Temat

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

IV. Układy równań. Uczeń:

1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozwiązuje układy równań metodą przeciwnych współczynników.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Debata za i przeciw.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Wskazany przez nauczyciela uczeń przypomina dotychczas poznane wiadomości na temat układów równań. Wymienia rodzaje układów równań ze względu na liczbę rozwiązań i podaje odpowiednie przykłady.

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą rozwiązywać układy równań metodą przeciwnych współczynników.

Nauczyciel na kilka dni przed lekcją, prosi dwóch uczniów o przygotowanie się do debaty za i przeciw, oraz pełnienie roli moderatorów – ekspertów w trakcie jej trwania. Uczniowie ci przygotowują w domu kilka przykładów opisujących rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują samodzielnie korzystając z komputerów Ich zadaniem jest obserwacja rozwiązania zadania metodą przeciwnych współczynników.

[Slideshow]

Debata za i przeciw

Nauczyciel przedstawia temat debaty i określa jej zasady. Debata ma na celu analizę przykładowych rozwiązań układów równań. Moderatorzy – eksperci przedstawiają kolejno przygotowane przez siebie przykłady. Inicjują dyskusję - czy podany sposób rozwiązania układu równań jest efektywny, przyjazny dla uczniów, czy sprzyja popełnianiu błędów, a może odwrotnie, itp.

Moderatorzy kierują dyskusją - przydzielają lub odbierają głos w przypadku zbyt długich wypowiedzi, lub wypowiedzi nie na temat. Dyskusja nad przykładem trwa ok. 4 minut, następnie analizowany jest kolejny przykład.

W debacie bierze udział ok. 10 uczniów, pozostali pełnią rolę obserwatorów.

O tym, czyje argumenty okazały się bardziej przekonujące decydują obserwatorzy.

Wnioski uczniów

Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układu równań polega na tym, aby po dodaniu lub odjęciu równań stronami wyeliminować jedną z niewiadomych i otrzymać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.  

Polecenie 1
Rozwiąż układ równań metodą podstawiania i metodą przeciwnych współczynników.

a. $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-2y=-1\end{array}\right.$

b. $\left\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ x-2y=3\end{array}\right.$

c. $\left\{\begin{array}{l}x+2y=-4\\ x-2y=0\end{array}\right.$

Polecenie 2
Janek i Maciek zbierają zakładki do książek. Razem mają ich 57. Jeżeli Janek odda Maćkowi 7 zakładek, to obaj chłopcy będą mieli po tyle samo zakładek. Oblicz, po ile zakładek ma każdy z chłopców. Zapisz odpowiedni układ równań i rozwiąż go metodą przeciwnych współczynników.

Polecenie 3
Jaki rodzaj układu równań otrzymamy, jeżeli rozwiązując układ równań metodą przeciwnych współczynników otrzymamy równanie postaci
-4x - 4x – 2 = -2?

Polecenie 4
Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.

a. $\left\{\begin{array}{l}2x+y=2\\ 5x-3y=-1\end{array}\right.$

b. $\left\{\begin{array}{l}7x+2y=4\\ 2x+5y=2\end{array}\right.$

c. $\left\{\begin{array}{l}2x+5y=-2\\ 3x-2y=5\end{array}\right.$

Polecenie dla chętnych
Stanisław kupił dwie koszule i spodenki, za które zapłacił 150 zł. Ignacy kupił takie same ubrania na wyprzedaży. Za koszulę zapłacił o 20% mniej, a za spodenki o 10% mniej i wydał razem 127 zł. Ile kosztowała przed wyprzedażą koszula, a ile spodenki? Zapisz odpowiedni układ równań i rozwiąż go metodą przeciwnych współczynników.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układu równań polega na tym, aby po dodaniu lub odjęciu równań stronami wyeliminować jedną z niewiadomych i otrzymać równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.