Temat

Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);

2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;

3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;

12) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x - a),

y = f(x)+b, y =  - f(x), y = f( - x);

14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Określanie własności funkcji wykładniczej.

2. Szkicowanie na podstawie wykresu funkcji y = f(x) wykresów funkcji y = f(x - a), y = f(x)+b, y = - f(x), y = f( - x).

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

uczeń:

- określa własności funkcji wykładniczej,

- na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji: y = f(x - a), y = f(x)+b, y = - f(x), y = f( - x).

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Stacje eksperckie.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca z całą klasą.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Sześciu uczniów tworzy trzy grupy eksperckie i przygotowuje przed lekcją informacje na jeden temat, wybrany z poniższych.

I. Funkcja wykładnicza - wzór ogólny, wykres.

II. Własności funkcji wykładniczej.

III. Przekształcenia wykresów funkcji.

Realizacja lekcji

Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.

Informacje , które powinny znaleźć się w prezentacjach grup eksperckich.

I GRUPA EKSPERTÓW
Funkcja wykładnicza - wzór ogólny, wykres.

Wzór ogólny funkcji wykładniczej: $f\left(x\right)=a^x$ , gdzie $x\in R$, a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.

[Ilustracja 1]

[Ilustracja 2]

II GRUPA EKSPERTÓW
Własności funkcji wykładniczej:

- dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
- zbiorem wartości jest przedział (0,+∞),
- asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y=0
- nie ma miejsc zerowych,
- jest monotoniczna, przy czym gdy a>1, to funkcja f jest rosnąca, a gdy 0<a<1, to funkcja jest malejąca,
- jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,
- wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0,1).

III GRUPA EKSPERTÓW
Przekształcenia wykresów funkcji.

- Przesuwając wykres funkcji y = f(x) przez o p jednostek wzdłuż osi OX zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji y = f(x - p).
- Przesuwając wykres funkcji y = f(x) przez o q jednostek wzdłuż osi OY zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji y = f(x)+q.
- Przekształcając wykres funkcji y = f(x) przez symetrię osiową względem osi OX, otrzymujemy wykres funkcji y = - f(x).
- Przekształcając wykres funkcji y = f(x) przez symetrię osiową względem osi OY, otrzymujemy wykres funkcji y = f(-x).
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest przeanalizowanie, jak zmienia się wykres funkcji wykładniczej w omawianych przekształceniach.

[Geogebra applet]

Po zakończonym ćwiczeniu uczniowie zapisują wzory funkcji uzyskanych w przedstawionych przekształceniach.

- Przesuwając wykres funkcji $y=a^x$ przez o p jednostek wzdłuż osi OX zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a^{x-p}$.
- Przesuwając wykres funkcji $y=a^x$ przez o q jednostek wzdłuż osi OY zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a^x+q$.
- Przekształcając wykres funkcji $y=a^x$ przez symetrię osiową względem osi OX, otrzymujemy wykres funkcji $y=-a^x$.
- Przekształcając wykres funkcji $y=a^x$ przez symetrię osiową względem osi OY, otrzymujemy wykres funkcji $y=a^{-x}$.

Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy, które podchodzą do stacji informacyjnych. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez nauczyciela zadania. Eksperci wspierają uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.

Po wykonaniu zadań z danego zakresu, grupy zadaniowe przechodzą do kolejnej stacji.

I GRUPA – zadanie
Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji $f\left(x\right)=3^x$ i $f\left(x\right)=(\frac{1}{3}{)}^x$. Co możesz powiedzieć o wzajemnym położeniu wykresów tych funkcji?

II GRUPA – zadanie
Narysuj wykres funkcji $f\left(x\right)=4^x$ i określ jej własności.

III GRUPA – zadanie
Na wykresie przedstawiono wykres funkcji wykładniczej. Narysuj, na oddzielnych kartkach, wykres funkcji po danym przekształceniu.

Zapisz wzory powstałych funkcji.

Przekształcenia
a. przesunięcie o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX,
b. przesunięcie o 2 jednostki w górę wzdłuż osi OY,
c. symetria względem osi OX,
d. symetria względem osi OY.

[Ilustracja 3]

Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Zadanie dla chętnych
Naszkicuj wykres funkcji $f\left(x\right)=-2^{(x-3)}+4$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

Funkcja wykładnicza jest określona wzorem :
$f\left(x\right)=a^x$, gdzie $x\in R$, a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.

Własności funkcji wykładniczej:
- dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
- zbiorem wartości jest przedział (0,+∞),
- asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y = 0,
- nie ma miejsc zerowych,
- jest monotoniczna, przy czym gdy a>1, to funkcja f jest rosnąca, a gdy 0<a<1, to funkcja jest malejąca,
- jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,
- wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (0,1).

- Przesuwając wykres funkcji $y=a^x$ przez o p jednostek wzdłuż osi OX zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a^{x-p}$.
- Przesuwając wykres funkcji $y=a^x$ przez o q jednostek wzdłuż osi OY zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a^x+q$.
- Przekształcając wykres funkcji $y=a^x$ przez symetrię osiową względem osi OX, otrzymujemy wykres funkcji $y=-a^x$.
- Przekształcając wykres funkcji $y=a^x$ przez symetrię osiową względem osi OY, otrzymujemy wykres funkcji $y=a^{-x}$.