Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu od wieków uważano za najdoskonalszą formę ruchu. Arystoteles sądził, że okrąg jest figurą doskonałą, a natura ruchu po okręgu – boska. Dzisiaj już nikt tak raczej nie myśli. Ta lekcja pozwoli Ci zrozumieć prawdziwą naturę ruchu, która wyłania się z praw fizyki.

RTfWzsIQrY8UK

Zdjęcie przedstawia zabawę dzieci na karuzeli łańcuchowej stojącej w lesie lub gęstym parku. Karuzela napędzana jest ręcznie za pomocą mechanizmu z dużym kołem zamachowym w samym środku, którym obraca chłopiec. Reszta dzieci siedzi na krzesełkach. Widok obiektów poruszających się jest nieco rozmyty, co sugeruje dużą prędkość ruchu karuzeli. — Klasycznym przykładem ruchu po okręgu jest karuzela łańcuchowa. Parametry ruchu obrotowego krzesełka z jego pasażerem będą się zmieniać, ale sam pasażer siedzący w krzesełku zawsze będzie krążył po okręgu
Źródło: Juanedc, Flickr, (https://www.flickr.com/photos/juanedc/8415640343/sizes/o/), licencja: CC BY 2.0.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia

wzór na obwód okręgu o zadanym promieniu;
prędkość ciała i jej jednostkiD16qgGvX3prędkość ciała i jej jednostki;
ruch jednostajny prostoliniowyDJxXtwp8wruch jednostajny prostoliniowy.

Nauczysz się

poznasz definicje takich wielkości fizycznych, jak: prędkość liniowa, okres obiegu i częstotliwość obiegu;
obliczać wartości tych wielkości;
opisywać ruch jednostajny po okręgu jako ruch, w którym prędkość jest stała, torem jest okrąg, a kierunek i zwrot wektora prędkości zmienia się w czasie.

Na lekcjach fizyki omówione zostały szczegółowo zagadnienia dotyczące ruchu jednostajnego prostoliniowego i jednostajnie przyspieszonego. Tory, po których poruszają się ciała, mogą być jednak w rzeczywistości znacznie bardziej złożone. Gdy jedziemy autobusem do szkoły, poruszamy się po linii krzywej, której poszczególne odcinki są zwykle łukami zakrętów, prostymi i – jak dzieje się podczas pokonywania ronda – okręgami.

RkGBXGo6VspuE

Zdjęcie przedstawia skrzyżowanie o ruchu okrężnym – rondo. Widok z góry. Pięć dróg dochodzących/odchodzących. Rondo asfaltowe. Na rondzie namalowano białą farbą pasy ruchu, powierzchnie wyłączone z ruchu, strzałki nakazujące kierunek jazdy. Pośrodku widoczna wysepka z ozdobnymi wzorami z kwiatów. Na rondzie znajduje się kilka pojazdów. Obowiązuje ruch prawostronny. — Torem ruchu samochodu poruszającego się po rondzie jest okrąg
Źródło: Krzysztof Jaworski <Krzysztof.jaworski@up.wroc.pl>, licencja: CC BY 3.0.

Podobnie poruszają się poszczególne punkty obracających się ciał: Ziemi, bębna w pralce, wskazówek zegara, kół samochodu podczas jazdy. Dobrym przykładem ruchu ciał po okręgu jest ruch krzesełka karuzeli czy ruch niektórych ciał niebieskich. Po okręgach poruszają się tzw. satelity geostacjonarnesatelita geostacjonarnysatelity geostacjonarne.

Ruch punktu po okręgu charakteryzują pewne wielkości fizyczne, tj. okresokres $(T)$ okres, częstotliwośćczęstotliwość $(f)$ częstotliwość i prędkość.

Zapamiętaj!

Częstotliwość poruszającego się ciała wynosi $1 Hz$ herc $(Hz)$ $1 Hz$ , jeśli w czasie jednej sekundy wykonuje ono jeden obieg po okręgu.

Nazwa jednostki częstotliwości pochodzi od nazwiska odkrywcy fal elektromagnetycznych – Heinricha HertzaHeinrich Rudolf HertzHeinricha Hertza.

Przykład 1

Do koła jadącego samochodu przykleił się w jednym miejscu liść. Koło ma średnicę $40 cm$ i wykonuje $960$ obrotów na minutę. Oblicz okres i częstotliwość ruchu po okręgu liścia przyklejonego do opony.
Dane:
$n = 960$
$t = 1 \min = 60 s$

Szukane:
$T = ?$
$f = ?$

Wzory:
$T = \frac{t}{n}$
$f = \frac{n}{t}$
Obliczenia:

$T = \frac{60 s}{960} = \frac{1}{16} s = 0, 0625 s$

$f = \frac{960}{60 s} = 16 Hz$

Odpowiedź:
Czas jednego obiegu, jaki liść wykonuje wraz z obracającym się kołem samochodu (okres obiegu) wynosi $0, 0625 s$ . Liść wykonuje $16$ obiegów w ciągu jednej sekundy.

Zwróć uwagę, że otrzymane wyniki można zapisać jako liczby odwrotne. Mówimy, że częstotliwość jest odwrotnością okresu.

$f=\frac{1}{T}$

RbJg6OsTf9s252

Ćwiczenie 1

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania. Może przydać się również kalkulator.
Krzesełko karuzeli wykonuje 12 obrotów w czasie 1 minuty. Okres i częstotliwość obrotów są odpowiednio równe:

$T = 5 s, f = 0,2 Hz$ .
$T = 5 s, f = \frac{1}{5} Hz$ .
$T = 0,2 s, f = \frac{1}{5} Hz$ .
$T = 0,2 Hz, f = \frac{1}{5} s$ .
$T = 5 s, f = 0,5 Hz$ .
$T = 5 Hz, f = 0,5 s$ .
$T = \frac{1}{5} s, f = 0,2 Hz$ .
$T = \frac{1}{5} s, f = 0,5 Hz$ .

W ruchu jednostajnym prostoliniowym ciało porusza się ze stałą prędkością, a jej punkt przyłożenia, kierunek, zwrot i wartość nie ulegają zmianie. Czy prędkość, rozumiana jako wielkość wektorowa, będzie się zmieniać, jeśli torem ruchu stanie się okrąg, a wartość prędkości będzie stała?

Uruchom symulację.

RPvl8OGOX5bio

Prędkość w ruchu po okręgu
Źródło: Tomorrow Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Za pomocą myszki umieść żeton na obracającej się płycie. Następnie naciśnij przycisk: „Pokaż wektor prędkości” i obserwuj jego zachowanie. Zmień położenie żetonu. Ponownie wybierz opcję „Pokaż wektor prędkości”. Czynność powtórz trzykrotnie. Możesz także zmienić prędkość wirowania płyty za pomocą suwaka i ponownie przyjrzeć się wektorowi prędkości żetonu.

