Temat

Symetralne boków trójkąta

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności.

Cele szczegółowe

1. Usystematyzowanie wiadomości o własnościach symetralnych boków trójkąta.

2. Wykonywanie prostych konstrukcji geometrycznych opartych na konstrukcji symetralnej odcinka.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wykonuje proste konstrukcje geometryczne oparte na bazie konstrukcji symetralnej odcinka,

- stosuje własności symetralnych boków trójkąta do rozwiązywania zadań.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje, że tematem zajęć będą symetralne boków trójkąta i ich własności.

Uczniowie przypominają definicję symetralnej odcinka. Następnie konstruują symetralną odcinka za pomocą cyrkla i linijki.

Definicja – symetralna odcinka.

- Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka przechodząca przez jego środek.

Polecenie
Narysuj dowolny odcinek. Skonstruuj symetralną tego odcinka. Co można powiedzieć o punktach leżących na symetralnej odcinka?

Podsumowaniem części wprowadzającej jest przypomnienie twierdzenia o punkcie leżącym na symetralnej odcinka oraz twierdzenia odwrotnego.

Realizacja lekcji

Twierdzenie – punkty na symetralnej odcinka.

- Jeżeli punkt leży na symetralnej odcinka, to jest równoodległy od końców tego odcinka.

Twierdzenie odwrotne.

- Jeżeli punkt płaszczyzny jest równoodległy od końców odcinka, to leży na symetralnej tego odcinka.

Uczniowie wykonują proste zadania konstrukcyjne korzystając z własności symetralnej odcinka.

Polecenie
Dany jest punkt C i prosta k. Wyznacz konstrukcyjnie prostą prostopadłą do prostej k, przechodzącą przez punkt C.

Polecenie
Dany jest odcinek AB. Wyznacz konstrukcyjnie odcinek długości $\frac{1}{4}$ odcinka AB.

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów. Obserwują jak zmienia się położenie punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta.

Polecenie
Otwórz aplet geogebry: Symetralne boków trójkąta. W trójkącie poprowadzono symetralne boków. Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i odpowiedz na poniższe pytania:
1. Czy zawsze symetralne przecinają się w jednym punkcie?
2. Jak zmienia się położenie punktu przecięcia się symetralnych boków trójkąta w zależności od położenia wierzchołków trójkąta?
3. Czy punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest równoodległy od wierzchołków trójkąta? Dlaczego?

[Geogebra aplet]

Podsumowaniem pracy z apletem powinny być następujące wnioski.

Wnioski:

1. Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

2. Położenie punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta zależy od typu trójkąta:

- W przypadku trójkąta ostrokątnego punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta leży wewnątrz trójkąta.
- W przypadku trójkąta rozwartokątnego punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta leży poza trójkątem.
- W przypadku trójkąta prostokątnego punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta leży na środku przeciwprostokątnej.

3. Punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest równooddalony od wierzchołków trójkąta.

Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując zadania wykorzystujące własności symetralnych boków trójkąta. Następnie rozwiązania są dyskutowane na forum klasy.

Polecenie
Zbuduj trójkąt równoramienny ABC o podstawie 8 cm, w którym 
|AS| = |BS| = |CS| = 6 cm, gdzie S - punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. Opisz kolejne kroki konstrukcji tego trójkąta.

Polecenie
Symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie oddalonym od wierzchołka kąta prostego o 4 cm. Oblicz pole tego trójkąta, jeśli stosunek długości przyprostokątnych wynosi 4:3.

Polecenie dla chętnych
Wykaż, że symetralne boków trójkąta równobocznego ABC o boku a przecinają się w punkcie S takim, że |AS| = |BS| = |CS| = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze zależności do zapamiętania.

- Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, przechodząca przez jego środek.

- Symetralna odcinka jest zbiorem punktów równoodległych od końców odcinka.

- Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równooddalony od wierzchołków trójkąta.