Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania.
Materiał zawiera podstawowe pojęcia związane z równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Są tu też zamieszczone przykłady rozwiązywania równań i określania ich rodzaju, ze względu na liczbę rozwiązań. Zdobytą wiedzę zastosujesz, określając rozwiązania równań zamieszczonych w ćwiczeniach.
Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.
W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych.
Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R13zxxg5iQsY9
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy sprawdzić czy równanie zachodzi dla danego x.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RcqT4IDsgcMcU
Animacja pokazuje w jaki sposób możemy rozwiązać równanie liniowe.
Wszystkie rozważane w tym materiale równania to równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.
Liczbę, która spełnia dane równanie, nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1U07r7eyjAm4
Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.
Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że:
do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R14PQGRw7Pb5i
Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1ABvdhmyZ8pg
Animacja przedstawia jak za pomocą równania możemy opisać pewną sytuację zachodzącą na wadze szalkowej, która znajduje się w równowadze.
Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: , przenosimy z przeciwnym znakiem:
na lewą stronę równania
na prawą stronę równania
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba .
Równanie z jedną niewiadomą
Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.
Rozwiąż równania
Rozwiązanie: .
Rozwiązanie: .
Rozwiązanie: brak rozwiązania.
Znajdź pierwiastek równania.
Pierwiastek równania to .
Pierwiastek równania to .
Równania, które nie mają rozwiązania:
, .
Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:
, .
Równanie, które nie ma rozwiązania, nazywamy równaniem sprzecznym.
Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, nazywamy równaniem tożsamościowym.
Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:
nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.
Połącz równanie z jego rozwiązaniem.
<span aria-label="z, równa się, trzy z, minus, cztery" role="math"><math><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden" role="math"><math><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="trzy x, plus, dwa, równa się, pięć" role="math"><math><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="dwa y, równa się, y, minus, jeden" role="math"><math><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="dwa x, równa się, minus, cztery" role="math"><math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="z, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka" role="math"><math><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math></span>, <span aria-label="x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero" role="math"><math><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>
Przeciągnij elementy z dolnej sekcji do górnej.
2x−1=2x+1, 0∙x=13, −2(4−x)=2x−8,, −x+4=−x, <span aria-label="zero, razy, z, równa się, zero" role="math"><math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>, x+3=3, <span aria-label="pięć, razy, x, równa się, minus, pięć" role="math"><math><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="x indeks górny, trzy, równa się, minus, sześćdziesiąt cztery" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>64</mn></math></span>, <span aria-label="x indeks górny, dwa, równa się, minus, szesnaście" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>16</mn></math></span>, x=x, 2x+3=3+2x, <span aria-label="x indeks górny, dwa, równa się, zero" role="math"><math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>
Brak rozwiązań | |
---|---|
Jedno rozwiązanie | |
Nieskończenie wiele rozwiązań |
- Równanie ma dwa rozwiązania.
- Równanie jest równaniem sprzecznym.
- Równanie jest równaniem sprzecznym.
- Równanie jest równaniem sprzecznym.
- Równanie ma jedno rozwiązanie.
- Równanie jest równaniem tożsamościowym.
- Równanie jest równaniem sprzecznym.
- Równanie jest równaniem tożsamościowym.
- Równanie jest równaniem sprzecznym.
- Równanie jest równaniem tożsamościowym.
Przeciągnij w luki takie liczby tak, aby dana liczba była rozwiązaniem równania. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 1. , 2. , 3. , 4. , 5. ,
Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij i upuść.
x, -x, 9x, -2x, -3x, 6x
6x= ............ +1
4x+ ............ = x+
−4x+ ............ =−5x−5
2(x−3)=x+ ............
3( ............ −4)=−6x
2x−(6-7x)=2+ ............
Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było tożsamościowe? Przeciągnij i upuść.
7x, 5x, −4x, 2x, x
3x=7x+ ............
12x−5x= ............
4(x− ............ )=3x
−x+6x−8= ............ −1−7
−5( ............ x)=−3x+x
Uzasadnij, że równanie nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?