RJnTJvLbe08xf1

Ćwiczenie 2

Uzupełnij luki po wykonaniu poleceń. Kliknij w lukę, aby wyświetlić listę rozwijalną i wybierz poprawne wyrażenie. W ruchu po okręgu o stałym promieniu i stałej liczbie obrotów tarczy w jednostce czasu, nie zmienia się 1. są stałe, 2. punkt przyłożenia, 3. nie zmienia się, 4. wprost, 5. równoległy, 6. jest większa, 7. zmieniają się, 8. odwrotnie, 9. zależy, 10. zwrot, 11. jest mniejsza, 12. kierunek, 13. wartość, 14. nie zależy, 15. styczny prędkości liniowej owada oraz 1. są stałe, 2. punkt przyłożenia, 3. nie zmienia się, 4. wprost, 5. równoległy, 6. jest większa, 7. zmieniają się, 8. odwrotnie, 9. zależy, 10. zwrot, 11. jest mniejsza, 12. kierunek, 13. wartość, 14. nie zależy, 15. styczny. Kierunek i zwrot prędkości 1. są stałe, 2. punkt przyłożenia, 3. nie zmienia się, 4. wprost, 5. równoległy, 6. jest większa, 7. zmieniają się, 8. odwrotnie, 9. zależy, 10. zwrot, 11. jest mniejsza, 12. kierunek, 13. wartość, 14. nie zależy, 15. styczny. Wektor prędkości owada jest 1. są stałe, 2. punkt przyłożenia, 3. nie zmienia się, 4. wprost, 5. równoległy, 6. jest większa, 7. zmieniają się, 8. odwrotnie, 9. zależy, 10. zwrot, 11. jest mniejsza, 12. kierunek, 13. wartość, 14. nie zależy, 15. styczny do okręgu, po którym porusza się ciało. Przy stałej liczbie obrotów tarczy w jednostce czasu prędkości wirowania, wartość prędkości, widoczna jako długość wektora, 1. są stałe, 2. punkt przyłożenia, 3. nie zmienia się, 4. wprost, 5. równoległy, 6. jest większa, 7. zmieniają się, 8. odwrotnie, 9. zależy, 10. zwrot, 11. jest mniejsza, 12. kierunek, 13. wartość, 14. nie zależy, 15. styczny od promienia okręgu. Im ciało znajduje się dalej od środka okręgu, tym wartość jego prędkości 1. są stałe, 2. punkt przyłożenia, 3. nie zmienia się, 4. wprost, 5. równoległy, 6. jest większa, 7. zmieniają się, 8. odwrotnie, 9. zależy, 10. zwrot, 11. jest mniejsza, 12. kierunek, 13. wartość, 14. nie zależy, 15. styczny. Wartość prędkości liniowej jest 1. są stałe, 2. punkt przyłożenia, 3. nie zmienia się, 4. wprost, 5. równoległy, 6. jest większa, 7. zmieniają się, 8. odwrotnie, 9. zależy, 10. zwrot, 11. jest mniejsza, 12. kierunek, 13. wartość, 14. nie zależy, 15. styczny proporcjonalna do promienia okręgu.

Uzupełnij luki po wykonaniu poleceń.

nie zależy, zwrot, punkt przyłożenia, odwrotnie, wartość, zmieniają się, są stałe, równoległy, kierunek, nie zmienia się, styczny, jest mniejsza, zależy, jest większa, wprost

W ruchu po okręgu o stałym promieniu i stałej liczbie obrotów tarczy w jednostce czasu, nie zmienia się ...................................... prędkości liniowej owada oraz ....................................... Kierunek i zwrot prędkości ....................................... Wektor prędkości owada jest ...................................... do okręgu, po którym porusza się ciało. Przy stałej liczbie obrotów tarczy w jednostce czasu prędkości wirowania, wartość prędkości, widoczna jako długość wektora, ...................................... od promienia okręgu. Im ciało znajduje się dalej od środka okręgu, tym wartość jego prędkości ....................................... Wartość prędkości liniowej jest ...................................... proporcjonalna do promienia okręgu.

Prędkość, którą rozważaliśmy, jest nazywana prędkością liniowąprędkość liniowaprędkością liniową.

W każdym ruchu jednostajnym, wartość prędkości można obliczyć dzieląc przebytą drogę przez czas trwania ruchu:

v = \frac{s}{t}

W ruchu jednostajnym po okręgu o promieniu $r$ przebyta droga podczas jednego obiegu jest równa długości okręgu, czyli:

s = 2 π r

Czas potrzebny na pokonanie takiej drogi to okres ruchu po okręgu $T$ . Zatem wzór na prędkość liniową w ruchu jednostajnym po okręgu przyjmie postać:

$v = \frac{2 π r}{T}$
gdzie:
$v [\frac{m}{s}]$ – prędkość liniowa;
$r [m]$ – promień okręgu;
$T [s]$ – okres.

Prędkość liniowa w ruchu po okręgu jest wprost proporcjonalna do jego promienia i odwrotnie proporcjonalna do okresu. Pamiętając o zależności między okresem $T$ , a częstotliwością $f$ ( $f = \frac{1}{T}$ ) możemy do wzoru na prędkość liniową wstawić częstotliwość. Otrzymamy wtedy:

v = 2 π r f

Ciekawostka

Do opisu ruchu po okręgu fizycy posługują się jeszcze prędkością kątową. Podczas obiegu ciała po okręgu ciało i środek okręgu są połączone odcinkiem. Zakreśla on pewien kąt $α$ . W czasie pełnego okresu $T$ zakreślany jest kąt $360 °$ . Jeśli wybierzemy dowolny przedział czasu $t$ , to prędkość kątowa jest stosunkiem zakreślonego kąta $α$ do czasu, w którym ten kąt został zakreślony:

R9JFfHmogsWvI

Ilustracja przedstawia czarny okrąg na białym tle. Niebieskim kolorem mamy zaznaczany wycinek koła o kącie alfa. — Prędkość kątowa to stosunek kąta $α$ zakreślonego przez promień wodzący do czasu, w którym został zakreślony
Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

ω = \frac{α}{t}

gdzie:
$ω$ – prędkość kątowa;
$α$ – zakreślony kąt;
$t$ – czas.

Przykład 2

Bęben pralki mający promień $25 cm$ wykonuje $1200$ obrotów na minutę.

Oblicz okres obrotu i częstotliwość obrotów bębna.
Oblicz wartość prędkości liniowej dla punktu położonego w odległości $25 cm$ od osi obrotu bębna.

Rozwiązanie:

Bęben wykonuje $1200$ obrotów w czasie $1$ minuty, czyli $60$ sekund. Ile obrotów wykona w czasie $1$ sekundy? Ile będzie wynosił czas jednego obrotu (okres)?

$1200 obrotów : 60 s = 20 \frac{o b r o t ó w}{s}$ , co oznacza, że $f = 20 H z$ . Skoro $T = \frac{1}{f}$ , to $T = \frac{1}{20} s$ , czyli $0, 05 s$ .

Prędkość liniowa jest równa $v = \frac{2 π r}{T}$ lub $v = 2 π r f$ . Jeśli skorzystamy z drugiego wzoru, otrzymamy:
$v = 2 π \cdot 0, 25 m \cdot 20 H z = 2 \cdot 3, 14 \cdot 0, 25 \cdot 20 \frac{m}{s} = 31, 4 \frac{m}{s}$

Odpowiedź:

Częstotliwość obrotów wynosi $20 Hz$ , a okres jednego obrotu to $0, 05 s$ .
Punkt położony w odległości $25 cm$ od osi bębna porusza się z prędkością $31, 4 \frac{m}{s}$ .

Przykład 3

Krzesełko karuzeli wykonuje $15$ obrotów w ciągu minuty. Oblicz wartość prędkości liniowej, z jaką porusza się dziecko siedzące na krzesełku w odległości $4 m$ od osi obrotu.
Rozwiązanie:
Prędkość liniową można obliczyć ze wzoru: $v = 2 π r f$ lub $v = \frac{2 π r}{T}$ . Ponieważ ramię karuzeli jest promieniem okręgu, po którym porusza się dziecko, to musimy jedynie obliczyć okres obiegu lub częstotliwość.

Jeżeli krzesełko z dzieckiem wykonuje $15$ obiegów w czasie $60$ sekund, to czas jednego obiegu wynosi $T = \frac{60 s}{15}$ , czyli $4 s$ . Wartość prędkości liniowej wynosi zaś $v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 \cdot π \cdot 4 m}{4 s} = 6, 28 \frac{m}{s}$ .

Jeśli chcemy skorzystać z zależności $v = 2 π r f$ , musimy obliczyć najpierw częstotliwość. Wprawdzie jest ona podana, ale nie w czasie $1$ sekundy, lecz $1$ minuty. Ponieważ minuta ma $60$ sekund, w ciągu $1$ sekundy krzesełko będzie poruszać się z częstotliwością $f = \frac{15}{min} = \frac{15}{60 s} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{s}$ ; $f = \frac{1}{4} H z$ .
Resztę obliczeń wykonaj samodzielnie.

