Temat

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VII. Trygonometria. Uczeń:

4) korzysta z wzorów $sin{\alpha }^2+cos{\alpha }^2=1$, $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie podstawowych zależności między sinusem, cosinusem i tangensem.

3. Stosowanie podstawowych tożsamości trygonometrycznych w zadaniach.

Efekty uczenia

Uczeń:

- zna podstawowe zależności między sinusem, cosinusem i tangensem,

- stosuje podstawowe tożsamości trygonometryczne w zadaniach.

Metody kształcenia

1. Gra dydaktyczna.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Krótki sprawdzian – przypomnienie wiadomości o funkcjach trygonometrycznych. Uczniowie pracują indywidualnie. Nauczyciel pokazuje kolejno plansze z napisami - najpierw sinus, cosinus, tangens, a następnie z wartościami funkcji dla kątów 30°, 45°, 60°. Uczniowie zapisują definicje poszczególnych funkcji oraz miarę kąta, dla którego podana jest wartość funkcji (np. $sin\alpha =0,5,to\alpha =?$). Po skończonym ćwiczeniu, nauczyciel podaje poprawne odpowiedzi, wyjaśnia wątpliwości. Uczniowie dokonują samooceny.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

Polecenie
Przeanalizuj uważnie materiał przedstawiony w pokazie multimedialnym, wyprowadzono w nim związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.

[Slideshow]

Uczniowie powinni zauważyć, że:

- Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ prawdziwe są zależności:

${\left(\sin \alpha \right)}^2+{\left(\cos \alpha \right)}^2=1$

oraz

$\mathrm{tg}\mathrm{}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Nauczyciel informuje uczniów, że powyższe zależności nazywamy tożsamościami  trygonometrycznymi. Pierwsza z nich nazywana jest często jedynką trygonometryczną.

Dyskusja – czy można wyznaczyć wszystkie funkcje trygonometryczne danego kąta ostrego, gdy znamy tylko jedną z nich? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują odpowiedni wniosek.

Wniosek:

- Jeżeli dana jest wartość jednej funkcji trygonometrycznej, to korzystając z tożsamości trygonometrycznych, można wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.

Uczniowie, pracując w grupach, wykorzystują poznane informacje rozwiązując zadania.

Polecenie dla grupy pierwszej
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, jeśli $sin\alpha =\frac{1}{5}.$

Polecenie dla grupy drugiej
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, jeśli $\cos \alpha =\frac{2}{3}$.

Polecenie dla grupy trzeciej
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, jeśli $tg\alpha =3.$

Po rozwiązaniu zadania przedstawiciele poszczególnych grup przekazują uzyskane wyniki i sposób ich osiągnięcia.

Nauczyciel wyjaśnia wątpliwości i ocenia pracę uczniów.

Uczniowie, korzystając z nowych wiadomości, rozwiązują samodzielnie zadania.

Polecenie
Zapisz wyrażenia w prostszej postaci.

a) $cos\alpha ·tg\alpha$

b) $sin\alpha ·{(cos\alpha )}^2+{(sin\alpha )}^3$

c) $\frac{1}{{(sin\alpha )}^2}·[1-{[cos\alpha ]}^2]$

Polecenie
Oblicz wartość wyrażenia $\frac{5sin\alpha -4cos\alpha }{cos\alpha +5sin\alpha }$, jeśli wiadomo, że $tg\alpha =5$.

Polecenie
Oblicz $\mathrm{tg}\mathrm{}\alpha$, jeśli $\alpha \in (0^{\circ },{90}^{\circ })$ i $4{(sin\alpha )}^2=3{(cos\alpha )}^2$.

Polecenie
Oblicz wartość wyrażenia ${\left(\sin \alpha \right)}^3+{\left(\cos \alpha \right)}^3$, jeśli wiadomo, że $sin\alpha +cos\alpha =0,8$.

Polecenie
Zbadaj, czy istnieje kąt $\alpha \in (0°,90°)$, który spełnia następujące warunki.

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{5}$ i $\cos \alpha =\frac{4}{5}$

b) $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ i $\mathrm{tg}\mathrm{}\alpha =2\sqrt{2}$

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia ich prace i wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym oraz $sin\alpha +cos\alpha =\frac{7}{5}$. Oblicz ${\left(\sin \alpha \right)}^4+{\left(\cos \alpha \right)}^4$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wniosek do zapamiętania.

- Jeżeli dana jest wartość jednej funkcji trygonometrycznej, to korzystając z tożsamości trygonometrycznych, można wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.