Temat

Przekroje stożka

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria. Uczeń:

4) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Otrzymywanie i własności przekrojów stożka.

3. Obliczanie elementów stożka z wykorzystaniem przekrojów.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje rodzaje i własności przekrojów stożka,

- oblicza elementy stożka z wykorzystaniem przekrojów.

Metody kształcenia

1. Diamentowe uszeregowanie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, metodą diamentowego uszeregowania porządkują poznane już informacje na temat stożka. Po skończonej pracy prezentują swoje plansze.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie przekrojów stożka i obliczanie elementów stożka z wykorzystaniem przekrojów.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w slideshow. Zwracając uwagę, jakie figury otrzymują, w zależności od kąta nachylenia przekroju stożka płaszczyzną nierównoległą do osi obrotu. Stawiają hipotezy. Formułują wnioski.

[Slideshow]

Wnioski:

Jeśli kąt W nachylenia płaszczyzny przekroju stożka do osi obrotu stożka ma miarę:

$0°<\alpha <45°$ to hiperbola,

$\alpha =45°$ - parabola,

$45°<\alpha <90°$ - elipsa,

$\alpha =90°$ - okrąg,

$90°<\alpha <135°$ - elipsa,

$\alpha =135°$ - parabola,

$135°<\alpha <180°$ - hiperbola,

$\alpha =180°$ - dwie proste przecinające się.

Nauczyciel informuje uczniów, że figury, które są częścią wspólną płaszczyzny przecinającej i powierzchni bocznej stożka, noszą nazwę krzywych stożkowych.

Polecenie
Odszukaj w dostępnych źródłach informacji na temat krzywych stożkowych. Zanotuj odpowiednie definicje.

Uczniowie powinni znaleźć następujące informacje.

Wyróżnia się następujące krzywe stożkowe, zależnie od kąta jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta między tworzącą, a osią stożka.

[Ilustracja 1]

Definicja
Elipsa – otrzymujemy ją w przypadku, gdy kąt między płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka.

Definicja
Okrąg – otrzymujemy wtedy, gdy płaszczyzna przecinająca jest prostopadła do osi stożka.

Definicja
Parabola – otrzymujemy wtedy, gdy płaszczyzna przecinająca jest równoległa do tworzącej.

Definicja
Hiperbola – otrzymujemy wtedy, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą lub płaszczyzna przecinająca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi.

Uczniowie korzystając z poznanych wiadomości rozwiązują samodzielnie zadania.

Polecenie
Narysuj przekrój osiowy stożka, którego kąt rozwarcia ma miarę 160° a tworząca ma długość 8 cm. Oblicz promień podstawy.

Odp.
$r\approx 7,9$ cm.

Polecenie
Przekrój poprzeczny stożka jest kołem o promieniu mniejszym niż promień podstawy stożka. Oblicz pole przekroju poprzecznego wiedząc, że wysokość stożka jest równa 18 cm, a średnica podstawy ma długość 20 cm. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy w odległości 9 cm od wierzchołka stożka.

Odp.
$25·\mathrm{\pi }$ cmIndeks górny 2².

Polecenie
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt między ramionami ma miarę 80°. Ramię tego trójkąta ma długość 12 cm. Oblicz wysokość i promień podstawy stożka.

Odp.
$H\approx 9,2$ cm, $r\approx 7,7$ cm.

Polecenie
Kąt między tworzącą i wysokością stożka ma miarę 75°. Promień podstawy stożka ma długość 7 cm. Oblicz wysokość stożka.

Odp.
Około 1,9 cm.

Polecenie
Wyznacz miarę kąta rozwarcia stożka, którego tworząca ma długość $6\sqrt{2}$ cm, a wysokość jest równa 5 cm.

Odp.
107°40’.

Polecenie dla chętnych
Oblicz pole przekroju osiowego stożka, którego wysokość ma długość 20 cm, a $\mathrm{tg}\alpha =4$ ($\alpha$ - kąt między tworzącą stożka a jego promieniem).

Odp.
100 cmIndeks górny 2².

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania:

Figura będąca przekrojem stożka zależy od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju względem osi obrotu:

- Jeżeli $\alpha =0° \mathrm{lub} \alpha =180°$, to otrzymujemy dwie proste przecinające się.

- Jeżeli $\alpha \in (0°,45°) \mathrm{lub} \alpha \in (135°,180°)$, to otrzymujemy hiperbolę.

- Jeżeli $\alpha \in (45°,90°) \mathrm{lub} \alpha \in (90°,135°)$, to otrzymujemy elipsę.

- Jeżeli $\alpha =45° \mathrm{lub} \alpha =135°$, to otrzymujemy parabolę.

- Jeżeli $\alpha =90°$, to otrzymujemy koło.