Temat

Działania na potęgach o wykładniku naturalnym

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

I. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:

1) zapisuje iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim;

2) mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach całkowitych dodatnich;

3) mnoży potęgi o różnych podstawach i jednakowych wykładnikach;

4) podnosi potęgę do potęgi.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Wykonywanie działań na potęgach o wykładniku naturalnym.

2. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych zawierających potęgi.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wykonuje działania na potęgach o wykładniku naturalnym,

- przekształca wyrażenia algebraiczne zawierające potęgi.

Metody kształcenia

1. Odwrócona klasa.

2. Praca w grupach.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przed zajęciami powinni poszukać w dostępnych źródłach informacji, sposobu wyznaczania ostatniej cyfry potęg liczb jednocyfrowych o wykładnikach naturalnych.

Zajęcia rozpoczyna przypomnienie kolejności wykonywania działań na wyrażeniach algebraicznych.

Realizacja lekcji

Polecenie
Uczniowie, korzystając z komputera, przypominają sobie sposób dzielenia potęg o wykładnikach naturalnych.

[Slideshow]

Uczniowie w grupach zapisują wszystkie wzory twierdzeń dotyczących działań na potęgach o wykładnikach naturalnych. Grupa, która jako pierwsza, poprawnie wypisze wszystkie wzory, otrzymuje plusy.

Definicja - wzory dotyczące działań na potęgach.

Jeśli a jest liczbą różną od zera, n jest liczbą naturalną dodatnią, to:

- $a^n\cdot a^m=a^{n+m},$

- $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m},n>m,$

- ${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m},$

- $a^n\cdot b^n={(a\cdot b)}^n,$

- $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n.$

Jedna z grup prezentuje metodę obliczania ostatniej cyfry liczby $2^n$ 
($n$ – liczba naturalna dodatnia).

Wzorując się na tej metodzie, uczniowie rozwiązują zadanie.

Polecenie
Podaj ostatnią cyfrę liczby.

a) $2^{24}$

b) $3^{21}$

c) $5^{43}$

Uczniowie wykorzystują w zadaniach wiadomości o potęgach.

Polecenie
Oblicz, korzystając z twierdzenia o iloczynie potęg o tych samych wykładnikach.

a) $1,5^4·2^5$

b) $0,1^3·{10}^4$

c) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2·{25}^3$

Polecenie
Oblicz wartość liczbową wyrażenia.

a) ${\left(2a^2\right)}^3:{\left(\frac{1}{4}{a}^2\right)}^2$ dla $a=-2$

b) ${\left(4x^0{y}^4\right)}^5:{\left(2x^{3}y\right)}^4$ dla $x=-1$ i $y=-\frac{1}{2}$

c) ${\left(\frac{4a^2}{5b}\right)}^3·{\left(\frac{5b^2}{a}\right)}^3$ dla $a=-\frac{1}{3}$ i $b=-1$

Polecenie
Zapisz dwoma sposobami potęgę $2^{25}$ w postaci iloczynu potęg o.

a) Tych samych wykładnikach.

b) Tych samych podstawach.

Polecenie
Uzupełnij podstawę potęgi.

a) ${\left(3x\right)}^2\cdot x^2=..{.}^2$

b) ${\left(y^3\right)}^4\cdot {\left(y\right)}^3=..{.}^3$

c) ${\left(2x\right)}^3\cdot {\left(5x\right)}^3=..{.}^3$

d) ${\left(y^2\right)}^5\cdot {\left(y\right)}^5=..{.}^5$

Wybrana przez nauczyciela grupa prezentuje rozwiązania. Nauczyciel ocenia pracę grupy. Grupa, która poprawnie rozwiąże również zadanie dla chętnych, otrzymuje ocenę celującą.

Polecenie dla chętnych:
Uzasadnij, że liczba $2^{12}+2^{11}+2^9$ jest podzielna przez 13.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania.

Wzory dotyczące działań na potęgach o wykładnikach naturalnych dodatnich i podstawach różnych od zera:

- $a^n\cdot a^m=a^{n+m},$

- $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m},n>m,$

- ${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m},$

- $a^n\cdot b^n={(a\cdot b)}^n,$

- $\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n.$