R1IYKLpfkss9D1

Ćwiczenie 3

Uzupełnij tekst wybierając właściwą odpowiedź. Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania. Może przydać się również kalkulator.
Kamień przymocowano do sznurka o długości

50 cm

i wprawiono w ruch po okręgu w płaszczyźnie pionowej. W czasie

1

minuty kamień wykonywał

30

obiegów.
Okres obiegu kamienia wynosi 1.

15,7\frac{m}{s}

, 2.

3 \frac{m}{s}

, 3.

2 Hz

, 4.

\frac{1}{s}

, 5.

0,5

sekundy, 6.

2

sekundy, 7.

0,5Hz

\frac{1}{2} Hz

, 8.

157 \frac{m}{s}

, 9.

\frac{m}{s}

, 10.

1,57\frac{m}{s}

. Jego częstotliwość to 1.

15,7\frac{m}{s}

, 2.

3 \frac{m}{s}

, 3.

2 Hz

, 4.

\frac{1}{s}

, 5.

0,5

sekundy, 6.

2

sekundy, 7.

0,5Hz

\frac{1}{2} Hz

, 8.

157 \frac{m}{s}

, 9.

\frac{m}{s}

, 10.

1,57\frac{m}{s}

. Jednostką częstotliwości jest herc, który jest równy 1.

15,7\frac{m}{s}

, 2.

3 \frac{m}{s}

, 3.

2 Hz

, 4.

\frac{1}{s}

, 5.

0,5

sekundy, 6.

2

sekundy, 7.

0,5Hz

\frac{1}{2} Hz

, 8.

157 \frac{m}{s}

, 9.

\frac{m}{s}

, 10.

1,57\frac{m}{s}

. Mając te dane możemy obliczyć także prędkość liniową kamienia. Wynosi ona 1.

15,7\frac{m}{s}

, 2.

3 \frac{m}{s}

, 3.

2 Hz

, 4.

\frac{1}{s}

, 5.

0,5

sekundy, 6.

2

sekundy, 7.

0,5Hz

\frac{1}{2} Hz

, 8.

157 \frac{m}{s}

, 9.

\frac{m}{s}

, 10.

1,57\frac{m}{s}

RVwliFhLoE31n2

Ćwiczenie 4

Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania.
Wskaż wzór (lub wzory), które pozwolą obliczyć promień okręgu.

$r = \frac{v \cdot T}{2 π}$
$r = \frac{v}{2 π f}$
$r = \frac{T}{2 π v}$
$r = \frac{2 π T}{v}$
$r = \frac{2 π v}{T}$
$r = \frac{vf}{2 π}$
$r = \frac{2 π v}{f}$
$r = \frac{f}{2 π v}$
$r = \frac{v}{2 π T}$
$r = \frac{2 π f}{v}$

Podsumowanie

Do opisu ruchu po okręgu posługujemy się pojęciami „okres obiegu” i „częstotliwość”. Okresem $T$ nazywamy czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obiegu po okręgu. Częstotliwością $f$ nazywamy liczbę pełnych obiegów wykonywanych w jednostce czasu.
W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości liniowej jest stała, lecz zmieniają się kierunek i zwrot wektora prędkości. Prędkość liniowa jest styczna do okręgu.
Prędkość liniową $v$ obliczamy ze wzoru:
$v = \frac{2 π r}{T}$ lub $v = 2 π r f$ .

Ćwiczenie 5

Znajdź, jaką wartość ma promień równikowy (np. w tablicach fizycznych lub geograficznych, bądź też w internecie). Następnie skorzystaj z poznanych wzorów dotyczących ruchu po okręgu i oblicz prędkość liniową na równiku. Odpowiedź wyraź w $\frac{km}{h}$ .

RbQBth462Mt9X

$R_{z} = 6378 k m$
$v_{z} = \frac{2 π R_{z}}{T_{z}} = \frac{2 π \cdot 6378 k m}{24 h} = 1668, 9 \frac{k m}{h}$

Ciekawostka

W Internecie bądź w tablicach możesz znaleźć prędkość liniową Ziemi na równiku wynoszącą około $1674 \frac{k m}{h}$ . Wartość ta różni się od tej otrzymanej w zadaniu. Wynika to z faktu, że dokładny czas obrotu Ziemi to $23$ godziny $56$ minut i $4$ sekundy. Jednak w celu ułatwienia obliczeń przyjęliśmy, że okres wynosi równe $24$ godziny. Jeśli masz ochotę, możesz powtórzyć obliczenia tym razem podstawiając za okres wartość rzeczywistą.

Ćwiczenie 6

Oblicz prędkość Księżyca na orbicie. Przyjmij, że średnia odległość Księżyca od Ziemi jest równa $385000 k m$ , a czas obiegu odpowiada miesiącowi gwiazdowemu (patrz: Księżyc–naturalny satelitaDvMC4Ads5Księżyc–naturalny satelita). Wynik wyraź w $\frac{km}{s}$ .

RtFHWPkWB4Ke8

Miesiąc gwiazdowy trwa $27$ dni $7$ godzin $43$ minuty oraz $11$ sekund.

$v_{k} = 1, 024 \frac{k m}{s}$

Ćwiczenie 7

RVKXjgSrUUMFE

Słownik

okres

T

okres

T

czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obiegu po okręgu; jednostką okresu jest sekunda $(s)$ .

częstotliwość

f

częstotliwość

f

liczba obiegów po okręgu wykonanych w jednostce czasu; jednostką częstotliwości jest herc $Hz$ .

herc

Hz

herc

Hz

jednostka miary częstotliwości w układzie SI; $1 Hz = \frac{1}{1 s} = 1 s^{- 1}$ .

satelita geostacjonarny

sztuczny satelita przebywający na geostacjonarnej orbicie Ziemi; orbita geostacjonarna to orbita kołowa, która pozwala umieszczonym na niej obiektom (zwykle satelitom telekomunikacyjnym) zachować stałe położenie nad wybranym punktem równika Ziemi.

prędkość liniowa

prędkość styczna do okręgu w każdym punkcie; jej kierunek i zwrot się zmieniają.

Biogram

Heinrich Rudolf Hertz1.01.1894Bonn22.02.1857Hamburg

R8XB5GmJxfnpz

Zdjęcie przedstawia Heinricha Hertza. Mężczyzna w wieku ok. 45 lat. Widoczny prawy półprofil. Twarz pociągła. Nos długi. Czoło wysokie, gładkie. Widoczne oznaki łysienia, włosy ciemne, zaczesane. Oczy ciemne, brwi regularne. Wąsy jasne, rzadkie. Broda gęsta, krótka, porastająca linię żuchwy, podbródek oraz część szyi. Usta lekko rozchylone, wąskie. Uszy średniej wielkości, przylegające. Mężczyzna ubrany w ciemny, prążkowany płaszcz. Spod płaszcza wystaje biała koszula, zapięta pod samą szyję. — Heinrich Hertz
Źródło: Krzysztof Jaworski <Krzysztof.jaworski@up.wroc.pl>.

Heinrich Rudolf Hertz

1857.02.22 Hamburg – 1894.01.1 Bonn

Heinrich Hertz studiował fizykę w Monachium i Berlinie. Po uzyskaniu tytułu doktora był wykładowcą na różnych uczelniach. W Karlsruhe rozpoczął badania nad falami elektromagnetycznymi i skonstruował specjalne urządzenie do ich wzbudzania, tzw. oscylator elektryczny. W $1887$ r. udowodnił istnienie fal elektromagnetycznych. Następnie wykazał, że mają one cechy światła – ulegają zjawiskom odbicia, załamania, interferencji (nakładanie się), dyfrakcji (uginanie się) i polaryzacji. Ponadto udowodnił, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła i mogą być przekazywane na odległość. Odkrył zewnętrzny efekt fotoelektryczny. Aby uhonorować Hertza za te odkrycia, jednostkę częstotliwości w układzie SI nazwano hercem $(Hz)$ .

Heinrich Rudolf Hertz1.01.1894Bonn22.02.1857Hamburg

R8XB5GmJxfnpz

Heinrich Rudolf Hertz

1857.02.22 Hamburg – 1894.01.1 Bonn