Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tym materiale zawarte są informacje na temat równań kwadratowych. Przypomnisz sobie w jaki sposób rozwiązujemy tego typu równania. Poznasz twierdzenie dotyczące liczby rozwiązań równania kwadratowego.

Przykład 1

W prostokącie o polu równym 56 jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego.

Obliczymy obwód tego prostokąta.

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość krótszego boku tego prostokąta przez x, gdzie x>0. Wtedy drugi bok tego prostokąta ma długość x+10, a pole tego prostokąta jest równe xx+10.

Wiadomo, że pole tego prostokąta jest równe 56. Otrzymujemy więc równanie

xx+10=56.

Przekształcamy to równanie równoważnie

x2+10x=56,
x2+10x-56=0.

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej fx=x2+10x-56.

Obliczamy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego Δ=102-41-56=324.

Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x1=-10-32421=-10-182=-14

oraz

x2=-10+32421=-10+182=4.

Warunki zadania spełnia jedynie liczba x=4.

Długość drugiego boku tego prostokąta jest równa x+10=14, a obwód prostokąta jest równy 24+14=36.

Uwaga:

Można od razu zauważyć, że 44+10=56, wobec tego liczba 4 jest rozwiązaniem równania xx+10=56.

Jest to więc miejsce zerowe funkcji kwadratowej fx=x2+10x-56.

Wzór tej funkcji można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x-4:

fx=x2+10x-56=x2-4x+14x-56=
=xx-4+14x-4=x-4x+14.
Przykład 2

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 8, a jedna z przyprostokątnych jest o 2 krótsza od drugiej. Wykażemy, że pole tego trójkąta jest równe 15.

Rozwiązanie:

Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie x>0. Wtedy druga przyprostokątna ma długość x+2.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie

x2+x+22=82.

Przekształcamy to równanie równoważnie

x2+x2+4x+4=64,
2x2+4x-60=0,
x2+2x-30=0.

Szukamy zatem dodatnich miejsc zerowych funkcji kwadratowej fx=x2+2x-30.

Obliczamy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowegoΔ=22-41-30=124.

Ponieważ Δ>0, więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x1=-2-12421=-2-2312=-1-31

oraz

x2=-2+12421=-2+2312=-1+31.

Warunki zadania spełnia jedynie x=31-1.

Wobec tego przyprostokątne tego trójkąta mają długości 31-1 oraz 31+1, a jego pole jest równe 1231-131+1=12312-12=1230=15, co należało wykazać.

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne punktów, w których prosta o równaniu y=2x+9 przecina parabolę o równaniu y=x2+1.

Rozwiązanie:

Ponieważ współrzędne szukanych punktów przecięcia spełniają każde z równań y=2x+9 oraz y=x2+1, więc x2+1=2x+9, stąd x2-2x-8=0.

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej y=x2-2x-8.

Obliczamy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego. Δ=-22-41-8=36

Funkcja ta ma więc dwa miejsca zerowe

x1=2-3621=2-62=-2

oraz

x2=2+3621=2+62=4.

Gdy x=-2, to y=2-2+9=5, a gdy x=4, to y=24+9=17.

Wobec tego prosta o równaniu y=2x+9 przecina parabolę o równaniu y=x2+1 w dwóch punktach: jeden ma współrzędne -2,5, a drugi ma współrzędne 4,17.

Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania kwadratowego

W przykładach rozwiązanie zadania sprowadzało się do znalezienia rozwiązań równania z niewiadomą x, które przekształcaliśmy do postaci

ax2+bx+c=0,

gdzie a0.

Każde równanie takiego typu nazywamy równaniem kwadratowym z niewiadomą x.

Ponieważ rozwiązania takiego równania to miejsca zerowe funkcji fx=ax2+bx+c, więc korzystając z omówionych wcześniej własności funkcji kwadratowej możemy podać algorytm pozwalający ustalić istnienie i liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości wyróżnika Δ=b2-4ac.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego
Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe

ax2+bx+c=0
  • nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ<0,

  • ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste x0=-b2a wtedy i tylko wtedy, gdy Δ=0,

  • ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste x1=-b-Δ2a oraz x2=-b+Δ2a wtedy i tylko wtedy, gdy Δ>0.

Warto pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie zawsze wskazane jest automatyczne stosowanie powyższych wzorów. Bardzo przydatne jest na przykład spostrzeżenie, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy zero.

Pokażemy na kilku przykładach, jak można rozwiązać równanie kwadratowe.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie.

  1. 2x+15x-3=0 
    Można przekształcić to równanie do postaci 10x2-x-3=0 i wyznaczyć jego rozwiązania za pomocą wzorów, ale jest to zupełnie niepotrzebne. Wystarczy przecież zauważyć, że 2x+15x-3=0 wtedy i tylko wtedy, gdy 2x+1=0 lub 5x-3=0, stąd x=-12 lub x=35.

  2. x2+16=0 
    Zauważamy, że lewa strona równania jest sumą liczby nieujemnej x2 oraz liczby 16, a więc jest dodatnia. Zatem równanie x2+16=0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

  3. 4x+72=112 
    Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania, przekształcimy równanie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów
    4x+72=112
    4x+72-112=0
    4x+7-114x+7+11=0

    4x-44x+18=0
    stąd x=1 lub x=-92.

  4. 6x2=19x 
    Przekształcając to równanie do postaci x6x-19=0, stwierdzamy, że ma ono dwa rozwiązania 0196.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie

x2+10x-11=0.

Rozwiązanie:

  • sposób I:

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zapisanego po lewej stronie równania: Δ=102-41-11=144.

Ponieważ Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania

x1=-10-14421=-11 oraz x2=-10+14421=1.

  • sposób II:

Można zauważyć, że 1 jest rozwiązaniem danego równania, gdyż 12+101-11=0.

Zatem trójmian x2+10x-11 możemy zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x-1:

x2+10x-11=x2-x+11x-11=xx-1+11x-1=x-1x+11.

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania x1=1 oraz x2=-11.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie

2x2+9x+7=0.

Rozwiązanie:

  • sposób I:

Obliczamy wyróżnik trójmianu 2x2+9x+7

Δ=92-427=25.

Ponieważ Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania

x1=-9-2522=-72 oraz x2=-9+2522=-1.

  • sposób II:

Zauważmy, że -1 jest rozwiązaniem równania 2-12+9-1+7=2-9+7=0.

Wobec tego trójmian 2x2+9x+7 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x+1:

2x2+9x+7=2x2+2x+7x+7=2xx+1+7x+1=2x+7x+1.

Zatem równanie ma dwa rozwiązania x1=-1 oraz x2=-72.

Przykład 7

Rozwiążemy równanie

3x2+4x+5=345.

Rozwiązanie:

  • sposób I:

Przekształcamy równanie do postaci 3x2+4x-340=0.

Następnie obliczamy wyróżnik trójmianu 3x2+4x-340:

Δ=42-43-340=4096.

Ponieważ Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania

x1=-4-409623=-343 oraz x2=-4+409623=10.

  • sposób II:

Zauważamy, że 10 jest rozwiązaniem równania 3102+410+5=345.

Zatem trójmian 3x2+4x-340 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x-10:

3x2+4x-340=3x2-30x+34x-340=
=3xx-10+34x-10=3x+34x-10.

Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania x1=10 oraz x2=-343.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie

25x2-90x+81=0.

  • sposób I:

Obliczamy wyróżnik trójmianu 25x2-90x+81

Δ=-902-42581=0.

Ponieważ Δ=0, więc równanie ma jedno rozwiązanie

x0=90225=95.
  • sposób II:

Zauważmy, że trójmian 25x2-90x+81 można przekształcić do postaci 5x2-25x9+92=5x-92.

Zatem równanie ma jedno rozwiązanie x0=95.

Przykład 9

Wykażemy, że równanie 3x2-4x+2=0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3x2-4x+2

Δ=-42-432=16-24=-8<0.

