Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania

W tym materiale zawarte są informacje na temat rozwiązywania układów równań. Zamieszczone tu przykłady pokazują sposoby rozwiązywania układów równań przy użyciu metody podstawiania.

R18Vfm51Yi2Mj1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Metoda podstawiania jest łatwiejsza do stosowania, jeżeli przynajmniej w jednym z równań układu, przed jedną z niewiadomych, znajduje się współczynnik liczbowy $1$ .

Rozwiążemy teraz układ równań, w którym żaden ze współczynników liczbowych występujących przed niewiadomymi nie jest równy $1$ .

\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 5 \\ 4 x - 2 y = 26 \end{matrix}

RhU1n8jEjCRM81

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} - 2 x + 4 y = 4 \\ x - 2 y = 3 \end{cases}$ metodą podstawiania.

Wyznaczymy niewiadomą $x$ z drugiego równania układu i podstawimy otrzymane wyrażenie zamiast $x$ do pierwszego równania układu.

\{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ - 2 (2 y + 3) + 4 y = 4 \end{cases}

Następnie rozwiążemy drugie równanie, przepisując pierwsze bez zmian.

\{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ - 4 y - 6 + 4 y = 4 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ - 4 y + 4 y = 4 + 6 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ 0 \cdot y = 10 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ 0 = 10 \end{cases}

Drugie z równań układu okazało się równaniem sprzecznym, a więc układ równań jest układem sprzecznym.

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy wyrażenie algebraiczne z drugiego równania, okaże się równaniem sprzecznym, to taki układ jest układem sprzecznym.

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{matrix} - 4 x + 6 y = 8 \\ 2 x - 3 y = - 4 \end{matrix}$ metodą podstawiania.

Wyznaczymy niewiadomą $x$ z drugiego równania układu i podstawimy otrzymane wyrażenie zamiast $x$ do pierwszego równania układu.

\{\begin{cases} 2 x = 3 y - 4 | : 2 \\ - 4 x + 6 y = 8 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 1,5 y - 2 \\ - 4 (1,5 y - 2) + 6 y = 8 \end{cases}

Następnie rozwiążemy drugie równanie, przepisując pierwsze bez zmian.

\{\begin{cases} x = 1,5 y - 2 \\ - 6 y + 8 + 6 y = 8 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 1,5 y - 2 \\ - 6 y + 6 y = 8 - 8 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 1,5 y - 2 \\ 0 \cdot y = 0 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 1,5 y - 2 \\ 0 = 0 \end{cases}

Drugie z równań układu okazało się równaniem tożsamościowym, czyli takim, którego zbiór rozwiązań tworzą wszystkie liczby rzeczywiste. Rozwiązywany układ równań jest zatem układem nieoznaczonym, czyli takim, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zapamiętaj!

Jeżeli, rozwiązując układ równań metodą podstawiania, równanie, do którego podstawimy wyrażenie wyznaczone z drugiego równania, okaże się równaniem tożsamościowym, to układ równań ma nieskończenie wiele par liczb spełniających to równanie, czyli jest układem nieoznaczonym.

R15eHEPteFXNr1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1erOBITDCdat1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSallenHN3txL1

Ćwiczenie 3

$2,5 y + 4$
$2,4 - 1,4 y$
$\frac{12}{7} - \frac{5}{7} y$
$- 1,6 + 0,4 y$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rq98xQDCz4tTs2

Ćwiczenie 4

$3 + 1,5 x$
$2 + \frac{2}{3} x$
$2,5 - 0,25 x$
$10 - 4 x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAICgS0QdxMWf2

Ćwiczenie 5

$3 y = 22$
$- 1,5 y = 11$
$3,6 y = 2,6$
$- 4,5 y = 9,5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7s8vpEa5z9Jm2

Ćwiczenie 6

$- 0,5 x = 4$
$1 \frac{2}{3} x = 11$
$x = - 8$
$- 5 x = 34$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RcLEW9qLIN5k6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDG7uBlf9twiu2

Uzupełnij kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą podstawienia, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\{\begin{cases} - x - 4 y = 11 \\ 5 x + 3 y = - 4 \end{cases}

etap
układ równań
pierwsze równanie

x = - 11 - 4 y

koniec równania
drugie równanie

5 x + 3 y = - 4

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

x = - 11 - 4 y

koniec równania
drugie równanie

- 55 -

- 3

, 2.

- 20 y

, 3.

23 y

, 4.

20 y

, 5.

3

, 6.

1

, 7.

2 \frac{5}{23}

, 8.

- 3

, 9.

- 17 y

, 10.

