Temat

Nierówność kwadratowa

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

III. Równania i nierówności. Uczeń:

4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych.

3. Wyznaczanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowych.

Efekty uczenia

Uczeń:

1. Rozwiązuje nierówności kwadratowe.

2. Wyznacza zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej.

Metody kształcenia

1. Dyskusja problemowa.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie pracując w grupach porządkują wiadomości dotyczące rozwiązywania nierówności z jedną niewiadomą. Podają przykłady nierówności równoważnych, nierówności nie mających rozwiązania, nierówności których zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty, itp.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie rozwiązywanie nierówności kwadratowych.

Uczniowie formułują definicję nierówności kwadratowej, opierając się na znanej im definicji nierówności liniowej

Definicja
Nierównością kwadratową (z niewiadomą $x$) nazywamy każdą nierówność, którą możemy sprowadzić do postaci $a{x}^2+bx+c>0$ lub $a{x}^2+bx+c\ge 0$ lub $a{x}^2+bx+c<0$ lub $a{x}^2+bx+c\le 0$, przy czym $a,b,c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\ne 0$.

Uczniowie pracując w grupach , analizują aplet przedstawiający graficzny sposób rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Formułują wniosek.

Polecenie
Przeanalizuj uważnie materiał zawarty w aplecie. Co zauważasz? Sformułuj odpowiedni wniosek.

[Geogebra aplet]

Wniosek, jaki powinni wyciągnąć uczniowie.

Aby rozwiązać nierówność kwadratową należy:

- znaleźć miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej (o ile istnieją),
- naszkicować wykres funkcji,
- z wykresu odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne).

Nowe umiejętności uczniowie wykorzystują, rozwiązując zadania.

Polecenie
Rozwiąż graficznie nierówność - naszkicuj wykres odpowiedniej funkcji i odczytaj rozwiązanie.

1. $-x^2+x+2\le 0$

2. $2x^2-2x-4\ge 0$

3. $3x^2-3x-6<0$

Dyskusja – w jaki sposób można rozwiązać nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynu? Z jakiej własności iloczynu należy skorzystać?

Uczniowie stawiają hipotezy. Formułują wniosek.

Polecenie
Rozwiąż nierówność. Z jakiej własności iloczynu skorzystasz? Sformułuj wniosek.

1. $\left(x-2\right)\left(2x+6\right)<0$

2. $x(x+5)>0$

3. ${\left(2x-8\right)}^2<0$

Wniosek

- Aby rozwiązać nierówność kwadratową zapisaną  w postaci iloczynowej, wykorzystujemy własności iloczynu.
- Znak iloczynu zależy od znaku poszczególnych czynników.
- Jeżeli oba czynniki są tych samych znaków, to iloczyn jest dodatni.
- Jeżeli oba czynniki są przeciwnych znaków, to iloczyn jest ujemny.

Uczniowie swoje przypuszczenia sprawdzają analizując Slideshow przedstawiający sposób rozwiązywania nierówności kwadratowych.

Slideshow - rozwiązywanie nierówności kwadratowej.

Korzystając z materiału zawartego w Slideshow, uczniowie rozwiązują zadania.

Polecenie
Wyznacz dziedzinę funkcji $y=-\frac{1}{\sqrt{(3x-x^2)}}$.

Polecenie
Dana jest nierówność kwadratowa $\left(3x-3\right)\left(2x-a\right)<0$ z niewiadomą $x$ . Wyznacz liczbę $a$ , dla której zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział (1, 4).

Polecenie
Dana jest nierówność kwadratowa $\left(3x-3\right)\left(2x-a\right)<0$ z niewiadomą $x$ . Wyznacz liczbę $a$, dla której jedynym rozwiązaniem nierówności jest liczba $1\frac{1}{2}$.

Polecenie dla chętnych 
Wyznacz wartość liczby $m$ tak, aby dziedziną funkcji $y=\sqrt{2x^2-mx+2}$ był zbiór liczb rzeczywistych.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia  utrwalające. Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania:

Aby rozwiązać nierówność kwadratową należy:

-  obliczyć miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej ( o ile istnieją),
- naszkicować wykres funkcji,
-  z wykresu odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne).