Temat

Wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${(a+b)}^2,{(a-b)}^2,a^2-b^2,{(a+b)}^3,{(a-b)}^3,a^3-b^3,a^n-b^n.$

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

3. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia stopnia drugiego.

Efekty uczenia

Uczeń:

- przekształca wyrażenia algebraiczne,

- wykorzystuje wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, metodą niedokończonych zdań, przypominają poznane dotychczas wiadomości na temat wyrażeń algebraicznych i sposobów wykonywania działań na wyrażeniach algebraicznych.

Polecenie
Zdania, które należy dokończyć:

- Wyrażeniem algebraicznym nazywamy …

- Jednomian to wyrażenie algebraiczne zbudowane z …

- Suma jednomianów to …

- Nazwa wyrażenia algebraicznego pochodzi od nazwy działania, które wykonujemy jako …

- Wyrazami podobnymi nazywamy jednomiany, które …

Nauczyciel weryfikuje wypowiedzi uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie wzorów skróconego mnożenia stopnia drugiego.

Polecenie
Uczniowie, pracując w zespołach dwuosobowych, analizują materiał przedstawiony w Ilustracji interaktywnej. Stawiają hipotezy. Formułują wniosek.

[Ilustracja interaktywna 1]

Wniosek:

- Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń, zwiększonej  o ich podwojony iloczyn.

Dyskusja – czy można, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy, obliczyć kwadrat różnicy dwóch wyrażeń? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek, który powinni wyprowadzić uczniowie:

- Jeżeli do wzoru ${(x+y)}^2$ wstawimy w miejsce y liczbę (-y), to otrzymamy wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
${[x+(-y)]}^2=x^2+2x(-y)+{(-y)}^2=x^2-2xy+y^2.$

Uczniowie, pracując samodzielnie, rozwiązują zadania korzystając z poznanych wzorów.

Polecenie
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, oblicz.

a) 98Indeks górny 2²

b) 102Indeks górny 2²

c) 199Indeks górny 2²

Polecenie
Oblicz.

a) ${(\sqrt{3}+3)}^2$

b) ${(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}^2$

c) ${(\sqrt{3}-3)}^2$

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w Ilustracji interaktywnej. Stawiają hipotezy. Formułują wniosek.

[Ilustracja interaktywna 2]

Wniosek, który powinni wyprowadzić uczniowie:

- Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę  jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Uczniowie, pracując samodzielnie, rozwiązują zadania.

Polecenie
Oblicz, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

a) $101\cdot 99$

b) $1002·998$

c) $590·610$

Polecenie
Oblicz.

a) $(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)$

b) $(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})$

c) $(5\sqrt{3}+6)(5\sqrt{3}-6)$

Polecenie
Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla podanej wartości zmiennej.

a) $(2-3y)(2+3y)-{(2-y)}^2$ dla $y = 0,5$

b) $3{(2-3x)}^2-(\sqrt{2}-\sqrt{3x})(\sqrt{2}+\sqrt{3x})(2+3x)$ dla $y=2\sqrt{2}$

Polecenie
Wykaż, że wartość wyrażenia $\left(\sqrt{5}-x\right)\left(\sqrt{5}+x\right)-\frac{1}{2}\left(5-2x^2\right)$ nie zależy od wartości zmiennej x.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań, uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia ich prace, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Uzasadnij, że poniższa równość jest prawdziwa.

a) ${(5a+2b)}^2-{(5a-2b)}^2=100ab$

b) $(a+2b{)}^2+(a-2b{)}^2=2(a^2+4b^2)$

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń, zwiększonej o ich podwojony iloczyn.

- Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń, zmniejszonej o ich podwojony iloczyn.

- Iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę  jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń.