Rozwiązywanie zadań tekstowych z wykorzystaniem liczb naturalnych lub ułamków zwykłych

Zadania matematyczne nie zawsze polegają tylko na obliczeniu pewnej wielkości ze wzoru lub wyznaczeniu rozwiązania pewnego równania. Czasami informacje potrzebne do rozwiązania zadania należy uzyskać analizując jego treść.

Rozwiązywanie zadań tekstowych zawsze należy zacząć od bardzo szczegółowej analizy treści zadania. Na podstawie uzyskanych informacji układamy stosowne zapisy matematyczne i wykorzystując naszą wiedzę wyznaczamy szukaną przez nas odpowiedź.

Zadania dotyczące liczb naturalnych

Ćwiczenie 1

Rozwiąż w pamięci następujące zadanie. Nie rób żadnej notatki. Postaraj się podać prawidłową odpowiedź po pierwszym przeczytaniu treści. Następnie przeczytaj zadanie jeszcze raz, robiąc notatki. Czy za pierwszym i drugim razem otrzymasz ten sam wynik?

Uzupełnij poniższą odpowiedź odpowiednią liczbą. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

R1NauzD9swPCe

W niedzielę pan Karol nastawił swój budzik na godzinę

6 : 00

. W poniedziałek wstał zaraz po wyłączeniu alarmu i godzinę zajęło mu przygotowanie się do wyjścia z domu. Do pracy jechał pociągiem, więc pod swoim biurem znalazł się już po

2

godzinach. Do pierwszej przerwy śniadaniowej pracował bez przerwy przez

3

godziny. Przerwa na kawę i kanapkę oraz rozmowa z dyrektorem biura pochłonęły kolejną godzinę. Następnie pracował nad nowym projektem przez

2

godziny, a przez kolejną przygotowywał materiały na następny dzień. Droga do domu, z powodu opóźnienia pociągu, trwała o godzinę dłużej niż droga do pracy. Na szczęście miał jeszcze jedną kanapkę. Godzinę do ulubionych wiadomości wypełniła mu kolacja i rozmowa z dziećmi. Wiadomości i film, który po nich pan Karol obejrzał razem z żoną, trwały

2

godziny. W międzyczasie pan Karol przebrał się w piżamę. Kiedy film się skończył, ziewnął i położył się spać. Następny dzień rozpoczął się dla pana Karola od ogłuszającego sygnału jego budzika. Budzik zadzwonił jak zwykle o godzinie

6

rano. Ile godzin spał pan Karol?
Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Pan Karol spał 1.

4

, 2.

10

, 3.

8

, 4.

2

, 5.

6

godzin.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Gabrysia zastanawia się, jakie oceny otrzyma na pierwszy semestr z czterech najważniejszych dla niej przedmiotów w szkole. Obliczyła średnią arytmetyczną przewidywanych ocen i otrzymała wynik $4$ . Odpowiedz na poniższe pytania.

R5sMgWJN2Pvj8

Gabrysia zastanawia się, jakie oceny otrzyma na pierwszy okres z czterech najważniejszych dla niej przedmiotów w szkole. Obliczyła średnią arytmetyczną przewidywanych ocen i otrzymała wynik

4

.

Uzupełnij poniższe odpowiedzi odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. O ile wzrosłaby średnia tych ocen Gabrysi, gdyby z każdego z czterech przedmiotów dziewczynka otrzymała ocenę o jeden wyższą? Odpowiedź: Średnia wzrosłaby o 1.

(3, 2, 5, 5)

, 2.

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

, 3.

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

, 4.

3

, 5.

(3, 3, 4, 4)

, 6.

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

, 7.

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

, 8.

(3, 4, 5, 5)

, 9.

1

, 10.

2

, 11.

(3, 3, 5, 6)

. Jakich ocen mogła się spodziewać Gabrysia, jeżeli wśród nich nie było żadnej jedynki ani dwójki? Nie bierz pod uwagę, z jakiego przedmiotu zostały wystawione. Rozważ kilka przypadków.Odpowiedź: Możliwe oceny Gabrysi: 1.

(3, 2, 5, 5)

, 2.

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

, 3.

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

, 4.

3

, 5.

(3, 3, 4, 4)

, 6.

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

, 7.

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

, 8.

(3, 4, 5, 5)

, 9.

1

, 10.

2

, 11.

(3, 3, 5, 6)

; 1.

(3, 2, 5, 5)

, 2.

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

, 3.

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

, 4.

3

, 5.

(3, 3, 4, 4)

, 6.

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

, 7.

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

, 8.

(3, 4, 5, 5)

, 9.

1

, 10.

2

, 11.

(3, 3, 5, 6)

;1.

(3, 2, 5, 5)

, 2.

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

, 3.