Oznacza to, że równanie 3x2-4x+2=0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Przykład 10

Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2+3x-4=0.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2x2+3x-4

Δ=32-42-4=41.

Rozwiązaniami danego równania są więc

x1=-3-414 oraz x2=-3+414.

Ponieważ 41 nie jest liczbą wymierną, więc żadna z liczb x1, x2 nie jest liczbą wymierną.

Wobec tego żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2+3x-4=0.

Uwaga:

Ponieważ liczba 41 jest niewymierna, więc każdy z pierwiastków danego równania jest liczbą niewymierną.

Przykład 11

Ustalimy liczbę rozwiązań równania x2-2x+c=0 w zależności od wartości współczynnika c.

Wyróżnik trójmianu x2-2x+c jest równy Δ=-22-41c=4-4c. Zatem dane równanie:

  • ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy 4-4c>0, czyli dla c<1,

  • ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy 4-4c=0, czyli dla c=1,

  • nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy 4-4c<0, czyli dla c>1.

Uwaga:

Można też równanie przekształcić następująco

x2-2x=-c,
x2-2x+1=-c+1,
x-12=1-c.

Wystarczy teraz zauważyć, że lewa strona otrzymanego równania jest nieujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań, gdy 1-c<0, czyli gdy c>1.

Jeśli natomiast c=1, to otrzymujemy równanie x-12=0, które ma jedno rozwiązanie, x=1.

Pozostaje wyznaczyć rozwiązania równania, gdy c<1. Wtedy jego lewa strona jest dodatnia, więc równanie można zapisać w postaci

x-12=1-c2,

stąd

x-12-1-c2=0,
x-1-1-cx-1+1-c=0.

Zatem, gdy c<1, równanie ma dwa rozwiązania x1=1+1-c oraz x2=1-1-c.

