Temat

Pojęcie ciągu

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VI. Ciągi. Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach:

a) $\left\{\begin{array}{l}{a}_1=0,001\\ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2}{a}_n\left(1-a_n\right)\end{array}\right.$

b)$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_2=1\\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\end{array}\right.$

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Określanie własności ciągu liczbowego.

3. Znajdowanie wyrazów ciągu.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa własności ciągu liczbowego,

- znajduje wyrazy ciągu liczbowego.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, metodą niedokończonych zdań, przypominają sobie podstawowe wiadomości na temat funkcji.

- Funkcją nazywamy takie przyporządkowanie…

- Dziedziną funkcji nazywamy…

- Zbiorem wartości funkcji nazywamy…

- Funkcję można opisać kilkoma sposobami np. …

- Wykresem funkcji nazywamy…

Po zakończonym ćwiczeniu nauczyciel porządkuje wiadomości uczniów i wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie poznanie własności funkcji, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie. Taka funkcja zwana jest ciągiem.

Definicja ciągu

Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy (aIndeks dolny n_n).

Uczniowie, pracując w grupach, zastanawiają się nad sposobami opisywania ciągów.

Polecenie

Zastanów się, w jaki sposób możemy opisać ciąg. Pamiętaj, że ciąg jest funkcją. Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wniosek:

Ciąg, podobnie jak każdą funkcję, można opisać słownie, za pomocą tabelki, wzorem, wykresem, w postaci uporządkowanych par.

Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują wykresy ciągów.

Polecenie

[Geogebra aplet]

Przeanalizuj materiał zawarty w aplecie. Naszkicuj fragmenty wykresów ciągów o podanych wzorach:

a) aIndeks dolny n_n = 3 - n,

b) aIndeks dolny n_n = -4 + 2n,

c) aIndeks dolny n_n = (-1)Indeks górny nⁿ - n,

d) aIndeks dolny n_n = 2n - 2Indeks górny nⁿ,

e) aIndeks dolny n_n = nIndeks górny 2² - 2n +3.

Co zauważasz? Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wniosek:

Wykres ciągu liczbowego rysuje się analogicznie jak wykres odpowiedniej funkcji. Wykres nie jest linią ciągłą, ale jest zbiorem punktów.

Uczniowie pracując samodzielnie, wykorzystują zdobyte wiadomości do rozwiązywania zadań.

Polecenie

Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu ($a_n$) oraz wyraz $a_{11}$:

a) $a_n=\frac{n^2}{n+2}$,

b) $a_n=\frac{-2}{n(n+3)}$,

c) $a_n=n^4-n^3$.

Polecenie

Sporządź wykres ciągu aIndeks dolny n_n= 2n - 1, wiedząc, że n∈N i 1 ≤ n ≤ 10.

Polecenie dla chętnych

Zbadaj, które wyrazy $a_n=\frac{n+13}{n-2}$ są liczbami całkowitymi.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wspólnie wykonują ćwiczenia utrwalające. Formułują wnioski do zapamiętania.

- Ciągiem nazywamy funkcję, określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich.

- Wartości tej funkcji dla kolejnych liczb naturalnych nazywamy wyrazami ciągu.