17 y

+ 3 y = - 4

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

x = - 11 - 4 y

koniec równania
drugie równanie 1.

- 3

, 2.

- 20 y

, 3.

23 y

, 4.

20 y

, 5.

3

, 6.

1

, 7.

2 \frac{5}{23}

, 8.

- 3

, 9.

- 17 y

, 10.

17 y

= 51

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

x = - 11 - 4 y

koniec równania
drugie równanie

y =

- 3

, 2.

- 20 y

, 3.

23 y

, 4.

20 y

, 5.

3

, 6.

1

, 7.

2 \frac{5}{23}

, 8.

- 3

, 9.

- 17 y

, 10.

17 y

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

x =

- 3

, 2.

- 20 y

, 3.

23 y

, 4.

20 y

, 5.

3

, 6.

1

, 7.

2 \frac{5}{23}

, 8.

- 3

, 9.

- 17 y

, 10.

17 y

koniec równania
drugie równanie

y =

- 3

, 2.

- 20 y

, 3.

23 y

, 4.

20 y

, 5.

3

, 6.

1

, 7.

2 \frac{5}{23}

, 8.

- 3

, 9.

- 17 y

, 10.

17 y

koniec równania
koniec układu równań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

ROGmGurtwgCzN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyHeg6sCJ0D1x2

Uzupełnij kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą podstawienia, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ - 2 x + 7 y = 9 \end{cases}

etap
układ równań
pierwsze równanie

y = 2 x - 3

koniec równania
drugie równanie

- 2 x + 7 y = 9

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

y = 2 x - 3

koniec równania
drugie równanie

- 2 x + 14 x -

2, 5

, 2.

21

, 3.

30

, 4.

2, 5

, 5.

- 1

, 6.

21

, 7.

12

, 8.

2

, 9.

1

= 9

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

y = 2 x - 3

koniec równania
drugie równanie

12 x =

2, 5

, 2.

21

, 3.

30

, 4.

2, 5

, 5.

- 1

, 6.

21

, 7.

12

, 8.

2

, 9.

1

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

y = 2 x - 3

koniec równania
drugie równanie

x =

2, 5

, 2.

21

, 3.

30

, 4.

2, 5

, 5.

- 1

, 6.

21

, 7.

12

, 8.

2

, 9.

1

koniec równania
koniec układu równańetap
układ równań
pierwsze równanie

x =

2, 5

, 2.

21

, 3.

30

, 4.

2, 5

, 5.

- 1

, 6.

21

, 7.

12

, 8.

2

, 9.

1

koniec równania
drugie równanie

y =

2, 5

, 2.

21

, 3.

30

, 4.

2, 5

, 5.

- 1

, 6.

21

, 7.

12

, 8.

2

, 9.

1

koniec równania
koniec układu równań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RBJlGaRapR6F2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10CYpwaBthEd2

Wpisz w luki odpowiednie liczby tak, aby utworzyć kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą podstawiania.

<mfenced open="Tu uzupełnij

+

Tu uzupełnij

y

)+ 4 y = 2

koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

x = 8 + 5 y

koniec równania
drugie równanie

16 +

Tu uzupełnij

y

+ 4 y = 2

koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

x = 8 + 5 y

koniec równania drugie równanie Tu uzupełnij

y

= 2 - 16

koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

x = 8 + 5 y

koniec równania
drugie równanie

y =

Tu uzupełnij koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

x =

Tu uzupełnij koniec równania drugie równanie

y =

Tu uzupełnij koniec równania koniec układu równań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że w pierwszym etapie rozwiązywania układu wyznaczona została niewiadoma $x$ .

Ćwiczenie 10

Ruj6CkoYLB3ne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14JWemmvtJ2r2

Wpisz w luki odpowiednie liczby tak, aby utworzyć kolejne etapy rozwiązania układu równań metodą podstawiania.

<mfenced open="Tu uzupełnij

-

Tu uzupełnij

x

koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

3 x + 2 y = 13

koniec równania
drugie równanie

y =

Tu uzupełnij

x

-

Tu uzupełnij koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

3 x + 2 (

Tu uzupełnij

x

-

Tu uzupełnij

)= 13

koniec równania drugie równanie

y = 4 x - 10

koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

3 x +

Tu uzupełnij

x

-

Tu uzupełnij

= 13

koniec równania drugie równanie

y = 4 x - 10

koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie Tu uzupełnij

x = 33

koniec równania drugie równanie

y = 4 x - 10

koniec równania koniec układu równańetap układ równań pierwsze równanie

x =

Tu uzupełnij koniec równania drugie równanie

y =

Tu uzupełnij koniec równania koniec układu równań

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że w drugim równaniu przy niewiadomej $y$ stoi współczynnik $- 1$ , więc najlepiej będzie wyznaczyć niewiadomą $y$ z drugiego równania.