Rd79ybzFblmuX11
Ćwiczenie 1
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie x - 2 x + 3 = 0 ma dwa rozwiązania 2 oraz -3., 2. Oba rozwiązania równania 2 x + 1 3 x + 7 = 0 są liczbami dodatnimi., 3. Żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 3 x + 5 4 - 2 x = 0 ., 4. Równanie x x - 1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste.
R5XVyPYNzfwW811
Ćwiczenie 2
Liczby x1x2 są rozwiązaniami równania -3x+2x-7=0. Zaznacz, co to oznacza. Możliwe odpowiedzi: 1. x 1 x 2 = - 14 , 2. x 1 + x 2 = - 5 , 3. x12+x22=62, 4. 1 x 1 + 1 x 2 = - 5 14
R1PBexNrsLYT811
Ćwiczenie 3
Liczby x1x2 są rozwiązaniami równania 2x+5x-1=2x+53-xx1<x2. Możliwe odpowiedzi: 1. x 1 = - 3 , 2. x 2 = 2 , 3. 2 x 1 + 3 x 2 = 1 , 4. x 2 = 5
R1IKCXN3eTZXi11
Ćwiczenie 4
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Równanie 3 x - 1 2 = 1 ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste., 2. Równanie 2 x + 5 2 + 3 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych., 3. Równanie 4 x 2 = x ma dwa rozwiązania rzeczywiste., 4. Równanie 2 x 2 = 16 x - 32 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
R1SqegxFyeMSB11
Ćwiczenie 5
Liczby x1x2 są rozwiązaniami równania x2-8x+5=0x1<x2. Zaznacz, co to oznacza. Możliwe odpowiedzi: 1. x 1 + x 2 = 8 , 2. x 1 x 2 = 5 , 3. x 1 < 0 , 4. x 2 > 7
R1O9jJGqDNXgM11
Ćwiczenie 6
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każde z rozwiązań równania 6 x 2 - 5 x + 1 = 0 należy do przedziału 0,1., 2. Żadna liczba ujemna nie jest rozwiązaniem równania x 2 - 4 x - 1 = 0 ., 3. Jedno z rozwiązań danego równania x 2 + 2 x - 5 = 0 należy do przedziału -4,-3., 4. Jednym z rozwiązań równania 2 x 2 - x - 10 = 0 jest liczba całkowita.
R15FqnbEu5bRw11
Ćwiczenie 7
Zaznacz poprawne zakończenie zdania. Większą z dwóch liczb spełniających równanie -2x+1x+4=0 jest: Możliwe odpowiedzi: 1. - 1 , 2. 1 , 3. 2 , 4. 4
RjXHRXQxOj3b811
Ćwiczenie 8
Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 4x-2x+5=0. Zaznacz, ile jest równa suma x1+x2. Możliwe odpowiedzi: 1. 7 , 2. 3 , 3. - 3 , 4. - 12
R1M41nwqtcxA311
Ćwiczenie 9
Równanie -x+32=-22: Możliwe odpowiedzi: 1. ma cztery rozwiązania, 2. ma dwa rozwiązania, 3. ma jedno rozwiązanie, 4. nie ma rozwiązań
Rhb3GuQqCe46D11
Ćwiczenie 10
Rozwiązaniami równania x-52x+9=x5-x są liczby: Możliwe odpowiedzi: 1. 0 oraz - 9 2 , 2. 5 oraz - 9 2 , 3. 0 oraz 5 , 4. 5 oraz - 3
RKU0O5MTMsetk11
Ćwiczenie 11
Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania x2+10x-24=0. Zaznacz, ile jest równa suma x12+x22. Możliwe odpowiedzi: 1. 100 , 2. 148 , 3. 196 , 4. 576
R1arOFJ8meL8b21
Ćwiczenie 12
Wskaż równanie, które nie ma rozwiązań rzeczywistych. Możliwe odpowiedzi: 1. x 2 + 5 x + 2 = 0 , 2. 5x2+7x-2=0, 3. x 2 - 2 x - 5 = 0 , 4. x 2 - 2 x + 5 = 0
R1WzLHQtvOOE121
Ćwiczenie 13
Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 5x2+4x-1=0x1<x2. Oblicz 3x1+10x2. Możliwe odpowiedzi: 1. - 5 , 2. - 1 , 3. 4 , 4. 7
RwG4EGwp0EAwU21
Ćwiczenie 14
Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania 10x2+3x-1=0. Zaznacz, ile jest równa suma 1x1+1x2. Możliwe odpowiedzi: 1. 1 10 , 2. - 10 3 , 3. 3 , 4. - 1
RNvsDfNn0hXrV2
Ćwiczenie 15
Rozwiąż równanie. 1. x+5x-6=0 = 1. x=13 lub x=4, 2. x=-5 lub x=6, 3. x=4 lub x=-119, 4. x=32 lub x=-73, 5. x=14 lub x=2, 6. x=5 lub x=6, 7. x=6 lub x=-117, 8. x=52 lub x=-53
2. 2x-33x+7=0 = 1. x=13 lub x=4, 2. x=-5 lub x=6, 3. x=4 lub x=-119, 4. x=32 lub x=-73, 5. x=14 lub x=2, 6. x=5 lub x=6, 7. x=6 lub x=-117, 8. x=52 lub x=-53
3. 4x-12-x=0 = 1. x=13 lub x=4, 2. x=-5 lub x=6, 3. x=4 lub x=-119, 4. x=32 lub x=-73, 5. x=14 lub x=2, 6. x=5 lub x=6, 7. x=6 lub x=-117, 8. x=52 lub x=-53
4. 8-2x9x+11=0 = 1. x=13 lub x=4, 2. x=-5 lub x=6, 3. x=4 lub x=-119, 4. x=32 lub x=-73, 5. x=14 lub x=2, 6. x=5 lub x=6, 7. x=6 lub x=-117, 8. x=52 lub x=-53
R1RRWMDeZMHbk2
Ćwiczenie 16
Rozwiąż równanie. 1. 3x2-108=0 = 1. x=-5 lub x=5, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3. x=72 lub x=73, 4. x=74 lub x=-74, 5. x=-6 lub x=6, 6. x=72 lub x=-, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=7
2. x2+2=0 = 1. x=-5 lub x=5, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3. x=72 lub x=73, 4. x=74 lub x=-74, 5. x=-6 lub x=6, 6. x=72 lub x=-, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=7
3. -4x2+49=0 = 1. x=-5 lub x=5, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3. x=72 lub x=73, 4. x=74 lub x=-74, 5. x=-6 lub x=6, 6. x=72 lub x=-, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=7
4. -2x2-50=0 = 1. x=-5 lub x=5, 2. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 3. x=72 lub x=73, 4. x=74 lub x=-74, 5. x=-6 lub x=6, 6. x=72 lub x=-, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=7
Rdienepz33S1I2
Ćwiczenie 17
Rozwiąż równanie. 1. x2-4x+4=0 = 1. x=4, 2. x=2, 3. x=0 lub x=43, 4. x=-25, 5. x=0 lub x=4, 6. x=0 lub x=2, 7. x=-23, 8. x=1 lub x=63
2. x2-4x=0 = 1. x=4, 2. x=2, 3. x=0 lub x=43, 4. x=-25, 5. x=0 lub x=4, 6. x=0 lub x=2, 7. x=-23, 8. x=1 lub x=63
3. 9x2+12x+4=0 = 1. x=4, 2. x=2, 3. x=0 lub x=43, 4. x=-25, 5. x=0 lub x=4, 6. x=0 lub x=2, 7. x=-23, 8. x=1 lub x=63
4. 12x-9x2=0 = 1. x=4, 2. x=2, 3. x=0 lub x=43, 4. x=-25, 5. x=0 lub x=4, 6. x=0 lub x=2, 7. x=-23, 8. x=1 lub x=63
RoVzsthGrojJm2
Ćwiczenie 18
Rozwiąż równanie. 1. x2+2x-35=0, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2. x=-6 lub x=72, 3. x=-1 lub x=154, 4. x=-4 lub x=73, 5. x=-3 lub x=136, 6. x=-5 lub x=7, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=5
2. x2+6x+11=0, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2. x=-6 lub x=72, 3. x=-1 lub x=154, 4. x=-4 lub x=73, 5. x=-3 lub x=136, 6. x=-5 lub x=7, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=5
3. 4x2-11x-15=0, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2. x=-6 lub x=72, 3. x=-1 lub x=154, 4. x=-4 lub x=73, 5. x=-3 lub x=136, 6. x=-5 lub x=7, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=5
4. 3x2+5x-28=0, zatem 1. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 2. x=-6 lub x=72, 3. x=-1 lub x=154, 4. x=-4 lub x=73, 5. x=-3 lub x=136, 6. x=-5 lub x=7, 7. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 8. x=-7 lub x=5
RfW8nbd0l30ch2
Ćwiczenie 19
