Rozwiązywanie zadań dotyczących ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego

Rozwiązywanie problemów z fizyki jest niczym innym jak liczbowym opisem zjawisk otaczającego nas świata. Wyznaczamy konkretne wartości wielkości fizycznych mających wpływ na nasze życie – temperatury, ciśnienia, prędkości, przyspieszenia i wielu innych, których nie sposób w tym miejscu przytoczyć. Dzięki obliczeniom możemy przewidzieć, jak wysoko wzniesie się samolot lub jak głęboko zanurzy się łódź podwodna. Obliczenia i rozwiązywanie problemów są podstawą funkcjonowania cywilizacji technicznej stworzonej przez człowieka. Rozwiązujmy więc zadania…

R1JO42DL6UwdJ

Ilustracja przedstawia tablicę kredową z zapisanym wzorem s równa się a razy t do kwadratu podzielone przez dwa. — Wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej jest bardzo ważny
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia

jak obliczać przyspieszenie, prędkość i drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym;
jak tworzyć wykresy zależności: przyspieszenia od czasu $a (t)$ , prędkości od czasu $v (t)$ i drogi od czasu $s (t)$ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym.

Nauczysz się

rozwiązywać zadania dotyczące ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego.

Wykorzystanie wzoru na drogę i przyspieszenie

Czasem, rozwiązując zadanie, możemy po prostu wstawić w miejsce ogólnych symboli odpowiadające im wartości. Na przykład obliczając drogę przebytą ruchem jednostajnie przyspieszonym przez ciało poruszające się przez $10$ sekund z przyspieszeniem $a = 2 \frac{m}{s^{2}}$ , korzystamy z odpowiedniej zależności:
$s = \frac{a \cdot t^{2}}{2} = \frac{2 \frac{m}{s^{2}} \cdot {(10 s)}^{2}}{2} = \frac{2 \frac{m}{s^{2}} \cdot 100 s^{2}}{2} = \frac{200 m}{2} = 100 m$
Jak powinniśmy postąpić w przypadku, gdy nie znamy przyspieszenia? Polecenie zawarte w tym zadaniu brzmi: oblicz drogę przebytą przez ciało w ciągu $10$ sekund, jeżeli w tym czasie wartość jego prędkości wzrosła od zera do $20 \frac{m}{s}$ . Jeśli zapiszemy zależność drogi od czasu tak jak poprzednio: $s = \frac{a \cdot t^{2}}{2}$ , to widzimy, że nieznana jest nam wartość przyspieszenia ciała. Czy jednak na pewno? Przecież znamy definicję przyspieszenia: $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ . Czytając jeszcze raz treść zadania, dochodzimy do wniosku, że znamy zmianę wartości prędkości (równą wartości prędkości końcowej, ponieważ prędkość początkowa była równa zero) i czas, w jakim ta zmiana nastąpiła. Obliczamy:
$a = \frac{Δ v}{t} = \frac{20 \frac{m}{s} - 0}{10 s} = \frac{20 \frac{m}{s}}{10 s} = 2 \frac{m}{s^{2}}$ , a następnie wykorzystujemy obliczoną wartość przyspieszenia do obliczenia przebytej drogi. Warto podkreślić, że aby obliczyć zmianę wartości prędkości, odejmujemy (zawsze!) od wartości końcowej wartość początkową.

R3wPoJICNZFsx

Jak wyznaczyć drogę i przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 1

RpojIA8NIBgdf

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy wzory na przyspieszenie i drogę:
$a = \frac{v}{t} \to t = \frac{v}{a}$
$s = \frac{a t^{2}}{2} = \frac{a \frac{v^{2}}{a^{2}}}{2} = \frac{v^{2}}{2 a} \to a = \frac{v^{2}}{2 s}$
Przeliczamy jednostki: $v = 90 \frac{1000 m}{3600 s} = 25 \frac{m}{s}$
Podstawiamy liczby do wzoru: $a = \frac{625 \frac{m^{2}}{s^{2}}}{2 \cdot 150 m} ≅ 2, 08 \frac{m}{s^{2}}$

Ćwiczenie 2

Na podstawie wykresu zależności przyspieszenia od czasu nazwij rodzaje ruchów, którymi poruszało się ciało, oraz oblicz odpowiadające im prędkości początkowe i końcowe.

R1S3BaERJSdju

Ilustracja przedstawia wykres zależności przyspieszenia od czasu. Tło białe. Oś odciętych od 0 do 11, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od -2 do 5, co 1, opisana „a, m/s do kwadratu”. Wykres składa się z trzech niebieskich odcinków. Pierwszy: początek (0, 4) i koniec (4, 4). Drugi: początek (4, 0) i koniec (7, 0). Trzeci: początek (-1, 7) i koniec (10, -1). — Polecenie 2. Wykres zależności przyspieszenia od czasu a(t)
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RcVoJ2wmbYKpC

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Dla

t = 0 s

v =

1. jednostajny, 2.

18

, 3.

4

, 4.

15

, 5.

0

, 6.

17

, 7. jednostajnie przyspieszony, 8.

4

, 9.

13

, 10.

2

, 11.

20

, 12.

16

, 13. jednostajnie opóźniony, 14.

16

, 15.

1

\frac{m}{s}

, obiekt rozpoczyna ruch 1. jednostajny, 2.

18

, 3.

4

, 4.

15

, 5.

0

, 6.

17

, 7. jednostajnie przyspieszony, 8.

4

, 9.

13

, 10.

2

, 11.

20

, 12.

16

, 13. jednostajnie opóźniony, 14.

16

, 15.

1

.Dla

t = 4 s

v =

1. jednostajny, 2.

18

, 3.

4

, 4.

15

, 5.

0

, 6.

17

, 7. jednostajnie przyspieszony, 8.

4

, 9.

13

, 10.

2

, 11.

20

, 12.

16

, 13. jednostajnie opóźniony, 14.

16

, 15.

1

\frac{m}{s}

, obiekt przechodzi w ruch 1. jednostajny, 2.

18

, 3.

4

, 4.

15

, 5.

0

, 6.

17

, 7. jednostajnie przyspieszony, 8.

4

, 9.

13

, 10.

2

, 11.

20

, 12.

16

, 13. jednostajnie opóźniony, 14.

16

, 15.

1

.Dla

t = 7 s

v =

1. jednostajny, 2.

18

, 3.

4

, 4.

15

, 5.

0

, 6.

17

, 7. jednostajnie przyspieszony, 8.

4

, 9.

13

, 10.

2

, 11.

20

, 12.

16

, 13. jednostajnie opóźniony, 14.

16

, 15.

1

\frac{m}{s}

obiekt rozpoczyna ruch 1. jednostajny, 2.

18

, 3.

4

, 4.

15

, 5.

0

, 6.

17

, 7. jednostajnie przyspieszony, 8.

4

, 9.

13

, 10.

2

, 11.

20

, 12.

16

, 13. jednostajnie opóźniony, 14.

16

, 15.

1

.Dla

t = 10 s

v =

1. jednostajny, 2.

18

, 3.

4

, 4.

15

, 5.

0

, 6.

17

, 7. jednostajnie przyspieszony, 8.

4

, 9.

13

, 10.

2

, 11.

20

, 12.

16

, 13. jednostajnie opóźniony, 14.

16

, 15.

1

\frac{m}{s}

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie czasu trwania ruchu przyspieszonego

Znając przebytą drogę przez ciało i przyspieszenie, z jakim się poruszało, jesteśmy w stanie obliczyć czas trwania ruchu. Zobacz, jak można to zrobić.

RUUWBYhLCcVX7

Jak obliczyć czas trwania ruchu w ruchu jednostajnie przyspieszonym?
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 3

R1N0dQEoQHDvF

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy wzór: $s = \frac{a t^{2}}{2} \to t = \sqrt{\frac{2 s}{a}}$
Podstawiamy wartości: $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1500 m}{3 \frac{m}{s^{2}}}} = \sqrt{1000 s^{2}} ≅ 31, 62 s$

Ćwiczenie 4

Jeden z uczniów ułożył następujące zadanie: pociąg wyruszył ze stacji i przejechał $80 km$ ze stałym przyspieszeniem wynoszącym $1 \frac{m}{s^{2}}$ . Na podstawie tych informacji oblicz czas podróży i wartość prędkości końcowej. Przeanalizuj wyniki i treść zadania, a potem napisz, dlaczego zadanie z takimi założeniami nie ma odzwierciedlenia w rzeczywistości.

R1Q3E3vopzNsx

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Cała podróż trwałaby $400 s$ , a prędkość końcowa wyniosła by $400 \frac{m}{s}$ . Dzisiejsze pociągi nie rozpędzają się do tak wielkich prędkości.

Ćwiczenie 5

R1BKTDrDAbBUv

Kierowca Formuły

1

zauważył zakręt i rozpoczął hamowanie przy szybkości

288 \frac{km}{h}

Przed wejściem w zakręt, po przebyciu odległości

s = 120 m

, licznik prędkościomierza bolidu wskazywał

144 \frac{km}{h}

. Zakładając, że ruch bolidu był ruchem jednostajnie opóźnionym, oblicz przyspieszenie bolidu oraz czas, w którym bolid zmniejszył swoją prędkość. Uzupełnij luki w odpowiedzi, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: Przyspieszenie bolidu jest równe

a =

Tu uzupełnij

\frac{m}{s^{2}}

, natomiast czas, w którym bolid zmniejszył swoją prędkość wynosi

t =

Tu uzupełnij

s

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Zmiana prędkości - od wartości końcowej odejmujemy wartość początkową: $∆ v = 144 \frac{km}{h} - 288 \frac{km}{h} = 40 \frac{m}{s} - 80 \frac{m}{s} = - 40 \frac{m}{s}$
Przekształcamy wzór na drogę: $s = v_{0} \cdot ∆ t + \frac{∆ v \cdot ∆ t}{2} = ∆ t \cdot (v_{0} + \frac{∆ v}{2}) \to ∆ t = \frac{s}{v_{0} + \frac{∆ v}{2}}$
Podstawiamy do wzoru: $∆ t = \frac{120 m}{80 \frac{m}{s} - \frac{40 \frac{m}{s}}{2}} = \frac{120}{60} s = 2 s$
Przyspieszenie: $a = \frac{∆ v}{∆ t} = \frac{- 40 \frac{m}{s}}{2 s} = - 20 \frac{m}{s^{2}}$

Jak obliczyć drogę, nie znając przyspieszenia?

Czasami w przypadku obliczeń znamy jedynie prędkość końcową ciała i czas trwania ruchu. Jak wobec tego obliczyć drogę? Sprawdźmy to wspólnie.

Rkug7atN9dJON

Jak obliczyć drogę, nie znając przyspieszenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym?
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 6

R6SaggHycv7jp

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy wzór na drogę: $s = \frac{v \cdot t}{2} \to v = \frac{2 s}{t}$
Podstawiamy wartości: $v = \frac{2 \cdot 200 m}{10 s} = 40 \frac{m}{s} = 40 \frac{0, 001 km \cdot 3600}{h} = 144 \frac{km}{h}$

Ćwiczenie 7

Samochód ruszył ze skrzyżowania i ruchem jednostajnie przyspieszonym przebył drogę $1000 m$ w czasie $100 s$ . Oblicz przyspieszenie pojazdu i wyraź jego prędkość końcową w $\frac{km}{h}$ .

Sporządź wykresy zależności prędkości od czasu $v (t)$ , przyspieszenia od czasu $a (t)$ i drogi od czasu $s (t)$ dla tego ruchu.

RyQXuzjoSohdS

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Opisz wykresy zależności prędkości od czasu $v (t)$ , przyspieszenia od czasu $a (t)$ i drogi od czasu $s (t)$ dla tego ruchu.

Rj8nULZz0RAc0

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przyspieszenie pojazdu: $a = \frac{2 s}{t^{2}} = \frac{2000 m}{10000 s^{2}} = 0, 2 \frac{m}{s^{2}}$ .
Prędkość końcowa pojazdu: $v = a \cdot t = 0, 2 \frac{m}{s^{2}} \cdot 100 s = 20 \frac{m}{s} = 20 \frac{3600 km}{1000 h} = 72 \frac{km}{h}$ .

R3wEVSdWwBfuZ

Na ilustracji wykresy zależności drogi w metrach od czasu w sekundach st, przyspieszenia w metrach na sekundę kwadratową od czasu w sekundach at i prędkości w kilometrach na godzinę od czasu w sekundach vt. Wykres drogi od czasu zaczyna się w punkcie zero - zero i przebiega krzywą przez punkt pięćdziesiąt - dwieście pięćdziesiąt aż do punktu sto - tysiąc. Kształt wykresu zbliżony do połównki paraboli. Wykres przyspieszenia od czasu zaczyna się w punkcie zero - dwie dziesiąte i biegnie równolegle do osi czasu aż do punktu sto - dwie dziesiąte. Wykres prędkości od czasu jest odcinkiem zaczynającym się w punkcie zero - zero a kończącym w punkcie sto - siedemdziesiąt dwa. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przyspieszenie pojazdu: $a = 0, 2 \frac{m}{s^{2}}$ .
Prędkość końcowa pojazdu: $v = 20 \frac{m}{s} = 72 \frac{km}{h}$ .

Podsumowanie

**Wzory wykorzystywane do rozwiązywania zadań dotyczących ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego**
Wzór	Opis
$s = \frac{a t^{2}}{2}$	Droga przebyta przez ciało rozpoczynające ruch ze stanu spoczynku (prędkość początkowa $v_{0} = 0 \frac{m}{s}$ )
$a = \frac{v_{k} - v_{0}}{t}$	Przyspieszenie
$v_{k} = a \cdot t$ $v_{k} = \frac{2 \cdot s}{t}$	Prędkość końcowa $(v_{0} = 0 \frac{m}{s})$ w ruchu przyspieszonym
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}}$ $t = \frac{v_{k}}{a}$	Czas przebycia danej drogi lub czas osiągnięcia danej prędkości (jeśli znane jest przyspieszenie). Prędkość początkowa $v_{0} = 0 \frac{m}{s}$ .

Ćwiczenie 8

Uzupełnij tabelę dotyczącą prędkości i przebytej drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym, wpisując odpowiednią liczbę. Załóż $v_{0} = 0$ .

RmE513sdVggn1

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RhaajcPa6DbSn

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcamy wzór na drogę: $s = \frac{v \cdot t}{2} \to v = \frac{2 s}{t}$
Podstawiamy wartości: $v = \frac{2 \cdot 100 m}{20 s} = 10 \frac{m}{s}$

Ćwiczenie 10

R47EsCWs7pFOm

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Długość lufy: $s = \frac{a t^{2}}{2} = \frac{80000 \frac{m}{s^{2}} \cdot 0, 0001 s^{2}}{2} = 4 m$
Prędkość końcowa: $v = a \cdot t = 80000 \frac{m}{s^{2}} \cdot 0, 01 s = 800 \frac{m}{s}$

Zadania

Rh95SJ7j7X1F81

Ćwiczenie 11

Który zestaw zależności opisujących ruch jednostajnie przyspieszony zawiera tylko prawdziwe zależności?

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{a}}; s = \frac{v_{k} \cdot t}{2}; s = \frac{a \cdot t^{2}}{2}$
$s = \frac{v_{k}}{t}; v_{k} = s \cdot t; t = \frac{v}{s}$
$v_{k} = \frac{s}{t}; s = v_{k} \cdot t; s = \frac{v_{k} \cdot t}{2}$

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

R170uWUowHLkX2

Uzupełnij puste miejsce.

Samochód, który w czasie 10 s osiągnął wartość prędkości równą 18 m/s przejechał drogę równą ............ m.

Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Droga: $s = \frac{v t}{2} = \frac{18 \frac{m}{s} \cdot 10 s}{2} = 90 m$