Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. - Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania.

Materiał zawiera podstawowe pojęcia związane z równaniami pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Są tu też zamieszczone przykłady rozwiązywania równań i określania ich rodzaju, ze względu na liczbę rozwiązań. Zdobytą wiedzę zastosujesz, określając rozwiązania równań zamieszczonych w ćwiczeniach.

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb w miejsce liter i wykonaniu wskazanych działań.

W przypadku równań także można podstawiać liczby w miejsce niewiadomych.

Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład 1

R13zxxg5iQsY9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

RcqT4IDsgcMcU1

Wszystkie rozważane w tym materiale równania to równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Liczba spełniająca dane równanie

Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania

Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie, nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład 3

R1U07r7eyjAm4

Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. W tym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając o tym, że:

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład 4

R14PQGRw7Pb5i

Przykład 5

R1ABvdhmyZ8pg

Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia z przeciwnym znakiem na drugą stronę równania.

Np. aby rozwiązać równanie: $2 x - 5 = x + 1$ , przenosimy z przeciwnym znakiem:

$x$ na lewą stronę równania

2 x - x - 5 = 1

$(- 5)$ na prawą stronę równania

2 x - x = 1 + 5

x = 6

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba $6$ .

Równanie z jedną niewiadomą

Równania z jedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania

Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład 6

Rozwiąż równania

$x + 4 = 0$
Rozwiązanie: $x = - 4$ .
$x + 4 = 4$
Rozwiązanie: $x = 0$ .
$x + 4 = x - 4$
Rozwiązanie: brak rozwiązania.

Przykład 7

Znajdź pierwiastek równania.

$2 a + 3 = 7$
Pierwiastek równania to $a = 2$ .
$x - 9 = 0$
Pierwiastek równania to $x = 9$ .

Przykład 8

Równania, które nie mają rozwiązania:

$x + 2 = x$ , $2 x - 5 = 2 x + 1$ .

Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

$2 x - 2 x + 2 x = 2 x$ , $0 \cdot x = 0$ .

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania, nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe

Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą może:

nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

RbCjq5zHf7Omu1

Ćwiczenie 1

Połącz równanie z jego rozwiązaniem. jeden Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć dwa Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. zet, plus, jeden, równa się, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwa x, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, minus, jeden, 3. dwa y, równa się, y, minus, jeden, 4. dwa x, równa się, x, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. dwa x, równa się, minus, cztery, 6. x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, zero, 7. zet, równa się, trzy zet, minus, cztery, 8. trzy x, plus, dwa, równa się, pięć