Rozwiąż równanie. 1. x2+4x+7=0, zatem 1. x=5-23 lub x=5+32, 2. x=-3+2 lub x=-3-2, 3. x=3-22 lub x=3+22, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6. x=4+7 lub x=4-7, 7. x=-5+2 lub x=-5-2, 8. x=6+7 lub x=6-7
2. x2-6x+1=0, zatem 1. x=5-23 lub x=5+32, 2. x=-3+2 lub x=-3-2, 3. x=3-22 lub x=3+22, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6. x=4+7 lub x=4-7, 7. x=-5+2 lub x=-5-2, 8. x=6+7 lub x=6-7
3. x2-8x+9=0, zatem 1. x=5-23 lub x=5+32, 2. x=-3+2 lub x=-3-2, 3. x=3-22 lub x=3+22, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6. x=4+7 lub x=4-7, 7. x=-5+2 lub x=-5-2, 8. x=6+7 lub x=6-7
4. x2+25x+3=0, zatem 1. x=5-23 lub x=5+32, 2. x=-3+2 lub x=-3-2, 3. x=3-22 lub x=3+22, 4. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 5. równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, 6. x=4+7 lub x=4-7, 7. x=-5+2 lub x=-5-2, 8. x=6+7 lub x=6-7
RNqn6C9gdQSko2
Ćwiczenie 20
Rozwiąż równanie. 1. 2x2+15x=17, więc 1. x=12 lub x=-356, 2. x=5 lub x=8, 3. x=72 lub x=32, 4. x=92 lub x=34, 5. x=10 lub x=-373, 6. x=3 lub x=-152, 7. x=5 lub x=8, 8. x=1 lub x=-172
2. 3x2+7x=370, więc 1. x=12 lub x=-356, 2. x=5 lub x=8, 3. x=72 lub x=32, 4. x=92 lub x=34, 5. x=10 lub x=-373, 6. x=3 lub x=-152, 7. x=5 lub x=8, 8. x=1 lub x=-172
3. x-52=3x-15, więc 1. x=12 lub x=-356, 2. x=5 lub x=8, 3. x=72 lub x=32, 4. x=92 lub x=34, 5. x=10 lub x=-373, 6. x=3 lub x=-152, 7. x=5 lub x=8, 8. x=1 lub x=-172
4. 2x-72=28-8x, więc 1. x=12 lub x=-356, 2. x=5 lub x=8, 3. x=72 lub x=32, 4. x=92 lub x=34, 5. x=10 lub x=-373, 6. x=3 lub x=-152, 7. x=5 lub x=8, 8. x=1 lub x=-172
R1I7xtMDZAAwX2
Ćwiczenie 21
Kwadrat liczby x jest 8 razy większy od liczby x-2. Oblicz x. x wynosi 1. x=8, 2. x=4, 3. x=6, 4. x=2.
RL8so6Vcocmyk2
Ćwiczenie 22
Jeżeli dodatnią liczbę x pomnożymy przez liczbę o 5 większą od połowy liczby x, to w wyniku otrzymamy 168. Jaka to liczba? Ta liczba to 1. x=12, 2. x=16, 3. x=14, 4. x=18.
RcyFtbRwUKw1g2
Ćwiczenie 23
Dwie ujemne liczby całkowite różnią się o 5, a suma ich kwadratów jest równa 193. Znajdź te liczby, następnie przeciągnij i upuść liczby w kolejności rosnącej tak, aby zdanie było prawdziwe, Te liczby to 1. -7, 2. -9, 3. -14, 4. -5, 5. -10, 6. -12 oraz 1. -7, 2. -9, 3. -14, 4. -5, 5. -10, 6. -12.
Rxh7JCrWOhCQ42
Ćwiczenie 24
Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych dodatnich jest równa 245. Znajdź te liczby, następnie przeciągnij i upuść liczby w kolejności rosnącej tak, aby zdanie było prawdziwe. Te liczby to 1. 5, 2. 8, 3. 9, 4. 10, 5. 11, 6. 12, 7. 7, 8. 6, 9. 13, 1. 5, 2. 8, 3. 9, 4. 10, 5. 11, 6. 12, 7. 7, 8. 6, 9. 13 oraz 1. 5, 2. 8, 3. 9, 4. 10, 5. 11, 6. 12, 7. 7, 8. 6, 9. 13.
R9LaNRjkO8rSp3
Ćwiczenie 25
Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej o równaniu y=x+2 oraz paraboli o równaniu y=2x2+x. Przeciągnij i upuść punkty tak, aby zdanie było prawdziwe. Zacznij od punktu, który ma większy argument. Współrzędne punktów to 1. 1,2, 2. 2,3, 3. -2,1, 4. -2,2, 5. -1,1, 6. 1,3 oraz 1. 1,2, 2. 2,3, 3. -2,1, 4. -2,2, 5. -1,1, 6. 1,3.
R1Bvi04zoAY1O3
Ćwiczenie 26
Wyznacz wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji fx=x2-3x oraz gx=2x2-4. Przeciągnij i upuść punkty tak, aby zdanie było prawdziwe. Zacznij od punktu, który ma większy argument. Punktami wspólnymi są 1. -8,24, 2. 2,-2, 3. 1,-4, 4. 1,-2, 5. -4,28, 6. -6,26 oraz 1. -8,24, 2. 2,-2, 3. 1,-4, 4. 1,-2, 5. -4,28, 6. -6,26.
RkFFaGA3pi2z93
Ćwiczenie 27
W prostokącie A jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Gdyby skrócić krótszy bok tego prostokąta o 1 i jednocześnie przedłużyć dłuższy bok o 2, to otrzymalibyśmy prostokąt B o polu równym 16. Wyznacz wymiary prostokąta A , następnie przeciągnij i upuść liczby w kolejności rosnącej tak, aby zdanie było prawdziwe. Prostokąt ma wymiary 1. 4, 2. 3, 3. 5, 4. 6, 5. 2, 6. 7 i 1. 4, 2. 3, 3. 5, 4. 6, 5. 2, 6. 7.
R1QY9aiMAj7UC3
Ćwiczenie 28
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 17, a jedna z przyprostokątnych jest o 7 dłuższa od drugiej. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta. Uzupełnij zdanie wpisując liczby rosnąco tak, aby było ono prawdziwe. Długości przyprostokątnych wynoszą Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
3
Ćwiczenie 29
R1PHdbmSpkg1D
Każdy z dwóch prostokątów ma przekątną długości 25. Krótszy bok pierwszego prostokąta jest o 8 dłuższy od krótszego boku drugiego prostokąta, a dłuższy bok pierwszego prostokąta jest o 4 krótszy od dłuższego boku drugiego prostokąta. Oblicz wymiary każdego z tych prostokątów i uzupełnij je, zaczynając zawsze od mniejszego wymiaru tak, aby zdanie było prawdziwe. Pierwszy prostokąt ma wymiary Tu uzupełnij i Tu uzupełnij, a drugi Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.
R9p3nacnVlLmR3
Ćwiczenie 30
Wyznacz wszystkie wartości b, dla których liczba b jest rozwiązaniem równania x2-b+2x+10=0. Dla otrzymanej wartości b wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania, a następnie wstaw je do zdania w kolejności rosnącej tak, aby zdanie było prawdziwe. Dla b=1. 3, 2. 2, 3. 1, 4. x2-5x+12=0, 5. 5, 6. x2-9x+16=0, 7. 3, 8. 4, 9. x2-7x+10=0, 10. 1, 11. 5, 12. 4. Wtedy otrzymujemy równanie 1. 3, 2. 2, 3. 1, 4. x2-5x+12=0, 5. 5, 6. x2-9x+16=0, 7. 3, 8. 4, 9. x2-7x+10=0, 10. 1, 11. 5, 12. 4, którego rozwiązaniami są 1. 3, 2. 2, 3. 1, 4. x2-5x+12=0, 5. 5, 6. x2-9x+16=0, 7. 3, 8. 4, 9. x2-7x+10=0, 10. 1, 11. 5, 12. 4 oraz 1. 3, 2. 2, 3. 1, 4. x2-5x+12=0, 5. 5, 6. x2-9x+16=0, 7. 3, 8. 4, 9. x2-7x+10=0, 10. 1, 11. 5, 12. 4.
3
Ćwiczenie 31

Wyznacz wszystkie wartości c, dla których liczba c jest rozwiązaniem równania x2-10x+3c=0. Dla otrzymanej wartości c wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

RtZQl60OGuYqo
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 32

Wyznacz wszystkie dodatnie wartości b, dla których równanie x2+2bx+b=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla otrzymanej wartości b wyznacz to rozwiązanie.

RRKBvNoOimNLQ
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 33

Wykaż, że dla każdej wartości m równanie x2-m+3x+2m+1=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

RUp8fa4sMo60D
(Uzupełnij).
3
Ćwiczenie 34

Wykaż, że dla każdej dodatniej wartości całkowitej k równanie x2-7kx+10k2=0 ma dwa różne rozwiązania całkowite.

R14tLfubTtqua
(Uzupełnij).
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida