Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

Learning objectives

You will learn to identify properties of the exponential function and to draw plots of functions $y=f(x-a)$, $y=f\left(x\right)+b$, $y=-f\left(x\right)$, $y=f(-x)$ based on the plot of the function $y=f\left(x\right)$.

Learning effect

• You identify properties of the exponential function and draw plots of functions $y=f(x-a)$, $y=f\left(x\right)+b$, $y=-f\left(x\right)$, $y=f(-x)$ based on the plot of the function $y=f\left(x\right)$.

Prepare information divided in the following way:

1. The exponential functions – general formula, plot.

2. Properties of the exponential function.

3. Transformations of the plot of the function.

Check if information you prepared is the same as the following one.

1. The exponential functions – general formula, plot

The general formula of the exponential function: $f\left(x\right)=a^x$, where $x\in R$, a is a set positive number, different than 1.

R1COMhowAh65X1

Wykres funkcji wykładniczych f(x) = 2 do potęgi x w układzie współrzędnych.

R1PjteC6jJ7MM1

Wykres funkcji wykładniczych f(x) = 1/2 do potęgi x w układzie współrzędnych.

2. Properties of the exponential function:

• the domain of the function is the set of all real numbers,

• the range of the function is the interval (0,+∞),

• the asymptote of the function is the line y=0

• there are no roots,

• it is monotonic and if a>1, then the function f is increasing and if 0<a<1, then the function is decreasing,

• it is injective, so each value is taken by only one argument,

• the plot of the function crosses the axis Y in the point (0,1).

3. Transformation of the plot of the function:

• By transforming the plot of the function $y=f\left(x\right)$ by $p$ units along the X axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=f(x-p)$.

• By transforming the plot of the function $y=f\left(x\right)$ by $q$ units along the Y axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=f\left(x\right)+q$.

• By transforming the plot of the function $y=f\left(x\right)$ in axial symmetry with respect to the X axis, we obtain the plot of the function $y=-f\left(x\right)$.

• By transforming the plot of the function $y=f\left(x\right)$ in axial symmetry with respect to the Y axis, we obtain the plot of the function $y=f(-x)$.

Task 1

RPmohsymNJ2To1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Open the applet and analyse how the plot of the exponential function changes in discusses transformations.

RaIwybB6dUYGu1

Aplet geogebry: Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych. Poniżej znajduje się galeria ilustracji stanowiących alternatywę dla apletu.

Aplet geogebry: Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych. Poniżej znajduje się galeria ilustracji stanowiących alternatywę dla apletu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D19ucpf8A

Rtb1fd7YMhNdX1

Rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej y równe dwa do potęgi x.

R1LqBBqj58LSj1

Rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej y równe dwa do potęgi x oraz wykres tej funkcji powstały w wyniku przekształcenia w symetrii względem osi OX.

R1F3EcAhBlPrC1

Rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej y równe dwa do potęgi x oraz wykres tej funkcji powstały w wyniku przekształcenia w symetrii względem osi OY.

RG7i3PKnvrnnV1

Rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej y równe dwa do potęgi x oraz wykres tej funkcji powstały w wyniku przekształcenia w przesunięciu wzdłuż osi OX.

REHOLqBYEMLh11

Rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej y równe dwa do potęgi x oraz wykres tej funkcji powstały w wyniku przekształcenia w przesunięciu wzdłuż osi OY.

After having completed the exercise, write down formulas of functions obtain as a result of presented transformations.

1. By transforming the plot of the function $y=a^x$ by $p$ units along the X axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a^{x-p}$.

2. By transforming the plot of the function $y=a^x$ by $q$ units along the Y axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a^x+q$.

3. By transforming the plot of the function $y=a^x$ in axial symmetry with respect to the X axis, we obtain the plot of the function
   $y=-a^x$.

4. By transforming the plot of the function $y=a^x$ in axial symmetry with respect to the Y axis, we obtain the plot of the function $y=a^{-x}$.

Task 4

RYDETPQRawfoI1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

In the drawing there is the plot of the exponential function. On separate pieces of paper, draw plots of functions after given transformations. Write formulas of obtained functions. 

Transformations:
a. translation by 3 units to the right along the X axis,
b. translation by 2 units up along the Y axis,
c. symmetry with respect to the X axis,
d. symmetry with respect to the Y axis.

R19lHNM1zRjhA1

Wykres funkcji wykładniczych f(x) = 1/3 do potęgi x w układzie współrzędnych.

Remember

• The general formula of the exponential function: $f\left(x\right)=a^x$, where $x\in R$, a is a set positive number, different than 1.

• Properties of the exponential function:

• the domain of the function is the set of all real numbers,

• the range of the function is the interval (0,+∞),

• the asymptote of the function is the line y=0,

• there are no roots,

• it is monotonic and if a>1, then the function f is increasing and if 0<a<1, then the function is decreasing,

• it is injective, so each value is taken by only one argument,

• the plot of the function crosses the axis Y in the point (0,1).

• By transforming the plot of the function $y=a^x$ by p units along the X axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a^{x-p}$.

• By transforming the plot of the function $y=a^x$ by q units along the Y axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a^x+q$.

• By transforming the plot of the function $y=a^x$ in axial symmetry with respect to the X axis, we obtain the plot of the function $y=-a^x$.

• By transforming the plot of the function $y=a^x$ in axial symmetry with respect to the Y axis, we obtain the plot of the function $y=a^{-x}$.

Exercises

Exercise 1

R1BnfdQmE0z1a1

Wykres funkcji wykładniczych f(x) = 3 do potęgi x i g(x) = 3 do potęgi (x - 2) w układzie współrzędnych. Zaznaczony jest także wektor przesunięcia o dwie jednostki w prawo.

RYsRJ7raAqzdS

Wersja alternatywna ćwiczenia: What transformation is presented in the graph? Możliwe odpowiedzi: 1. Symmetry with respect to the X axis., 2. Translation along the X axis., 3. Symmetry with respect to the Y axis., 4. Translation along the Y axis.

Wersja alternatywna ćwiczenia: What transformation is presented in the graph? Możliwe odpowiedzi: 1. Symmetry with respect to the X axis., 2. Translation along the X axis., 3. Symmetry with respect to the Y axis., 4. Translation along the Y axis.

What transformation is presented in the graph?

• Symmetry with respect to the X axis.
• Translation along the X axis.
• Symmetry with respect to the Y axis.
• Translation along the Y axis.

Glossary

Keywords

asymptote of the plot of the exponential functionasymptote of the plot of the exponential functionasymptote of the plot of the exponential function - the line y = $0$
exponential functionexponential functionexponential function – a function defined by the formula $f\left(x\right)=a^x$, where $x\in R$, a is a set positive number, different than 1
injectivenessinjectivenessinjectiveness
monotonicitymonotonicitymonotonicity
$a^x+q$