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

, 4.

3

, 5.

(3, 3, 4, 4)

, 6.

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

, 7.

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

, 8.

(3, 4, 5, 5)

, 9.

1

, 10.

2

, 11.

(3, 3, 5, 6)

;1.

(3, 2, 5, 5)

, 2.

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

, 3.

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

, 4.

3

, 5.

(3, 3, 4, 4)

, 6.

(3, 3, 5, 5)

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

, 7.

(3, 3, 4, 6)

(3, 4, 4, 5)

(4, 4, 4, 4)

(3, 3, 5, 5)

, 8.

(3, 4, 5, 5)

, 9.

1

, 10.

2

, 11.

(3, 3, 5, 6)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GyZiaVUbXx8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R1ZLGVWjEujTu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RnlPAnF1u8QN221

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru:

15

60

15

x + 5

2 x + 5

2 x

2 (x + 5)

90

. Polecenie: Chłopcy zbierają książki o samochodach. Jacek ma o

5

książek więcej niż Bogdan. Krzysztof ma dwa razy więcej książek niż Jacek. Wszyscy trzej mają razem

75

książek. Oblicz, ile książek ma Bogdan. Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

x

– liczba książek Bogdana,
luka do uzupełnienia – liczba książek Jacka,
luka do uzupełnienia – liczba książek Krzysztofa,

4 x +

luka do uzupełnienia

= 75

4 x =

luka do uzupełnienia ,

x =

luka do uzupełnienia .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

Zadania dotyczące ułamków zwykłych

Ćwiczenie 5

Państwo Wielguscy podsumowali swoje dochody, wydatki oraz oszczędności. Okazało się, że ich miesięczne dochody wynoszą $6300 zł$ , że w ciągu miesiąca wydają na jedzenie $950$ złotych oraz że udaje się im zaoszczędzić $350 zł$ .

Odpowiedzi na poniższe pytania podaj w postaci ułamków nieskracalnych.

Jaką część dochodów państwa Wielguskich stanowią wydatki na żywność?
Jaką część wszystkich wydatków państwa Wielguskich stanowią wydatki na żywność?

RA2sfSCZVTUk5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zwróć uwagę, że koszt wszystkich wydatków, to $6300 - 350 = 5950 [zł]$ .

$\frac{19}{126}$ .

$\frac{19}{119}$ .

Ćwiczenie 6

R8E63toMXC7l7

Prostokątna działka państwa Kapuścińskich ma wymiary

35 m

40 m

. Właściciele działki postanowili, że

\frac{1}{7}

jej powierzchni przeznaczą na ogródek warzywny,

\frac{1}{16}

na plac zabaw, a

\frac{3}{8}

na sadzawkę. Resztę działki ma zająć trawnik i zabudowania gospodarcze.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Pole powierzchni ogródka jest równe 1.

590

, 2.

200

, 3.

85

, 4.

525

, 5.

87 \frac{1}{2}

, 6.

587 \frac{1}{2}

m^{2}

.Pole powierzchni placu zabaw jest równe 1.

590

, 2.

200

, 3.

85

, 4.

525

, 5.

87 \frac{1}{2}

, 6.

587 \frac{1}{2}

m^{2}

.Pole powierzchni sadzawki jest równe 1.

590

, 2.

200

, 3.

85

, 4.

525

, 5.

87 \frac{1}{2}

, 6.

587 \frac{1}{2}

m^{2}

.Pole powierzchni trawnika i zabudowań jest równe 1.

590

, 2.

200

, 3.

85

, 4.

525

, 5.

87 \frac{1}{2}

, 6.

587 \frac{1}{2}

m^{2}

Przeciągnij i upuść.

$587 \frac{1}{2}$ , $525$ , $85$ , $87 \frac{1}{2}$ , $590$ , $200$

Prostokątna działka państwa Kapuścińskich ma wymiary $35 m$ na $40 m$ . Właściciele działki postanowili, że $\frac{1}{7}$ jej powierzchni przeznaczą na ogródek warzywny, $\frac{1}{16}$ na plac zabaw, a $\frac{3}{8}$ na sadzawkę. Resztę działki ma zająć trawnik i zabudowania gospodarcze.

Pole powierzchni ogródka jest równe ............ $m^{2}$ .
Pole powierzchni placu zabaw jest równe ............ $m^{2}$ .
Pole powierzchni sadzawki jest równe ............ $m^{2}$ .
Pole powierzchni trawnika i zabudowań jest równe ............ $m^{2}$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że pole powierzchni prostokąta wyraża się wzorem $P = a b$ , gdzie $a$ i $b$ są długościami boków prostokąta. Oblicz pole powierzchni całej działki, a następnie pomnóż je przez ułamek opisujący, jaką część działki zajmują poszczególne miejsca.

