Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą równań

Etapy rozwiązywania zadań tekstowych

Niektóre zadania tekstowe można rozwiązać zarówno arytmetycznie, wykonując różne działania, jak i za pomocą równań. Są także takie zadania, które najprościej rozwiązuje się układając i rozwiązując odpowiednie równanie. Po przeczytaniu zadania nie zawsze od razu wiemy, jak je rozwiązać, dlatego ważny jest zapis danych i kolejnych etapów rozwiązania.

Jeżeli zadanie tekstowe rozwiązujemy za pomocą równania, to trzeba zwrócić szczególną uwagę na poprawny zapis rozwiązania. Najlepiej jest wtedy stosować się do pewnego schematu i po uważnym przeczytaniu treści pokonywać kolejne etapy rozwiązywania zadania:

  1. Ustal niewiadomą w zadaniu, oznacz ją dowolną literą, np. x.

  2. Wykorzystaj dane z zadania i niewiadomą, zapisuj i opisuj różne wyrażenia algebraiczne aż pojawią się dwa oznaczające to samo.

  3. Ułóż równanie opisujące sytuację z zadania.

  4. Rozwiąż równanie.

  5. Sprawdź z warunkami zadania, czy rozwiązanie jest poprawne.

  6. Sformułuj odpowiedź do zadania.

Przykład 1
R1TVL3VMwZFh91
Animacja przedstawia rozwiązanie pewnego zadania tekstowego przy pomocy równań.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1TVL3VMwZFh9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia rozwiązanie pewnego zadania tekstowego przy pomocy równań.

Przykład 2

Rozwiążmy za pomocą równania następujące zadanie tekstowe:

Lucynka kupiła 5 jednakowych zeszytów i piórnik za 12 zł. Za te zakupy zapłaciła 18 zł. Ile kosztował jeden zeszyt?

Poniżej jest rozwiązanie tego zadania z ponumerowanymi etapami.

Etap pierwszy:

x – cena zeszytu,

Etap drugi:

5x – koszt wszystkich zeszytów

5x+12 – zapłacona kwota,

18 – zapłacona kwota

Etap trzeci:

5x+12=18

Etap czwarty:

5x=18-12

5x=6

x=6:5

x=1,2

Etap piąty:

Sprawdzenie: 5·1,2 zł+12 zł=6 zł+12 zł=18 zł.

Etap szósty:

Odpowiedź: Jeden zeszyt kosztował 1,2 zł.

RDPQFvd9ECKLh1
Ćwiczenie 1
Lucynka kupiła 3 pączki i napój za 5 złotych. Za te zakupy zapłaciła 10,40 zł. Ile kosztował jeden pączek?
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną wartość. x - cena jednego pączka
1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40 - koszt trzech pączków
1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40+5 - zapłacona kwota
10,40 - zapłacona kwota

3x+1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40=1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40
3x=1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40-1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40
3x=1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40
x=1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40
Odpowiedź: Jeden pączek kosztował 1. 10,40, 2. 1,80, 3. 3x, 4. 1,80, 5. 5, 6. 5, 7. 5,40, 8. 3x, 9. 10,40 złotych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zadania o liczbach

Poniższe zadania rozwiąż za pomocą równań.

R1ORoq8TlgJp51
Ćwiczenie 2
Jeśli pewną liczbę zwiększymy o 12, to otrzymany wynik będzie dwa razy mniejszy niż 80. Jaka to liczba? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 28, 2. 18, 3. 68, 4. 38
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RR7qbEEo9EdIY1
Ćwiczenie 3
Jeśli pewną liczbę zmniejszymy o 153, to otrzymany wynik będzie równy 159. Jaka to liczba? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 312, 2. 310, 3. 314, 4. 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnW76P450RJwY1
Ćwiczenie 4
Gdy pewną liczbę zwiększymy 5 razy i od iloczynu odejmiemy 35, otrzymamy 30. Jaka to liczba? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 13, 2. 70, 3. 60, 4. 0
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLg2voXRXc5DD1
Ćwiczenie 5
Trzykrotność pewnej liczby jest o 27 większa od czterokrotności liczby 6. Jaka to liczba? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 17, 2. 1, 3. 3, 4. 54
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zadania geometryczne

Poniższe zadania rozwiąż za pomocą równań.

2
Ćwiczenie 6
R17CuQDzFz0y7
W prostokącie o obwodzie 38 cm, jeden z boków ma 12,5 cm długości. Oblicz długość drugiego boku tego prostokąta. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Długość drugiego boku tego prostokąta wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 7

Na poniższym rysunku przedstawiono prostokąt. Znając jego pole powierzchni oraz długość jednego z boków, oblicz długość drugiego boku.

RyMk35QVCzQCq1
Rysunek prostokąta o bokach długości x, 9 cm i polu równym 135 centymetrów kwadratowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13JAB6uqgjHN
Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Drugi bok prostokąta oznaczony na rysunku literą x ma długość Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 8

Na poniższym rysunku przedstawiono trójkąt ostrokątny. Znając miary dwóch kątów, oblicz miarę trzeciego kąta.

RSZpeHnXLyZ191
Rysunek trójkąta rozwartokątnego o kątach 110 stopni, alfa i 55 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RyZbAFDsIOLI0
Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Kąt α w trójkącie przedstawionym na rysunku ma miarę Tu uzupełnij °.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 9
R1Pay0ilLHfJb
Podstawy trapezu o polu 91 cm2, mają długości 5 cm i 9 cm. Oblicz długość wysokości tego trapezu. Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Długość wysokości tego trapezu wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie ceny

R72z3UUAr8kdD2
Ćwiczenie 10
Za 3 książki po 18 zł i 4 zeszyty zapłacono 63,80 zł. Ile kosztuje jeden zeszyt? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 2,45 zł, 2. 2,25 zł, 3. 2,20 zł, 4. 2,40 zł
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSvsUcgOWxaRD2
Ćwiczenie 11
Ewa miała 125 zł. Kupiła 70 róż i zostało jej 34 zł. Ile kosztowała jedna róża? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 1,30 zł, 2. 1,50 zł, 3. 2,10 zł, 4. 1,90 zł
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1GH7rN4kJ6av2
Ćwiczenie 12
Franek kupił lizaki po 50 gr za sztukę oraz bombonierkę za 27 zł. Za zakupy zapłacił 39 zł. Ile lizaków kupił? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 24, 2. 12, 3. 48, 4. 36
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbDLsnWLK3AyC2
Ćwiczenie 13
Julek miał 80 zł. Kupił 3 bilety do kina, każdy w tej samej cenie, oraz duży popcorn za 15,50 zł. Zostało mu 10,50 zł. Ile kosztował jeden bilet? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 18,00 zł, 2. 25,00 zł, 3. 28,33 zł, 4. 35,33 zł
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zadania trudniejsze - o wieku

Wskazówka
x+x=2x
x+3x=4x
7x-2x=5x
3
Ćwiczenie 14
R3EPaoQKFjDSi
Ojciec i córka mają razem 51 lat. Ojciec jest dwukrotnie starszy od córki. Oblicz ile lat ma córka oraz ojciec. Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: Córka ma Tu uzupełnij lat, natomiast ojciec Tu uzupełnij lata.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 15
Rdu3FDDfqYIXo
Basia, Ela i Lidka mają razem 34 lata. Ela jest o 3 lata starsza od Basi i o 4 lata młodsza od Lidki. Oblicz, ile lat ma każda z tych kobiet. Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby. Odpowiedź: Ela ma Tu uzupełnij lat, Basia Tu uzupełnij lat, natomiast Lidka Tu uzupełnij lat.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.