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x + 1$ :

2 x^{2} + 9 x + 7 = 2 x^{2} + 2 x + 7 x + 7 = 2 x (x + 1) + 7 (x + 1) = (2 x + 7) (x + 1)

Zatem równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = - 1$ oraz $x_{2} = - \frac{7}{2}$ .

Przykład 7

Rozwiążemy równanie

$3 x^{2} + 4 x + 5 = 345$ .

Rozwiązanie:

sposób $I$ :

Przekształcamy równanie do postaci $3 x^{2} + 4 x - 340 = 0$ .

Następnie obliczamy wyróżnik trójmianu $3 x^{2} + 4 x - 340$ :

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 340) = 4096

Ponieważ $Δ > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{4096}}{2 \cdot 3} = - \frac{34}{3}$ oraz $x_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{4096}}{2 \cdot 3} = 10$ .

sposób $II$ :

Zauważamy, że $10$ jest rozwiązaniem równania $3 \cdot 1 0^{2} + 4 \cdot 10 + 5 = 345$ .

Zatem trójmian $3 x^{2} + 4 x - 340$ można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest $x - 10$ :

3 x^{2} + 4 x - 340 = 3 x^{2} - 30 x + 34 x - 340 =

= 3 x (x - 10) + 34 (x - 10) = (3 x + 34) (x - 10)

Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 10$ oraz $x_{2} = - \frac{34}{3}$ .

Przykład 8

Rozwiążemy równanie

$25 x^{2} - 90 x + 81 = 0$ .

sposób $I$ :

Obliczamy wyróżnik trójmianu $25 x^{2} - 90 x + 81$

Δ = {(- 90)}^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 81 = 0

Ponieważ $Δ = 0$ , więc równanie ma jedno rozwiązanie

x_{0} = \frac{90}{2 \cdot 25} = \frac{9}{5}

sposób $II$ :

Zauważmy, że trójmian $25 x^{2} - 90 x + 81$ można przekształcić do postaci ${(5 x)}^{2} - 2 \cdot 5 x \cdot 9 + 9^{2} = {(5 x - 9)}^{2}$ .

Zatem równanie ma jedno rozwiązanie $x_{0} = \frac{9}{5}$ .

Przykład 9

Wykażemy, że równanie $3 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $3 x^{2} - 4 x + 2$

Δ = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = - 8 < 0

Oznacza to, że równanie $3 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Przykład 10

Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $2 x^{2} + 3 x - 4$

Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 41

Rozwiązaniami danego równania są więc

$x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{41}}{4}$ oraz $x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{41}}{4}$ .

Ponieważ $\sqrt{41}$ nie jest liczbą wymierną, więc żadna z liczb $x_{1}$ , $x_{2}$ nie jest liczbą wymierną.

Wobec tego żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $2 x^{2} + 3 x - 4 = 0$ .

Uwaga:

Ponieważ liczba $\sqrt{41}$ jest niewymierna, więc każdy z pierwiastków danego równania jest liczbą niewymierną.

Przykład 11

Ustalimy liczbę rozwiązań równania $x^{2} - 2 x + c = 0$ w zależności od wartości współczynnika $c$ .

Wyróżnik trójmianu $x^{2} - 2 x + c$ jest równy $Δ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 4 - 4 c$ . Zatem dane równanie:

ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $4 - 4 c > 0$ , czyli dla $c < 1$ ,
ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $4 - 4 c = 0$ , czyli dla $c = 1$ ,
nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy $4 - 4 c < 0$ , czyli dla $c > 1$ .

Uwaga:

Można też równanie przekształcić następująco

x^{2} - 2 x = - c

x^{2} - 2 x + 1 = - c + 1

{(x - 1)}^{2} = 1 - c

Wystarczy teraz zauważyć, że lewa strona otrzymanego równania jest nieujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań, gdy $1 - c < 0$ , czyli gdy $c > 1$ .

Jeśli natomiast $c = 1$ , to otrzymujemy równanie ${(x - 1)}^{2} = 0$ , które ma jedno rozwiązanie, $x = 1$ .

Pozostaje wyznaczyć rozwiązania równania, gdy $c < 1$ . Wtedy jego lewa strona jest dodatnia, więc równanie można zapisać w postaci

{(x - 1)}^{2} = {(\sqrt{1 - c})}^{2}

stąd

{(x - 1)}^{2} - {(\sqrt{1 - c})}^{2} = 0

(x - 1 - \sqrt{1 - c}) (x - 1 + \sqrt{1 - c}) = 0

Zatem, gdy $c < 1$ , równanie ma dwa rozwiązania $x_{1} = 1 + \sqrt{1 - c}$ oraz $x_{2} = 1 - \sqrt{1 - c}$ .

Rd79ybzFblmuX11

Ćwiczenie 1

Równanie $(x - 2) (x + 3) = 0$ ma dwa rozwiązania $2$ oraz $- 3$ .
Oba rozwiązania równania $(2 x + 1) (3 x + 7) = 0$ są liczbami dodatnimi.
Żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $(3 x + 5) (4 - 2 x) = 0$ .
Równanie $x (x - 1) = 0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R5XVyPYNzfwW811

Ćwiczenie 2

$x_{1} x_{2} = - 14$
$x_{1} + x_{2} = - 5$
${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 62$
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{5}{14}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1PBexNrsLYT811

Ćwiczenie 3

$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 2$
$2 x_{1} + 3 x_{2} = 1$
$x_{2} = 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IKCXN3eTZXi11

Ćwiczenie 4

Równanie ${(3 x - 1)}^{2} = 1$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Równanie ${(2 x + 5)}^{2} + 3 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Równanie $4 x^{2} = x$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
Równanie $2 x^{2} = 16 x - 32$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SqegxFyeMSB11

Ćwiczenie 5

$x_{1} + x_{2} = 8$
$x_{1} x_{2} = 5$
$x_{1} < 0$
$x_{2} > 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1O9jJGqDNXgM11

Ćwiczenie 6

Każde z rozwiązań równania $6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ należy do przedziału $(0, 1)$ .
Żadna liczba ujemna nie jest rozwiązaniem równania $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .
Jedno z rozwiązań równania $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ należy do przedziału $(- 4, - 3)$ .
Jednym z rozwiązań równania $2 x^{2} - x - 10 = 0$ jest liczba całkowita.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15FqnbEu5bRw11

Ćwiczenie 7

$- 1$
$1$
$2$
$4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RjXHRXQxOj3b811

Ćwiczenie 8

$7$
$3$
$- 3$
$- 12$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1M41nwqtcxA311

Ćwiczenie 9

ma cztery rozwiązania
ma dwa rozwiązania
ma jedno rozwiązanie
nie ma rozwiązań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rhb3GuQqCe46D11

Ćwiczenie 10

$0$ oraz $- \frac{9}{2}$
$5$ oraz $- \frac{9}{2}$
$0$ oraz $5$
$5$ oraz $- 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKU0O5MTMsetk11

Ćwiczenie 11

$100$
$148$
$196$
$576$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1arOFJ8meL8b21

Ćwiczenie 12

$x^{2} + 5 x + 2 = 0$
$- 5 x^{2} - 2 = 0$
$x^{2} - 2 x - 5 = 0$
$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WzLHQtvOOE121

Ćwiczenie 13

$- 5$
$- 1$
$4$
$7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwG4EGwp0EAwU21

Ćwiczenie 14

$\frac{1}{10}$
$- \frac{10}{3}$
$3$
$- 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNvsDfNn0hXrV2

Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie. 1.

(x + 5) (x - 6) = 0

=

x = \frac{1}{3}

lub

x = 4

, 2.

x = - 5

lub

x = 6

, 3.

x = 4

lub

x = - \frac{11}{9}

, 4.

x = \frac{3}{2}

lub

x = - \frac{7}{3}

, 5.

x = \frac{1}{4}

lub

x = 2

, 6.

x = 5

lub

x = 6

, 7.

x = 6

lub

x = - \frac{11}{7}

, 8.

x = \frac{5}{2}

lub

x = - \frac{5}{3}

(2 x - 3) (3 x + 7) = 0

=

x = \frac{1}{3}

lub

x = 4

, 2.

x = - 5

lub

x = 6

, 3.

x = 4

lub

x = - \frac{11}{9}

, 4.

x = \frac{3}{2}

lub

x = - \frac{7}{3}

, 5.

x = \frac{1}{4}

lub

x = 2

, 6.

x = 5

lub

x = 6

, 7.

x = 6

lub

x = - \frac{11}{7}

, 8.

x = \frac{5}{2}

lub

x = - \frac{5}{3}

(4 x - 1) (2 - x) = 0

=

x = \frac{1}{3}

lub

x = 4

, 2.

x = - 5

lub

x = 6

, 3.

x = 4

lub

x = - \frac{11}{9}

, 4.

x = \frac{3}{2}

lub

x = - \frac{7}{3}

, 5.

x = \frac{1}{4}

lub

x = 2

, 6.

x = 5

lub

x = 6

, 7.

x = 6

lub

x = - \frac{11}{7}

, 8.

x = \frac{5}{2}

lub

x = - \frac{5}{3}

(8 - 2 x) (9 x + 11) = 0

=

x = \frac{1}{3}

lub

x = 4

, 2.

x = - 5

lub

x = 6

, 3.

x = 4

lub

x = - \frac{11}{9}

, 4.

x = \frac{3}{2}

lub

x = - \frac{7}{3}

, 5.

x = \frac{1}{4}

lub

x = 2

, 6.

x = 5

lub

x = 6

, 7.

x = 6

lub

x = - \frac{11}{7}

, 8.

x = \frac{5}{2}

lub

x = - \frac{5}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1RRWMDeZMHbk2

Ćwiczenie 16

Rozwiąż równanie. 1.

3 x^{2} - 108 = 0

=

x = - 5

lub

x = 5

, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{7}{3}

, 4.

x = \frac{7}{4}

lub

x = - \frac{7}{4}

, 5.

x = - 6

lub

x = 6

, 6.

x = \frac{7}{2}

lub

x = -, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 7

x^{2} + 2 = 0

=

x = - 5

lub

x = 5

, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{7}{3}

, 4.

x = \frac{7}{4}

lub

x = - \frac{7}{4}

, 5.

x = - 6

lub

x = 6

, 6.

x = \frac{7}{2}

lub

x = -, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 7

- 4 x^{2} + 49 = 0

=

x = - 5

lub

x = 5

, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{7}{3}

, 4.

x = \frac{7}{4}

lub

x = - \frac{7}{4}

, 5.

x = - 6

lub

x = 6

, 6.

x = \frac{7}{2}

lub

x = -, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 7

- 2 x^{2} - 50 = 0

=

x = - 5

lub

x = 5

, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{7}{3}

, 4.

x = \frac{7}{4}

lub

x = - \frac{7}{4}

, 5.

x = - 6

lub

x = 6

, 6.

x = \frac{7}{2}

lub

x = -, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rdienepz33S1I2

Ćwiczenie 17

Rozwiąż równanie. 1.

x^{2} - 4 x + 4 = 0

=

x = 4

, 2.

x = 2

, 3.

x = 0

lub

x = \frac{4}{3}

, 4.

x = - \frac{2}{5}

, 5.

x = 0

lub

x = 4

, 6.

x = 0

lub

x = 2

, 7.

x = - \frac{2}{3}

, 8.

x = 1

lub

x = \frac{6}{3}

x^{2} - 4 x = 0

=

x = 4

, 2.

x = 2

, 3.

x = 0

lub

x = \frac{4}{3}

, 4.

x = - \frac{2}{5}

, 5.

x = 0

lub

x = 4

, 6.

x = 0

lub

x = 2

, 7.

x = - \frac{2}{3}

, 8.

x = 1

lub

x = \frac{6}{3}

9 x^{2} + 12 x + 4 = 0

=

x = 4

, 2.

x = 2

, 3.

x = 0

lub

x = \frac{4}{3}

, 4.

x = - \frac{2}{5}

, 5.

x = 0

lub

x = 4

, 6.

x = 0

lub

x = 2

, 7.

x = - \frac{2}{3}

, 8.

x = 1

lub

x = \frac{6}{3}

12 x - 9 x^{2} = 0

=

x = 4

, 2.

x = 2

, 3.

x = 0

lub

x = \frac{4}{3}

, 4.

x = - \frac{2}{5}

, 5.

x = 0

lub

x = 4

, 6.

x = 0

lub

x = 2

, 7.

x = - \frac{2}{3}

, 8.

x = 1

lub

x = \frac{6}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoVzsthGrojJm2

Ćwiczenie 18

Rozwiąż równanie. 1.

x^{2} + 2 x - 35 = 0

, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2.

x = - 6

lub

x = \frac{7}{2}

, 3.

x = - 1

lub

x = \frac{15}{4}

, 4.

x = - 4

lub

x = \frac{7}{3}

, 5.

x = - 3

lub

x = \frac{13}{6}

, 6.

x = - 5

lub

x = 7

, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 5

x^{2} + 6 x + 11 = 0

, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2.

x = - 6

lub

x = \frac{7}{2}

, 3.

x = - 1

lub

x = \frac{15}{4}

, 4.

x = - 4

lub

x = \frac{7}{3}

, 5.

x = - 3

lub

x = \frac{13}{6}

, 6.

x = - 5

lub

x = 7

, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 5

4 x^{2} - 11 x - 15 = 0

, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2.

x = - 6

lub

x = \frac{7}{2}

, 3.

x = - 1

lub

x = \frac{15}{4}

, 4.

x = - 4

lub

x = \frac{7}{3}

, 5.

x = - 3

lub

x = \frac{13}{6}

, 6.

x = - 5

lub

x = 7

, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 5

3 x^{2} + 5 x - 28 = 0

, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2.

x = - 6

lub

x = \frac{7}{2}

, 3.

x = - 1

lub

x = \frac{15}{4}

, 4.

x = - 4

lub

x = \frac{7}{3}

, 5.

x = - 3

lub

x = \frac{13}{6}

, 6.

x = - 5

lub

x = 7

, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8.

x = - 7

lub

x = 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfW8nbd0l30ch2

Ćwiczenie 19

Rozwiąż równanie. 1.

x^{2} + 4 x + 7 = 0

, zatem 1.

x = 5 - 2 \sqrt{3}

lub

x = 5 + 3 \sqrt{2}

, 2.

x = - \sqrt{3} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{3} - \sqrt{2}

, 3.

x = 3 - 2 \sqrt{2}

lub

x = 3 + 2 \sqrt{2}

, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6.

x = 4 + \sqrt{7}

lub

x = 4 - \sqrt{7}

, 7.

x = - \sqrt{5} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{5} - \sqrt{2}

, 8.

x = 6 + \sqrt{7}

lub

x = 6 - \sqrt{7}

x^{2} - 6 x + 1 = 0

, zatem 1.

x = 5 - 2 \sqrt{3}

lub

x = 5 + 3 \sqrt{2}

, 2.

x = - \sqrt{3} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{3} - \sqrt{2}

, 3.

x = 3 - 2 \sqrt{2}

lub

x = 3 + 2 \sqrt{2}

, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6.

x = 4 + \sqrt{7}

lub

x = 4 - \sqrt{7}

, 7.

x = - \sqrt{5} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{5} - \sqrt{2}

, 8.

x = 6 + \sqrt{7}

lub

x = 6 - \sqrt{7}

x^{2} - 8 x + 9 = 0

, zatem 1.

x = 5 - 2 \sqrt{3}

lub

x = 5 + 3 \sqrt{2}

, 2.

x = - \sqrt{3} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{3} - \sqrt{2}

, 3.

x = 3 - 2 \sqrt{2}

lub

x = 3 + 2 \sqrt{2}

, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6.