Ćwiczenie 7

R1U3o1VmOmSFx

W dwustugramowym słoiczku dżemu znajduje się

50 g

owoców, natomiast w stupięćdziesięciogramowym słoiczku dżemu owoce stanowią

\frac{1}{5}

masy dżemu.

Uzupełnij poniższe odpowiedzi odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. W którym słoiczku jest więcej owoców i o ile gramów?
Odpowiedź: W 1.

30

, 2.

20

, 3.

10

, 4.

\frac{5}{35}

, 5. dwustugramowym, 6. stupięćdziesięciogramowym, 7.

\frac{8}{35}

, 8.

\frac{11}{35}

słoiczku jest o 1.

30

, 2.

20

, 3.

10

, 4.

\frac{5}{35}

, 5. dwustugramowym, 6. stupięćdziesięciogramowym, 7.

\frac{8}{35}

, 8.

\frac{11}{35}

g

owoców więcej niż w drugim. Jaką część dżemu stanowiłyby owoce, gdyby dżemy z obu słoiczków zmieszać ze sobą?
Odpowiedź:Owoce stanowiłyby 1.

30

, 2.

20

, 3.

10

, 4.

\frac{5}{35}

, 5. dwustugramowym, 6. stupięćdziesięciogramowym, 7.

\frac{8}{35}

, 8.

\frac{11}{35}

masy nowego dżemu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R1U2gJXmh9U8S

Obliczono, że

\frac{5}{12}

trasy ścieżki krajoznawczej "Wśród lasów i pól Podlasia" biegnie przez lasy. Reszta ścieżki, długości

49 km

, biegnie przez pola.

Uzupełnij poniższe odpowiedzi odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Ile wynosi długość ścieżki, która biegnie przez lasy?
Odpowiedź: Długość tej ścieżki wynosi 1.

25

, 2.

1 \frac{1}{6}

, 3.

45

, 4.

1 \frac{2}{5}

, 5.

35

, 6.

1 \frac{5}{8}

, 7.

1 \frac{4}{9}

, 8.

55

km

. Ile razy dłuższa jest część ścieżki biegnącej przez pola od części biegnącej przez lasy?
Odpowiedź: Ścieżka biegnąca przez pola jest dłuższa 1.

25

, 2.

1 \frac{1}{6}

, 3.

45

, 4.

1 \frac{2}{5}

, 5.

35

, 6.

1 \frac{5}{8}

, 7.

1 \frac{4}{9}

, 8.

55

razy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R1TJfuK4cvMtU

Uzupełnij poniższy tekst odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Kasia przeczytała

\frac{2}{7}

powieści o Muminkach, czytając bez przerwy. Następnego dnia przeczytała jeszcze

\frac{3}{5}

nieprzeczytanej części książki, czyli 1.

\frac{2}{7}

, 2.

3, 5

, 3.

\frac{1}{7}

, 4.

\frac{3}{7}

, 5.

3

, 6.

4

całej powieści. Trzeciego dnia przeczytała resztę, czyli 1.

\frac{2}{7}

, 2.

3, 5

, 3.

\frac{1}{7}

, 4.

\frac{3}{7}

, 5.

3

, 6.

4

całej książki. Gdyby Kasia czytała codzienne tyle stron, ile przeczytała trzeciego dnia, to na lekturę całej książki potrzebowałaby 1.

\frac{2}{7}

, 2.

3, 5

, 3.

\frac{1}{7}

, 4.

\frac{3}{7}

, 5.

3

, 6.

4

dnia.

Przeciągnij i upuść.

$\frac{2}{7}$ , $\frac{1}{7}$ , $4$ , $3$ , $\frac{3}{7}$

Kasia przeczytała $\frac{2}{7}$ powieści o Muminkach, czytając bez przerwy. Następnego dnia przeczytała jeszcze $\frac{3}{5}$ nieprzeczytanej części książki, czyli ............ całej powieści. Trzeciego dnia przeczytała resztę, czyli ............ całej książki. Gdyby Kasia czytała codzienne tyle stron, ile przeczytała trzeciego dnia, to na lekturę całej książki potrzebowałaby ............ dni.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby Kasia przeczytała całą książkę, suma ułamków opisujących, jaką część całej książki przeczytała musi wynosić $1$ .

Ćwiczenie 10

R8V3su1RNtdVK

Szkoła Janka liczy mniej niż

620

uczniów, ale więcej niż

450

. Janek obliczył, że

\frac{3}{4}

liczby uczniów jego szkoły miało średnią na koniec piątej klasy lepszą niż on, a

\frac{25}{104}

gorszą.

Uzupełnij poniższe odpowiedzi odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Jaką część liczby uczniów szkoły Janka stanowili uczniowie ze średnią równą jego średniej? Przeciągnij w lukę prawidłową odpowiedź.
Odpowiedź: Część stanowiąca uczniów z tą samą średnią co Janek wynosi1.

530

, 2.

\frac{1}{104}

, 3.

540

, 4.

510

, 5.

\frac{1}{106}

, 6.

\frac{1}{110}

, 7.

\frac{1}{108}

, 8.

520

. Ilu uczniów liczy szkoła Janka? Przeciągnij w lukę prawidłową odpowiedź.
Odpowiedź: Szkoła Janka liczy 1.

530

, 2.

\frac{1}{104}

, 3.

540

, 4.

510

, 5.

\frac{1}{106}

, 6.

\frac{1}{110}

, 7.

\frac{1}{108}

, 8.

520

uczniów.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika. Zauważ, że suma ułamków opisujących, jaką część wszystkich uczniów stanowią uczniowie mający określoną średnią ocen musi wynosić $1$ . Ponadto zauważ, że liczba uczniów szkoły musi być liczbą całkowitą dodatnią.

Ćwiczenie 11

RgJ4tAbGqjtup

Brukselka kosztuje

23, 5 zł

za kilogram, marchew

60 gr

za kilogram, a ziemniaki są w cenie

1, 20 zł

za kilogram. Oblicz, ile trzeba zapłacić za

1, 5 kg

brukselki,

2, 25 kg

marchwi i

3, 75 kg

ziemniaków. Uzupełnij poniższą odpowiedź odpowiednią liczbą. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Trzeba zapłacić 1.

41, 30

, 2.

41, 10

, 3.

40, 80

, 4.

40, 90

zł

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RR6S0Zsm3Q6jJ

Juniorki i juniorzy stanowią razem

0, 4

liczby uczestników pewnej imprezy sportowej. Juniorek jest

3

razy więcej niż juniorów. Seniorzy stanowią

0, 3

liczby uczestników, tyle samo jest seniorek. W imprezie bierze udział

250

osób. Oblicz ile juniorek, juniorów, seniorek i seniorów bierze udział w tej imprezie.
Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości. Odpowiedź: ilość juniorek wynosi Tu uzupełnij,ilość juniorów wynosi Tu uzupełnij,ilość seniorek wynosi Tu uzupełnij,ilość seniorów wynosi Tu uzupełnij.

Uzupełnij.

Juniorki i juniorzy stanowią razem $0, 4$ liczby uczestników pewnej imprezy sportowej. Juniorek jest $3$ razy więcej niż juniorów. Seniorzy stanowią $0, 3$ liczby uczestników, tyle samo jest seniorek. W imprezie bierze udział $250$ osób. Wówczas:
ilość juniorek wynosi ............
ilość juniorów wynosi ............
ilość seniorek wynosi ............
ilość seniorów wynosi ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

R6wqIefienuvd

Bożenka, Halinka i Justynka podliczyły, ile mają pieniędzy w swoich portmonetkach. Gdyby Bożenka miała o

1, 25 zł

więcej, Halinka o

2, 40 zł

mniej, a Justynka o

2, 45 zł

więcej, to miałyby razem okrągłą sumę wynoszącą

100 zł

. Ile te trzy koleżanki mają razem pieniędzy w portmonetkach? Uzupełnij poniższą odpowiedź odpowiednią liczbą. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Bożenka, Halinka i Justynka mają razem 1.

97, 50

, 2.

95, 20

, 3.

99, 30

, 4.

98, 70

, 5.

96, 80

złotych.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz, ile pieniędzy Bożence, Halince i Justynce brakuje, aby mieć wspólnie $100 zł$ .

R1aIFi2kM2coV3

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

W tabelce zanotowano temperatury w kolejnych dniach pewnego tygodnia, w pewnym miejscu w Polsce. Oblicz średnią wartość temperatury w tym tygodniu. Wynik zaokrąglij do jedności.

Poniedziałek	Wtorek	Środa	Czwartek	Piątek	Sobota	Niedziela
$- 2 ° C$	$- 6 ° C$	$- 2 ° C$	$2 ° C$	$5 ° C$	$7 ° C$	$10 ° C$

R1GlH2D6YDnIG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcPKa4c0G4fdG31

Ćwiczenie 16

piętnaście torebek z ciasteczkami po $7,50 z ł$ za opakowanie
dziesięć butelek napoju po $1,20 zł$ i dziewięć pudełek czekoladek po $12 zł$
jedenaście pudełek żelków po $11,50 zł$ za pudełko
$240$ lizaków po $40$ groszy
sześć torebek ciastek po $7,50 zł$ , dziesięć butelek napoju po $5 zł$ , pudełko żelków po $11,50 zł$ i dziesięć lizaków po $40$ groszy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.