Temat

Równania kwadratowe

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

III. Równania i nierówności.

Uczeń:

4) Rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozwiązuje równania kwadratowe,

- rozwiązuje zadania tekstowe wymagające znalezienia pierwiastków równania kwadratowego.

Metody kształcenia

1. Piramida priorytetów.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie pracując w grupach metodą piramidy priorytetów, przypominają najważniejsze wiadomości na temat równań z jedną niewiadomą.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie  rozwiązywanie równań kwadratowych.

Korzystając z wyników prac w grupach, uczniowie formułują  definicję równania kwadratowego.

Definicja
Równaniem kwadratowym (z niewiadomą x) nazywamy równanie, które można doprowadzić do postaci $a{x}^2+bx+c=0$, przy czym $a,b,c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz $a\ne 0$.

Dyskusja – w jaki sposób można rozwiązać  takie równanie. Uczniowie powinni zauważyć, że rozwiązanie równania kwadratowego sprowadza się do obliczenia miejsc zerowych odpowiedniej funkcji kwadratowej.

Istnienie i liczba rozwiązań równania kwadratowego $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$ zależą więc od znaku wyróżnika $∆=b^2-4ac$ .

Uczniowie wspólnie ustalają treść  twierdzenia o liczbie pierwiastków równania kwadratowego.

Twierdzenie
Równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$ .
- dla $∆$ < 0 nie ma rozwiązań,
- dla $∆$ = 0 ma jedno rozwiązanie: $x_0=\frac{-b}{2a}$,
- dla $∆$ > 0 ma dwa rozwiązania:  $x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$.

Uczniowie wspólnie opracowują algorytm obliczania pierwiastków równania kwadratowego.

[Rysunek1]

Korzystając z powyższego schematu uczniowie  wspólnie  rozwiązują zadania.

Polecenie
Rozwiąż równanie:
a) 3xIndeks górny 2² - 2x - 7 = 0,
b) -36xIndeks górny 2² + 12x - 1 = 0,
c) 4xIndeks górny 2² + 3x + 77 = 0,

Uczniowie analizują aplet, prezentujący sposób rozwiązywania równań kwadratowych niezupełnych, bez wyznaczania wyróżnika, i wyciągają wnioski.

Polecenie
[Geogebra aplet]

Wnioski:
- Równanie $a{x}^2+bx+c=0$, dla $a\ne 0$, $b\ne 0$ ma dwa rozwiązania: $x_1=0$, $x_2=-\frac{b}{a}$.
- Równanie $a{x}^2+bx+c=0$, dla $a·c>0$ nie ma rozwiązania, dla $a·c<0$ ma dwa rozwiązania:
$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}}$, $x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$ ,
- Równanie axIndeks górny 2² = 0 ma jedno rozwiązanie $x_0=0$ .

Uczniowie wykorzystują zdobyte wiadomości, rozwiązując zadania.

Polecenie
Rozwiąż równanie
a) 4xIndeks górny 2² - 25 = 0
b) -xIndeks górny 2² + 6x = 0
c) 2xIndeks górny 2² + 8 = 0

Polecenie
Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych równa się 194. Znajdź  te liczby.

Polecenie
Obwód rombu jest równy 116 cm.  Długości przekątnych tego rombu różnią się o 2 cm. Oblicz pole rombu.

Polecenie dla chętnych
Dla jakich wartości m równanie $x^2-2(m+2)x+4m+5=0$ ma dwa pierwiastki spełniające warunek
$x_2-x_1=2$

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia  utrwalające. Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania:

Równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$.
- dla $∆$ < 0 nie ma rozwiązań,
- dla $∆$ = 0 ma jedno rozwiązanie: $x_0=\frac{-b}{2a}$,
- dla $∆$ > 0 ma dwa rozwiązania:  $x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$.