x = 4 + \sqrt{7}

lub

x = 4 - \sqrt{7}

, 7.

x = - \sqrt{5} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{5} - \sqrt{2}

, 8.

x = 6 + \sqrt{7}

lub

x = 6 - \sqrt{7}

x^{2} + 2 \sqrt{5} x + 3 = 0

, zatem 1.

x = 5 - 2 \sqrt{3}

lub

x = 5 + 3 \sqrt{2}

, 2.

x = - \sqrt{3} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{3} - \sqrt{2}

, 3.

x = 3 - 2 \sqrt{2}

lub

x = 3 + 2 \sqrt{2}

, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6.

x = 4 + \sqrt{7}

lub

x = 4 - \sqrt{7}

, 7.

x = - \sqrt{5} + \sqrt{2}

lub

x = - \sqrt{5} - \sqrt{2}

, 8.

x = 6 + \sqrt{7}

lub

x = 6 - \sqrt{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNqn6C9gdQSko2

Ćwiczenie 20

Rozwiąż równanie. 1.

2 x^{2} + 15 x = 17

, więc 1.

x = 12

lub

x = - \frac{35}{6}

, 2.

x = 5

lub

x = 8

, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{3}{2}

, 4.

x = \frac{9}{2}

lub

x = \frac{3}{4}

, 5.

x = 10

lub

x = - \frac{37}{3}

, 6.

x = 3

lub

x = - \frac{15}{2}

, 7.

x = 5

lub

x = 8

, 8.

x = 1

lub

x = - \frac{17}{2}

3 x^{2} + 7 x = 370

, więc 1.

x = 12

lub

x = - \frac{35}{6}

, 2.

x = 5

lub

x = 8

, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{3}{2}

, 4.

x = \frac{9}{2}

lub

x = \frac{3}{4}

, 5.

x = 10

lub

x = - \frac{37}{3}

, 6.

x = 3

lub

x = - \frac{15}{2}

, 7.

x = 5

lub

x = 8

, 8.

x = 1

lub

x = - \frac{17}{2}

{(x - 5)}^{2} = 3 x - 15

, więc 1.

x = 12

lub

x = - \frac{35}{6}

, 2.

x = 5

lub

x = 8

, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{3}{2}

, 4.

x = \frac{9}{2}

lub

x = \frac{3}{4}

, 5.

x = 10

lub

x = - \frac{37}{3}

, 6.

x = 3

lub

x = - \frac{15}{2}

, 7.

x = 5

lub

x = 8

, 8.

x = 1

lub

x = - \frac{17}{2}

{(2 x - 7)}^{2} = 28 - 8 x

, więc 1.

x = 12

lub

x = - \frac{35}{6}

, 2.

x = 5

lub

x = 8

, 3.

x = \frac{7}{2}

lub

x = \frac{3}{2}

, 4.

x = \frac{9}{2}

lub

x = \frac{3}{4}

, 5.

x = 10

lub

x = - \frac{37}{3}

, 6.

x = 3

lub

x = - \frac{15}{2}

, 7.

x = 5

lub

x = 8

, 8.

x = 1

lub

x = - \frac{17}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1I7xtMDZAAwX2

Ćwiczenie 21

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RL8so6Vcocmyk2

Ćwiczenie 22

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcyFtbRwUKw1g2

Ćwiczenie 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rxh7JCrWOhCQ42

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9LaNRjkO8rSp3

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Bvi04zoAY1O3

Ćwiczenie 26

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkFFaGA3pi2z93

Ćwiczenie 27

W prostokącie

A

jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Gdyby skrócić krótszy bok tego prostokąta o

1

i jednocześnie przedłużyć dłuższy bok o

2

, to otrzymalibyśmy prostokąt

B

o polu równym

16

. Wyznacz wymiary prostokąta

A

, następnie przeciągnij i upuść liczby w kolejności rosnącej tak, aby zdanie było prawdziwe. Prostokąt ma wymiary 1.

4

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

6

, 5.

2

, 6.

7

i 1.

4

, 2.

3

, 3.

5

, 4.

6

, 5.

2

, 6.

7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QY9aiMAj7UC3

Ćwiczenie 28

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 29

R1PHdbmSpkg1D

Każdy z dwóch prostokątów ma przekątną długości

25

. Krótszy bok pierwszego prostokąta jest o

8

dłuższy od krótszego boku drugiego prostokąta, a dłuższy bok pierwszego prostokąta jest o

4

krótszy od dłuższego boku drugiego prostokąta. Oblicz wymiary każdego z tych prostokątów i uzupełnij je, zaczynając zawsze od mniejszego wymiaru tak, aby zdanie było prawdziwe. Pierwszy prostokąt ma wymiary Tu uzupełnij i Tu uzupełnij, a drugi Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

$x$ – długość krótszego boku pierwszego prostokąta,

$y$ – długość dłuższego boku pierwszego prostokąta.

Wtedy boki drugiego prostokąta mają długości $x - 8$ oraz $y + 4$ .

Ponieważ w każdym z tych prostokątów przekątna ma długość $25$ , to

$x^{2} + y^{2} = 2 5^{2}$ i ${(x - 8)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 2 5^{2}$ .

Przekształcamy drugie równanie do postaci $x^{2} - 16 x + 64 + y^{2} + 8 y + 16 = 2 5^{2}$ .

Ponieważ $x^{2} + y^{2} = 2 5^{2}$ , więc $- 16 x + 8 y + 80 = 0$ , stąd $y = 2 x - 10$ .

Zatem $x^{2} + {(2 x - 10)}^{2} = 2 5^{2}$ .

Rozwiązujemy otrzymane równanie

x^{2} + 4 x^{2} - 40 x + 100 = 625

5 x^{2} - 40 x - 525 = 0

x^{2} - 8 x - 105 = 0

Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^{2} - 8 x - 105$ :

$Δ = {(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 105) = 484 > 0$ .

Wobec tego otrzymane równanie ma dwa rozwiązania

$x_{1} = \frac{8 - \sqrt{484}}{2} = - 7$ oraz $x_{2} = \frac{8 + \sqrt{484}}{2} = 15$ .

Zauważamy, że $x_{1}$ jest sprzeczne z warunkami zadania.

Gdy $x = 15$ , to $y = 2 \cdot 15 - 10 = 20$ .

Wtedy długości boków drugiego prostokąta to $x - 8 = 7$ oraz $y + 4 = 24$ .

R9p3nacnVlLmR3

Ćwiczenie 30

Wyznacz wszystkie wartości

b

, dla których liczba

b

jest rozwiązaniem równania

x^{2} - (b + 2) x + 10 = 0

. Dla otrzymanej wartości

b

wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania, a następnie wstaw je do zdania w kolejności rosnącej tak, aby zdanie było prawdziwe. Dla

b =

3

, 2.

2

, 3.

1

, 4.

x^{2} - 5 x + 12 = 0

, 5.

5

, 6.

x^{2} - 9 x + 16 = 0

, 7.

3

, 8.

4

, 9.

x^{2} - 7 x + 10 = 0

, 10.

1

, 11.

5

, 12.

4

. Wtedy otrzymujemy równanie 1.

3

, 2.

2

, 3.

1

, 4.

x^{2} - 5 x + 12 = 0

, 5.

5

, 6.

x^{2} - 9 x + 16 = 0

, 7.

3

, 8.

4

, 9.

x^{2} - 7 x + 10 = 0

, 10.

1

, 11.

5

, 12.

4

, którego rozwiązaniami są 1.

3

, 2.

2

, 3.

1

, 4.

x^{2} - 5 x + 12 = 0

, 5.

5

, 6.

x^{2} - 9 x + 16 = 0

, 7.

3

, 8.

4

, 9.

x^{2} - 7 x + 10 = 0

, 10.

1

, 11.

5

, 12.

4

oraz 1.

3

, 2.

2

, 3.

1

, 4.

x^{2} - 5 x + 12 = 0

, 5.

5

, 6.

x^{2} - 9 x + 16 = 0

, 7.

3

, 8.

4

, 9.

x^{2} - 7 x + 10 = 0

, 10.

1

, 11.

5

, 12.

4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 31

Wyznacz wszystkie wartości $c$ , dla których liczba $c$ jest rozwiązaniem równania $x^{2} - 10 x + 3 c = 0$ . Dla otrzymanej wartości $c$ wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

RdDeS0ct5Zwsm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstaw zamiast $x$ liczbę $c$ , a następnie rozwiąż takie równanie. Otrzymane wyniki to wartości $c$ , dla których liczba $c$ jest rozwiązaniem równania. Następnie podstaw otrzymane liczby do równania i wyznacz rozwiązania tych równań.

Dla $c = 7$ (wtedy otrzymujemy równanie $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ , którego rozwiązaniami są $3$ oraz $7$ ) lub $c = 0$ (wówczas otrzymujemy równanie $x^{2} - 10 x = 0$ , którego rozwiązaniami są $0$ oraz $10$ ).

Ćwiczenie 32

Wyznacz wszystkie dodatnie wartości $b$ , dla których równanie $x^{2} + 2 b x + b = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla otrzymanej wartości $b$ wyznacz to rozwiązanie.

RlmzbZgt5d9Hr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Żeby równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie, to jego wyróżnik musi być równy $0$ . Wykorzystaj wzór na wyróżnik, aby wyznaczyć parametr $b$ .

Dla $b = 1$ . Wtedy otrzymujemy równanie $x^{2} + 2 x + 1 = 0$ , którego jedynym rozwiązaniem jest $(- 1)$ .

Ćwiczenie 33

Wykaż, że dla każdej wartości $m$ równanie $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

R1b2gbWfcIIEZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyróżnik trójmianu $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1)$ jest równy $Δ = {(- (m + 3))}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 (m + 1)$ , skąd $Δ = m^{2} - 2 m + 1$ , a zatem $Δ = {(m - 1)}^{2}$ .

Wobec tego dla każdej wartości $m$ wyróżnik ten jest nieujemny, więc równanie $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. To spostrzeżenie kończy dowód.

Uwaga:

Można również zauważyć, że dla każdej wartości $m$ rozwiązaniem równania $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ jest $2$ :

$2^{2} - (m + 3) \cdot 2 + 2 (m + 1) = 4 - 2 m - 6 + 2 m + 2 = 0$ .

Stąd dla każdej wartości $m$ równanie $x^{2} - (m + 3) x + 2 (m + 1) = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Ćwiczenie 34

Wykaż, że dla każdej dodatniej wartości całkowitej $k$ równanie $x^{2} - 7 k x + 10 k^{2} = 0$ ma dwa różne rozwiązania całkowite.

R11TzKuzYph0C

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$ :

Wyróżnik trójmianu $x^{2} - 7 k x + 10 k^{2}$ jest równy $Δ = {(- 7 k)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 k^{2} = 9 k^{2}$ .

Ponieważ $k$ jest dodatnią liczbą całkowitą, więc $Δ > 0$ i równanie ma dwa rozwiązania

$x_{1} = \frac{7 k - \sqrt{9 k^{2}}}{2} = \frac{7 k - 3 k}{2} = 2 k$ oraz $x_{2} = \frac{7 k + \sqrt{9 k^{2}}}{2} = \frac{7 k + 3 k}{2} = 5 k$ .

Każde z nich jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.

sposób $II$ :

Przekształcamy dane równanie

x^{2} - 5 k x - 2 k x + 10 k^{2} = 0

x (x - 5 k) - 2 k (x - 5 k) = 0

(x - 5 k) (x - 2 k) = 0

stąd $x = 2 k$ lub $x = 5 k$ .

Ponieważ $k$ jest dodatnią liczbą całkowitą, więc liczby $2 k$ i $5 k$ są całkowite i różne.

To spostrzeżenie kończy dowód.