RrEk3sKZcAOjX2

Ćwiczenie 11

nieoznaczony
sprzeczny
oznaczony

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXK0exjfz5brQ2

Ćwiczenie 12

oznaczony
sprzeczny
nieoznaczony

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKOLaM70OGUaK2

Ćwiczenie 13

sprzeczny
nieoznaczony
oznaczony

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rq2Yp5KAw22IV2

Ćwiczenie 14

$x = 5,8, y = 1,4$
$x = - 11, y = - 7$
$x = 7 \frac{2}{3}, y = 2 \frac{1}{3}$
$x = - 1 \frac{2}{3}, y = - 2 \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2mWFDqCLNhVH2

Ćwiczenie 15

$"{"\begin{matrix} y = 3 x - 5 \\ 2 x - 9 x + 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 5 - 3 x \\ 2 x + 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 3 x - 5 \\ 2 x - 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$
$"{"\begin{matrix} y = 5 - 3 x \\ 2 x - 9 x - 15 = 7 \end{matrix}""$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RaO8oCRUXGky42

Ćwiczenie 16

Para liczb $x = 9 y = - 5$ jest rozwiązaniem układu równań $"{"\begin{matrix} - 4 x + 2 y = 10 \\ 2 x - 2 y = 8 \end{matrix}""$ .
Wyznaczając $x$ z drugiego równania układu $"{"\begin{matrix} 5 x - 7 y = 12 \\ - 4 x + 7 y = 5 \end{matrix}""$ , otrzymamy $x = 1,75 y - 1,25$ .
Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymaliśmy równanie
$- 3 x + 3 x - 7 = - 7$ , to rozwiązywany układ jest sprzeczny.
Jeżeli rozwiązując układ równań metodą podstawiania, otrzymaliśmy równanie
$8 y - 7 y + 2 = 2$ , to rozwiązywany układ jest nieoznaczony.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OkFi7mTPPjR3

Ćwiczenie 17

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\{\begin{cases} x = 2 y + 3 \\ x + 3 y = 8 \end{cases}

x =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony,

y =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony

\{\begin{cases} y = x - 4 \\ 2 x - y = 7 \end{cases}

x =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony,

y =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony

\{\begin{cases} x = 2 - 3 y \\ x - y = 10 \end{cases}

x =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony,

y =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony

\{\begin{cases} y = - 2 x + 3 \\ x - 2 y = 5 \end{cases}

x =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony,

y =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony

\{\begin{cases} x = y - 3 \\ x - y = 4 \end{cases}

Ten układ jest 1.

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony.

\{\begin{cases} x = 3 y - 5 \\ 2 x + 3 y = 4 \end{cases}

x =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony,

y =

5

, 2.

4

, 3. sprzeczny, 4.

3

, 5.

2

, 6.

2, 2

, 7.

1 \frac{5}{9}

, 8.

- 1

, 9.

- 2

, 10.

- 1, 3

, 11.

9

, 12.

- 7

, 13.

1

, 14.

8

, 15.

- 2, 6

, 16.

- 1, 4

, 17.

- \frac{1}{3}

, 18. nieoznaczony

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

RobN7W67gFB5g3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że rozwiązując układ równań metodą podstawiania najlepiej wyznaczać niewiadome z tego równania, w którym przy niewiadomej stoi współczynnik $1$ lub $- 1$ .

Ćwiczenie 19

R1MGANmDJANww3

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania. Uzupełnij poniższe równości, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jeżeli wynikiem takiego układu jest ułamek, to wpisz go w postaci ułamka dziesiętnego.

<mfenced open="Tu uzupełnij,

y =

Tu uzupełnij

<mfenced open="Tu uzupełnij,

y =

Tu uzupełnij

<mfenced open="Tu uzupełnij,

y =

Tu uzupełnij

<mfenced open="Tu uzupełnij,

y =

Tu uzupełnij

<mfenced open="Tu uzupełnij,

y =

Tu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że rozwiązując układ równań metodą podstawiania najlepiej wyznaczać niewiadome z tego równania, w którym przy niewiadomej stoi współczynnik $1$ lub $- 1$ . Jeżeli w żadnym z równań nie ma takiego współczynnika należy podzielić równanie przez współczynnik stojący przy niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć.