Rysowanie i analiza wykresów zależności drogi i prędkości od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym

R2BzqakG7dbbl

Zdjęcie przedstawia tor kolarski. W centralnej części kadru znajduje się grupa zawodników jadących na wprost zdjęcia. W tle w rozmyciu widać ludzi obserwujących sportowe zmagania.

Ruch jednostajny prostoliniowy – wykresy

Ruch jednostajny prostoliniowy oznacza, że ciało w każdej sekundzie przebywa odcinki drogi o równej długości (czyli ma stałą prędkość) i porusza się po linii prostej.

1

Ćwiczenie 1

Poniższa tabela zawiera zależność drogi od czasu dla pewnego ciała.

$t$ $\left[\mathrm{s}\right]$	$s$ $\left[\mathrm{m}\right]$
$2$	$3$
$4$	$6$
$6$	$9$
$8$	$12$
$10$	$15$
$12$	$18$
$14$	$21$
$16$	$24$

Na podstawie tej tabeli sporządź wykres omawianej zależności. Wyjaśnij, dlaczego na wykresie przedstawiony jest ruch jednostajny. Na podstawie wykresu wyznacz wartość prędkości ciała.

R5VLgjvqKcj9Y

Na podstawie tej tabeli opisz wykres omawianej zależności. Wyjaśnij, dlaczego na wykresie przedstawiony jest ruch jednostajny. Wyznacz wartość prędkości ciała.

R12vANtxW2WjW

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Aby wyznaczyć prędkość ciała, wybierz punkt znajdujący się na wykresie. Sprawdź, jaką drogę ciało przebyło do wybranego punktu i ile czasu minęło. Następnie wyznacz prędkość korzystając ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym. 

Pokaż odpowiedź

R1PzMxMsaCGIE

Ilustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do szesnastu, co dwie sekundy. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do dwudziestu czterech, co trzy metry. W układzie współrzędnych zaznaczono punkty (2; 3), (4; 6), (6; 9), (8; 12), (10; 15), (12; 18), (14; 21), (16; 24). Punkty te leżą na prostej. Wykres jest liniowy, rosnący.

Ciało w każdej sekundzie przebywa odcinki drogi o tej samej długości, co świadczy o ruchu jednostajnym. Prędkość wynosi $v=\frac{2}{3}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

2

Ćwiczenie 2

Dwa zabawkowe samochodziki poruszają się po równoległych torach. W pewnej chwili znajdują się obok siebie. Poniższa tabela przedstawia położenia obu samochodzików mierzone od tej chwili.

Położenie samochodzików mierzone od chwili ich spotkania

$t$ $\left[\mathrm{s}\right]$	$s_1$ $\left[\mathrm{m}\right]$	$s_2$ $\left[\text{m}\right]$
$2$	$1$	$2$
$4$	$2$	$4$
$6$	$3$	$6$
$8$	$4$	$8$
$10$	$5$	$10$

1. Na podstawie danych w tabeli sporządź wykresy (w jednym układzie) zależności drogi od czasu dla obu samochodzików.

2. Wyjaśnij, dlaczego dane w tabeli i wykres przedstawiają ruch jednostajny.

3. Na podstawie wykresu wyznacz prędkości obu samochodzików.

4. Czy nachylenie wykresów (kąt pomiędzy osią czasu a wykresem) zależą od wartości prędkości ciała? Jeśli tak, to w jaki sposób?

RqURB1STubOO0

1. Na podstawie danych w tabeli opisz wykresy zależności drogi od czasu dla obu samochodzików.

2. Wyjaśnij, dlaczego dane w tabeli i wykres przedstawiają ruch jednostajny.

3. Wyznacz prędkości obu samochodzików.

4. Czy nachylenie wykresów (kąt pomiędzy osią czasu a wykresem) zależą od wartości prędkości ciała? Jeśli tak, to w jaki sposób?

R11cpvG7FeVPD

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Zastanów się, jak przebiega zależność drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Czy występuje w niej nachylenie, czy jest to zależność stała?

Zauważ, że prędkość samochodzików możesz obliczyć korzystając ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym przyspieszonym.

Pokaż odpowiedź

a.

RCHSxaOM7NT5Q

Ilustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do dziesięciu, co dwie sekundy. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do jedenastu, co jeden metr. W układzie współrzędnych zaznaczono zielone punkty dla samochodzika pierwszego (2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4) i (10; 5), leżące na prostej. Wykres jest liniowy, rosnący. Zaznaczono też niebieskie punkty dla samochodzika drugiego (2; 2), (4; 4), (6; 6), (8; 8) i (10; 10), leżące na innej prostej. Wykres jest liniowy, rosnący. Wykres drogi od czasu dla samochodzika drugiego jest bardziej stromy, niż wykres drogi od czasu dla samochodzika drugiego.

b. Obydwa samochodziki w każdej sekundzie ruchu przebywają odcinki drogi o tej samej długości (różnej dla każdego z samochodzików), co świadczy o stałej wartości prędkości.

c. $v_1=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, $v_2=1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

d. Tak, nachylenie wykresu zależy od wartości prędkości ciała. Im wyższa prędkość ciała tym kąt zawarty pomiędzy osią poziomą a prostą jest większy.

1

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono wykres zależności drogi od czasu dla poruszającego się ciała.

RKr7YbQog4V5v

Ilustracja przedstawia wykres zależności drogi od czasu. Oś odciętych podpisana „t, s”. Oś rzędnych podpisana „s, m”. Wykres łamanej półprostej. Kolor czerwony. Na osiach nie oznaczono skali. Oś odciętych podzielono na etapy: A (najkrótszy), B (najdłuższy) i C. Wykres w etapie A wznosi się stromo w górę. Wykres etapie B biegnie równolegle do osi odciętych. Wykres w etapie C wznosi się łagodnie w górę.

R12AEfwB0N9ob

Na podstawie powyższego wykresu określ, w którym przedziale czasu ($\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ czy $\mathrm{C}$) ciało poruszało się z prędkością o największej wartości. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{A}$, 2. $\mathrm{B}$, 3. $\mathrm{C}$

Na podstawie powyższego wykresu określ, w którym przedziale czasu (A, B czy C) ciało poruszało się z prędkością o największej wartości.

• A
• B
• C

Analiza wykresu zależności prędkości od czasu $v\left(t\right)$ prowadzi do kolejnych interesujących wniosków. Na podstawie wykresu możemy wyznaczyć drogę przebytą przez poruszające się ciało. Jak to zrobić? Dla wybranego przedziału czasowego należy obliczyć pole powierzchni prostokąta utworzonego pod wykresem zależności $v\left(t\right)$.

RumTlszR9I2CJ

Grafika przedstawiająca wykres v(t) (linia prosta równoległa do osi czasu) i zaznaczone boki prostokąta (pole powierzchni pod wykresem zależności v(t) oznaczone jako a i b), zamieniające się na v i t dla odpowiednich boków.

RvYWnAGJJukEt1

Aplikacja posiada możliwość zmiany wartości prędkości pojazdu oraz czasu jego poruszania się. Po ustawieniu tych wartości, widoczny na ekranie samochód zaczyna poruszać się w linii prostej do przodu. W prawym górnym rogu pojawia się wykres zależności prędkości od czasu. Jest on linią prostą, równoległą do osi czasu.

Aplikacja posiada możliwość zmiany wartości prędkości pojazdu oraz czasu jego poruszania się. Po ustawieniu tych wartości, widoczny na ekranie samochód zaczyna poruszać się w linii prostej do przodu. W prawym górnym rogu pojawia się wykres zależności prędkości od czasu. Jest on linią prostą, równoległą do osi czasu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PGxge4ItL

Na podstawie wykresu zależności drogi od czasu $s\left(t\right)$ możemy obliczyć wartość prędkości przemieszczającego się ciała. W jaki sposób to zrobić? Wystarczy odczytać drogę przebytą przez ciało i podzielić ją przez czas jego ruchu.

1

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono wykres zależności drogi od czasu dla poruszającego się ciała.

R1Rl9DcpdDnSL

lustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do ośmiu, co dwie sekundy. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do trzydziestu pięciu, co pięć metrów. Wykres jest liniowy rosnący, przechodzi przez punkty (2; 10) i (6; 30).

R1LCsqlcxd5pd

Przeanalizuj powyższy wykres, a następnie uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując odpowiednią liczbę. Z powyższego wykresu wynika, że ciało poruszało się z prędkością o wartości Tu uzupełnij $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Przeanalizuj powyższy wykres, a następnie uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując odpowiednią liczbę. Z powyższego wykresu wynika, że ciało poruszało się z prędkością o wartości Tu uzupełnij $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Uzupełnij puste miejsce.

Z powyższego wykresu wynika, że ciało poruszało się z prędkością o wartości ............ $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Pokaż podpowiedź

Aby obliczyć prędkość odczytaj z wykresu, jaką drogę przebyło ciało w wybranym przedziale czasu.

2

Ćwiczenie 5

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność prędkości od czasu $v\left(t\right)$ dla ciała poruszającego się ruchem prostoliniowym złożonym, który składa się z trzech etapów. Na poszczególnych etapach prędkość ma stałą wartość.

R46Lpf04pJ05E

Schemat przedstawia wykres zależności wartości prędkości od czasu. Opis osi: oś odciętych opisana „t”; oś rzędnych opisana „v(t)”. Na osiach nie oznaczono skali, widać jednak siatkę kratek. Na osi rzędnych zaznaczono dwie wartości v1 (u góry) i v2 (na dole). P(v1) = (0, 12). P(v2) = (0, 3). Na wykresie narysowano trzy czerwone odcinki, równoległe do osi odciętych. Pierwszy ma początek w punkcie (0, v1), koniec w punkcie (7, v1). Drugi ma początek w punckie (7, v2), koniec w punkcie (12, v2). Trzeci ma początek w punkcie (12, 0), koniec w punkcie (16, 0).

Narysuj wykres zależności drogi od czasu $s\left(t\right)$ dla ruchu tego ciała. Uwzględnij wszystkie etapy. Przyjmij, że $1$ kratka na wykresie to $1$ sekunda na osi poziomej i $1$ metr na sekundę na osi pionowej.

RR26B5tdqmTNg

Opisz wykres zależności drogi od czasu $s\left(t\right)$ dla ruchu tego ciała. Uwzględnij wszystkie etapy.

RH2sHKMHUyTwf

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Aby obliczyć drogę, przekształć wzór na prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Ile trwają odcinki czasu, w których prędkość jest stała?

Pokaż odpowiedź

R1BX747vAib8L

Ilustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do szesnastu co jedną sekundę. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do osiemdziesięciu pięciu, co pięć metrów. Wykres rozpoczyna się w punkcie (0; 0) a kolejne odcinki poprowadzone są kolejno do punktów (1; 10), (2; 20), (3; 30), (4; 40), (5; 50), (6; 60), (7; 70), (12; 85), (16; 85). Zatem między punktami (0; 0) a (7; 70) jest rosnący, między punktami (7; 70) a (12; 85) też jest rosnący, ale mniej stromy, a między punktami (12; 85) a (16; 85) jest płaski.

Podsumowanie

• Ruch jednostajny prostoliniowy przedstawiamy graficznie za pomocą wykresów zależności drogi od czasu $s\left(t\right)$ oraz prędkości od czasu $v\left(t\right)$.

• Wykresy drogi od czasu $s\left(t\right)$ i prędkości od czasu $v\left(t\right)$ są ze sobą ściśle związane.

• Im większy kąt nachylenia wykresu $s\left(t\right)$ do osi czasu, tym większa prędkość, z jaką porusza się ciało.

• Jeśli w badanym przedziale czasu wykres zależności $s\left(t\right)$ będzie linią poziomą, to odpowiadający mu wykres zależności $v\left(t\right)$ będzie przedstawiał prostą leżącą na osi czasu.

• Aby wyznaczyć drogę na podstawie wykresu zależności $v\left(t\right)$ dla wybranego przedziału czasowego, należy obliczyć pole powierzchni prostokąta utworzonego pod wykresem $v\left(t\right)$.

• Wykres zależności drogi od czasu $s\left(t\right)$ pozwala obliczyć prędkość przemieszczającego się ciała. W tym celu należy odczytać z wykresu drogę przebytą przez ciało i podzielić ją przez czas, w którym ta droga została przebyta. Następnie trzeba podzielić odczytaną drogę przez odczytany czas.

Zadania podsumowujące

2

Ćwiczenie 6

Jak będzie wyglądać wykres zależności drogi od czasu, gdy ciało w pierwszych $5$ sekundach ruchu przebyło $2$ metry, w kolejnych $4$ sekundach – $1$ metr i w czasie następnych $8$ sekund – $6$ metrów?

Na podstawie wykresu zależności drogi od czasu narysuj wykres prędkości od czasu dla tego ruchu.

R1Y6X9nWMH21j

Opisz również, jak będzie wyglądał wykres prędkości od czasu dla tego ruchu.

R1Nh04teUZv11

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Aby narysować wykres zależności prędkości od czasu, skorzystaj ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie prostoliniowym. Zwróć uwagę, że czas, jaki podstawisz do wzoru, jest czasem, w jakim ciało przebyło dany odcinek drogi. Niekoniecznie jest to czas całkowitego ruchu ciała. 

Pokaż odpowiedź

Zależność drogi od czasu:

Rm171O6GErQzT

Ilustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do siedemnastu, co jedną sekundę. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do jedenastu, co jeden metr. Wykres rozpoczyna się w punkcie (0; 0), a kolejne odcinki poprowadzone są kolejno do punktów (5; 2), mniej stromo do punktu (9; 3), bardziej stromo do punktu (17; 9).

Zależność prędkości od czasu:

R87GhyxIX5TS6

Ilustracja przedstawia wykres prędkości od czasu. Na osi iks odłożony jest czas w sekundach, skala jest od zera do siedemnastu, co jedną sekundę. Na osi igrek odłożona jest prędkość w metrach na sekundę. Skala jest od zera do jednego, co pięć setnych metra. Wykres rozpoczynaja się w punkcie (0; 0,40), biegnie równolegle do osi iks do punktu (5; 0,40), przerywaną linią opada pionowo w dół do punktu (5; 0,25), linią ciągłą do punktu (9; 0,25), linią przerywaną do (9; 0,75) i ciągłą do (17; 0,75).

2

Ćwiczenie 7

Wykres zależności prędkości od czasu ruchu składa się z trzech kolejnych etapów.

1. Ciało poruszało się z prędkością o wartości $4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ w czasie $10$ minut.

2. Ciało poruszało się z prędkością o wartości $1,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ w czasie $2$ minut.

3. Ciało poruszało się z prędkością o wartości $5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ w czasie $6$ minut.

Narysuj go. Narysuj również odpowiedni wykres zależności drogi od czasu dla tego ruchu.

R4wZRqWXBkaag

Opisz, jak wygląda ten wykres oraz odpowiadający mu wykres zależności drogi od czasu dla tego ruchu.

R1KQUd8inxdu4

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Aby narysować wykres drogi od czasu, przekształć wzór na prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

Pokaż odpowiedź

Zależność prędkości od czasu:

R1R5sAz0DMroU

Ilustracja przedstawia wykres prędkości od czasu. Na osi iks odłożony jest czas w sekundach, skala jest od zera do tysiąca osiemdziesięciu, co sto dwadzieścia sekund. Na osi igrek odłożona jest prędkość w metrach na sekundę. Skala jest od zera do pięciu, co jeden metr. Wykres rozpoczynaja się w punkcie (0; 4), biegnie równolegle do osi iks do punktu (600; 4), przerywaną linią opada pionowo w dół do punktu (600; 1,5), linią ciągłą do punktu (720; 1,5), linią przerywaną do (720; 5) i ciągłą do (1080; 5).

Zależność drogi od czasu:

RB2ltypZA8cOC

Ilustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do tysiąca osiemdziesięciu co sto dwadzieścia sekund. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do pięciu tysięcy, dla uproszczenia zaznaczone są tylko interesujące nas punkty. Wykres jest rosnący. Rozpoczyna się w punkcie (0; 0) a jego odcinki poprowadzone są kolejno do punktów (600; 2400), mniej stromo do punktu (720; 2580), bardziej stromo do punktu (1080; 4380).

2

Ćwiczenie 9

Na poniższych rysunkach przedstawiono wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla trzech różnych ciał. Każde z ciał porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, przy czym w pewnym momencie ich prędkość zmienia się.

R4rGveCIpdvQk

Ilustracja przedstawia wykres zależności prędkości od czasu dla trzech ciał: O, M, N. O – kolor niebieski. M – kolor pomarańczowy. N – kolor różowy. Oś odcięty od 0 do 6, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0,0 do 3,0, co 0,5; opisana „v, m/s”. Wykres dla ciała O składa się z dwóch odcinków. Pierwszy: początek (0; 1) i koniec (4; 1,0). Drugi: początek (4; 2,5) i koniec 6; 2,5). Wykres dla ciała M składa się z jednego odcinka. Początek (0; 2,0) i koniec (6; 2,0). Wykres dla ciała N składa się z dwóch odcinków. Pierwszy: początek (0; 3,0) i koniec (4; 3,0). Drugi: początek (4; 0,5) i koniec 6; 0,5).

RHIqJP8t5ezE0

Ilustracja przedstawia wykres zależności drogi od czasu dla trzech ciał: A, B, C. A – kolor czerwony. B – kolor zielony. C – kolor niebeski. Oś odcięty od 0 do 6, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0 do 13, co 1, opisana „s, m”. Wykres dla ciała A przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 12), (6, 13) – koniec. Wykres dla ciała B (tworzący odcinek) przebiega przez następujące punkty: (0,0) - początek; (6, 12) – koniec. Wykres dla ciała C przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 4), (6, 9) – koniec.

RGhyeAWpnrWxI

Połącz w pary wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla tego samego ruchu. $\mathrm{M}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{O}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{N}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$

Połącz w pary wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla tego samego ruchu. $\mathrm{M}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{O}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{N}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$

Połącz w pary wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla tego samego ruchu.

B, A, C

M
O
N