W tym materiale zawarte są informacje na temat równań kwadratowych. Przypomnisz sobie w jaki sposób rozwiązujemy tego typu równania. Poznasz twierdzenie dotyczące liczby rozwiązań równania kwadratowego.
Przykład 1
W prostokącie o polu równym jeden z boków jest o dłuższy od drugiego.
Obliczymy obwód tego prostokąta.
Rozwiązanie:
Oznaczmy długość krótszego boku tego prostokąta przez , gdzie . Wtedy drugi bok tego prostokąta ma długość , a pole tego prostokąta jest równe .
Wiadomo, że pole tego prostokąta jest równe . Otrzymujemy więc równanie
.
Przekształcamy to równanie równoważnie
,
.
Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej .
Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe
oraz
.
Warunki zadania spełnia jedynie liczba .
Długość drugiego boku tego prostokąta jest równa , a obwód prostokąta jest równy .
Uwaga:
Można od razu zauważyć, że , wobec tego liczba jest rozwiązaniem równania .
Jest to więc miejsce zerowe funkcji kwadratowej .
Wzór tej funkcji można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest :
.
Przykład 2
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość , a jedna z przyprostokątnych jest o krótsza od drugiej. Wykażemy, że pole tego trójkąta jest równe .
Rozwiązanie:
Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta przez , gdzie . Wtedy druga przyprostokątna ma długość .
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie
.
Przekształcamy to równanie równoważnie
,
,
.
Szukamy zatem dodatnich miejsc zerowych funkcji kwadratowej .
Wobec tego prosta o równaniu przecina parabolę o równaniu w dwóch punktach: jeden ma współrzędne , a drugi ma współrzędne .
Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania kwadratowego
W przykładach rozwiązanie zadania sprowadzało się do znalezienia rozwiązań równania z niewiadomą , które przekształcaliśmy do postaci
,
gdzie .
Każde równanie takiego typu nazywamy równaniem kwadratowym z niewiadomą .
Ponieważ rozwiązania takiego równania to miejsca zerowe funkcji , więc korzystając z omówionych wcześniej własności funkcji kwadratowej możemy podać algorytm pozwalający ustalić istnienie i liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości wyróżnika .
Liczba rozwiązań równania kwadratowego
Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego
Równanie kwadratowe
nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy ,
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy ,
ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste oraz wtedy i tylko wtedy, gdy .
Warto pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie zawsze wskazane jest automatyczne stosowanie powyższych wzorów. Bardzo przydatne jest na przykład spostrzeżenie, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy zero.
Pokażemy na kilku przykładach, jak można rozwiązać równanie kwadratowe.
Przykład 4
Rozwiążemy równanie.
Można przekształcić to równanie do postaci i wyznaczyć jego rozwiązania za pomocą wzorów, ale jest to zupełnie niepotrzebne. Wystarczy przecież zauważyć, że wtedy i tylko wtedy, gdy lub , stąd lub .
Zauważamy, że lewa strona równania jest sumą liczby nieujemnej oraz liczby , a więc jest dodatnia. Zatem równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania, przekształcimy równanie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów
stąd lub .
Przekształcając to równanie do postaci , stwierdzamy, że ma ono dwa rozwiązania i .
Przykład 5
Rozwiążemy równanie
.
Rozwiązanie:
sposób :
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zapisanego po lewej stronie równania: .
Ponieważ , więc równanie ma dwa rozwiązania
oraz .
sposób :
Można zauważyć, że jest rozwiązaniem danego równania, gdyż .
Zatem trójmian możemy zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest :
.
Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania oraz .
Przykład 6
Rozwiążemy równanie
.
Rozwiązanie:
sposób :
Obliczamy wyróżnik trójmianu
.
Ponieważ , więc równanie ma dwa rozwiązania
oraz .
sposób :
Zauważmy, że jest rozwiązaniem równania .
Wobec tego trójmian można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest :
.
Zatem równanie ma dwa rozwiązania oraz .
Przykład 7
Rozwiążemy równanie
.
Rozwiązanie:
sposób :
Przekształcamy równanie do postaci .
Następnie obliczamy wyróżnik trójmianu :
.
Ponieważ , więc równanie ma dwa rozwiązania
oraz .
sposób :
Zauważamy, że jest rozwiązaniem równania .
Zatem trójmian można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest :
.
Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania oraz .
Przykład 8
Rozwiążemy równanie
.
sposób :
Obliczamy wyróżnik trójmianu
.
Ponieważ , więc równanie ma jedno rozwiązanie
.
sposób :
Zauważmy, że trójmian można przekształcić do postaci .
Zatem równanie ma jedno rozwiązanie .
Przykład 9
Wykażemy, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego
.
Oznacza to, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Przykład 10
Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania .
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego
.
Rozwiązaniami danego równania są więc
oraz .
Ponieważ nie jest liczbą wymierną, więc żadna z liczb , nie jest liczbą wymierną.
Wobec tego żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania .
Uwaga:
Ponieważ liczba jest niewymierna, więc każdy z pierwiastków danego równania jest liczbą niewymierną.
Przykład 11
Ustalimy liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości współczynnika .
Wyróżnik trójmianu jest równy . Zatem dane równanie:
ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli dla ,
ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli dla ,
nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli dla .
Uwaga:
Można też równanie przekształcić następująco
,
,
.
Wystarczy teraz zauważyć, że lewa strona otrzymanego równania jest nieujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań, gdy , czyli gdy .
Jeśli natomiast , to otrzymujemy równanie , które ma jedno rozwiązanie, .
Pozostaje wyznaczyć rozwiązania równania, gdy . Wtedy jego lewa strona jest dodatnia, więc równanie można zapisać w postaci
,
stąd
,
.
Zatem, gdy , równanie ma dwa rozwiązania oraz .
Rd79ybzFblmuX11
Ćwiczenie 1
R5XVyPYNzfwW811
Ćwiczenie 2
R1PBexNrsLYT811
Ćwiczenie 3
R1IKCXN3eTZXi11
Ćwiczenie 4
R1SqegxFyeMSB11
Ćwiczenie 5
R1O9jJGqDNXgM11
Ćwiczenie 6
R15FqnbEu5bRw11
Ćwiczenie 7
RjXHRXQxOj3b811
Ćwiczenie 8
R1M41nwqtcxA311
Ćwiczenie 9
Rhb3GuQqCe46D11
Ćwiczenie 10
RKU0O5MTMsetk11
Ćwiczenie 11
R1arOFJ8meL8b21
Ćwiczenie 12
R1WzLHQtvOOE121
Ćwiczenie 13
RwG4EGwp0EAwU21
Ćwiczenie 14
RNvsDfNn0hXrV2
Ćwiczenie 15
R1RRWMDeZMHbk2
Ćwiczenie 16
Rdienepz33S1I2
Ćwiczenie 17
RoVzsthGrojJm2
Ćwiczenie 18
RfW8nbd0l30ch2
Ćwiczenie 19
RNqn6C9gdQSko2
Ćwiczenie 20
R1I7xtMDZAAwX2
Ćwiczenie 21
RL8so6Vcocmyk2
Ćwiczenie 22
RcyFtbRwUKw1g2
Ćwiczenie 23
Rxh7JCrWOhCQ42
Ćwiczenie 24
R9LaNRjkO8rSp3
Ćwiczenie 25
R1Bvi04zoAY1O3
Ćwiczenie 26
RkFFaGA3pi2z93
Ćwiczenie 27
R1QY9aiMAj7UC3
Ćwiczenie 28
3
Ćwiczenie 29
R1PHdbmSpkg1D
Oznaczmy:
– długość krótszego boku pierwszego prostokąta,
– długość dłuższego boku pierwszego prostokąta.
Wtedy boki drugiego prostokąta mają długości oraz .
Ponieważ w każdym z tych prostokątów przekątna ma długość , to
i .
Przekształcamy drugie równanie do postaci .
Ponieważ , więc , stąd .
Zatem .
Rozwiązujemy otrzymane równanie
,
,
.
Obliczamy wyróżnik trójmianu :
.
Wobec tego otrzymane równanie ma dwa rozwiązania
oraz .
Zauważamy, że jest sprzeczne z warunkami zadania.
Gdy , to .
Wtedy długości boków drugiego prostokąta to oraz .
R9p3nacnVlLmR3
Ćwiczenie 30
3
Ćwiczenie 31
Wyznacz wszystkie wartości , dla których liczba jest rozwiązaniem równania . Dla otrzymanej wartości wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.
RdDeS0ct5Zwsm
Podstaw zamiast liczbę , a następnie rozwiąż takie równanie. Otrzymane wyniki to wartości , dla których liczba jest rozwiązaniem równania. Następnie podstaw otrzymane liczby do równania i wyznacz rozwiązania tych równań.
Dla (wtedy otrzymujemy równanie , którego rozwiązaniami są oraz ) lub (wówczas otrzymujemy równanie , którego rozwiązaniami są oraz ).
3
Ćwiczenie 32
Wyznacz wszystkie dodatnie wartości , dla których równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla otrzymanej wartości wyznacz to rozwiązanie.
RlmzbZgt5d9Hr
Żeby równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie, to jego wyróżnik musi być równy . Wykorzystaj wzór na wyróżnik, aby wyznaczyć parametr .
Dla . Wtedy otrzymujemy równanie , którego jedynym rozwiązaniem jest .
3
Ćwiczenie 33
Wykaż, że dla każdej wartości równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
R1b2gbWfcIIEZ
Wykaż, że wyróżnik tego równania jest nieujemny.
Wyróżnik trójmianu jest równy , skąd , a zatem .
Wobec tego dla każdej wartości wyróżnik ten jest nieujemny, więc równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. To spostrzeżenie kończy dowód.
Uwaga:
Można również zauważyć, że dla każdej wartości rozwiązaniem równania jest :
.
Stąd dla każdej wartości równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
3
Ćwiczenie 34
Wykaż, że dla każdej dodatniej wartości całkowitej równanie ma dwa różne rozwiązania całkowite.
R11TzKuzYph0C
Najpierw wykaż, że wyróżnik tego równania jest dodatni, a następnie że otrzymane rozwiązania są różne od siebie.
sposób :
Wyróżnik trójmianu jest równy .
Ponieważ jest dodatnią liczbą całkowitą, więc i równanie ma dwa rozwiązania
oraz .
Każde z nich jest liczbą całkowitą. Koniec dowodu.
sposób :
Przekształcamy dane równanie
,
,
,
stąd lub .
Ponieważ jest dodatnią liczbą całkowitą, więc liczby i są całkowite i różne.